Automorfizam

U matematici, automorfizam je izomorfizam sa nekog matematičkog objekta na samog sebe. Automorfizam se može posmatrati u određenom smislu kao simetrija objekta, i kao vrsta preslikavanja objekta na samog sebe, uz očuvanje njegove strukture. Skup svih automorfizama na objektu gradi grupu.

Definicija

Tačna definicija automorfizma zavisi od tipa matematičkog objekta o kome je reč, i šta tačno gradi izomorfizam tog objekta. Najopštiji okvir u kome ovi izrazi imaju značenje je apstraktna grana matematike, teorija kategorija. Teorija kateogorija se bavi apstraktnim objektima i morfizmima između tih objekata.

U teoriji kategorija, automorfizam je endomorfizam (tj. morfizam sa objekta na samog sebe) koji je ujedno i izomorfizam (u kategorijskom smislu reči).

Ovo je vrlo apstraktna definicija, jer u teoriji kategorija morfizmi nisu obavezno funkcije a objekti nisu obavezno skupovi. Međutim, u većini konkretnih slučajeva, objekti su skupovi sa nekom dodatnom strukturom, a morfizmi su funkcije koje očuvavaju ovu strukturu.

U kontekstu apstraktne algebre, na primer, matematički objekat je algebarska struktura kao što je grupa, prsten, ili vektorski prostor. Izomorfizam je jednostavno bijektivni homomorfizam. (Naravno, definicija homomorfizma zavisi od tipa algebarske strukture; na primer pogledati: homomorfizam grupe, homomorfizam prstena, i linearni operator).

Automorfizam grupa

Automorfizam objekta $X$ gradi grupu u odnosu na kompoziciju morfizama. Ova grupa se naziva automorfizam grupa od $X$. Jednostavno je utvrditi da se zaista radi o grupi:

• Zatvorenost: kompozicija dva endomorfizma je novi endomorfizam.
• Asocijativnost: kompozicija funkcija je uvek asocijativna.
• Neutral: neutral je identitet morfizma sa objekta na samog sebe, koji postoji po definiciji.
• Inverzi: po definiciji svaki izomorfizam ima inverz, koji je takođe izomorfizam, a kako je inverz takođe endomorfizam na istom objektu, onda je to automorfizam.

Grupa automorfizma objekta $X$ u kategoriji $C$ se označava kao Aut_C(X), ili prostije Aut(X) ako je kategorija jasna iz konteksta.

Primeri

• U teoriji skupova, automorfizam skupa X je arbitrarna permutacija elemenata X. Automorfizam grupe X se takođe naziva simetričnom grupom na X.

• U elementarnoj aritmetici, skup celih brojeva, Z, kada se posmatra kao grupa u odnosu na sabiranje, ima jedinstveni netrivijalni automorfizam: negaciju. Međutim, ako se posmatra kao prsten, ima samo trivijalni automorfizam. Opšte uzev, negacija je automorfizam svake Abelove grupe, ali ne prstena i polja.

• Automorfizam grupe je izomorfizam grupe sa neke grupe na samu sebe. Neformalno, to je permutacija elemenata grupe, takva da se struktura ne menja. Za svaku grupu G postoji prirodni homomorfizam grupe G → Aut(G) čije je jezgro centar grupe G. Stoga, ako G nema centar, može se utopiti u sopstveni automorfizam grupe. (Vidi razmatranje o unutrašnjim automorfizmima dole).

• U linearnoj algebri, endomorfizam vektorskog prostora V je linearni operator V → V. Automorfizam je invertibilni linearni operator na V. Kada vektorski prostor ima konačnu dimenziju, automorfizam grupe V je isti kao opšta linearna grupa, GL(V).

• Automorfizam polja je bijektivni homomorfizam prstena iz polja na samog sebe. U slučaju racionalnih brojeva, Q, ili realnih brojeva, R, ne postoje netrivijalni automorfizmi polja. U slučaju kompleksnih brojeva, C, postoji jedinstven netrivijalni automorfizam koji slika R u R: kompleksna konjugacija, ali postoji beskonačno (neprebrojivo) mnogo divljih automorfizama (ako se pretpostavi aksioma izbora)..

• U teoriji grafova automorfizam grafa je permutacija čvorova koja očuvava grane i ne-grane. Drugim rečima, ako su dva čvora povezana granom, i njihove slike pod permutacijom će biti povezane granom.

Unutrašnji i spoljašnji automorfizmi

U nekim kategorijama–posebno u grupama, prstenima i Lijevim algebrama–je moguće razlikovati automorfizme dva tipa, unutrašnje i spoljašnje automorfizme.

U slučaju grupa, unutrašnji automorfizmi su konjugacije po samim elementima grupe. Za svaki element a grupe G, konjugacija po a je operacija φ_a : G → G definisana kao φ_a(g) = aga⁻¹ (ili a⁻¹ga). Lako se može proveriti da je konjugacija po a auotomorfizam grupe. Unutrašnji automorfizmi grade normalnu podgrupu od Aut(G), koja se označava sa Inn(G). Ostali automorfizmi se nazivaju spoljašnjim automorfizmima. Količnička grupa Aut(G) / Inn(G) se obično označava kao Out(G); netrivijalni elementi su koseti koji sadrže spoljašnje automorfizme.

Vidi još

• Endomorfizam
• Endomorfizam prstena
• Antiautomorfizam

Spoljašnje veze

• Automorfizmi na sajtu MathWorld