Теорија категорија

Из Википедије, слободне енциклопедије
Категорија са објектима X, Y, Z и морфизмима f, g, gf, и три идентичка морфизма (нису приказани) 1X, 1Y and 1Z.

Теорија категорија се користи да формализује математику и њене концепте као колекције објеката и стрелица (морфизама). Теорија категорија може да се користи да формализује већ постојеће теорије на вишем нивоу апстракције као што су теорија скупова, теорија прстена и теорија група. Неколико термина који се користе у теорији категорија, укључујући термин "морфизам", има различито значење у осталим областима математике.

Категорије[уреди]

Категорија C се састоји од следећа три ентитета:

  • Класе ob(C), чије елементе зовемо објекти;
  • Класе hom(C), чије елементе зовемо морфизми или пресликавања или стрелице. Сваки морфизам f има свој домен a и кодомен b.

Израз f : ab, се чита као "f је морфизам из a у b".
Израз hom(a, b) — користе се и ознаке homC(a, b), mor(a, b), или C(a, b) — означава класу свих морфизама изa у b.

  • Бинарне операције ∘, коју називамо композиција морфизама, тако да за било која три објекта a, b, и c, важи hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Композицију f : ab и g : bc записујемо gf или gf, регулисана са две аксиоме:
    • Асоцијативност: Ако f : ab, g : bc и h : cd онда је h ∘ (gf) = (hg) ∘ f, и
    • Идентитет (математика): За сваки објект x, постоји морфизам 1x : xx звани идентички морфизам x, тако да за сваки морфизам f : ab, важи 1bf = f = f ∘ 1a.
Из аксиома се може доказати да постоји тачно један идентички морфизам за сваки објект. Неки аутори одступају од ове дефиниције идентификујући сваки објект са његовим идентичким морфизмом.

Види још[уреди]

Литература[уреди]