Vajlov kriterijum za ravnomernu raspodelu

U matematici, Vajlov kriterijum za ravnomernu raspodelu daje neophodan i dovoljan uslov za ravnomernu raspodelu „modulo 1" (odnosno razlomljenih delova) datog niza realnih brojeva izražen svojstvima određenih eksponencijalnih suma.

Kriterijum je prvi formulisao i dokazao nemački matematičar Herman Vajl.

Ravnomerna raspodela modulo 1

Za niz (x_n) realnih brojeva kažemo da je ravnomerno raspodeljen modulo 1 ako je za svaki interval (a,b) unutar intervala [0,1)

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\#\{1\leq j\leq n:\{x_{j}\}\in (a,b)\}}{n}}=b-a$.

Drugim rečima, razlomljeni delovi članova niza (x_n) „padaju“ u interval (a,b) približno onoliko često koliko bi se moglo očekivati kada bismo ih birali nasumice: ako je interval duplo kraći, u njemu će, kako odmičemo duž niza, biti otprilike tačno duplo manje razlomljenih delova {x_n}. Na primer, kako je dužina intervala (0,2, 0,35) 0,15, odnosno 15% dužine celog intervala [0,1) (kojem pripadaju svi razlomljeni delovi), to će, za velike N, vrlo blizu 15% od prvih N vrednosti {x_n} biti između 0,2 i 0,35, i taj postotak postaje sve bliži 15% kako posmatramo veće vrednosti N.

Mnogi nizovi su ravnomerno raspodeljeni modulo 1. Na primer, Herman Vajl je dokazao da je za svako iracionalno θ, niz

θ, 2θ, 3θ, …, nθ, …

ravnomerno raspodeljen modulo 1.

Prvih 6 umnožaka iracionalnog broja θ = √(3)/8

Prvih 90 umnožaka iracionalnog broja θ = √(3)/8

Umnošci racionalnog broja θ = 1/7

Ovako definisan niz nije ravnomerno raspodeljen modulo 1 ako je θ = p/q racionalan broj, jer se vrednosti {nθ} grupišu u q mogućih vrednosti 0, 1/q, 2/q, …, (q−1)/q i uopšte ne uzimaju vrednosti u drugim intervalima (vidi sliku). Niz brojeva u intervalu [0,1) koji je ravnomerno raspodeljen posebno mora biti svuda gust.

Prvi razlomci (poredak po veličini imenioca)

Prvi razlomci (poredak kao u Kantorovom postupku)

Kao drugi primer, niz svih racionalnih brojeva u intervalu [0,1) poređanih po imeniocima

0/1,   1/2,   1/3, 2/3,   1/4, 3/4,   1/5, 2/5, 3/5, 4/5,   1/6,4/6,   1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, …

je takođe ravnomerno raspodeljen. Međutim, ako te iste brojeve poređamo kao u Kantorovom dijagonalnom postupku (prema zbiru brojioca i imenioca)

0/1,   1/2,   1/3,   1/4, 2/3,   1/5,   1/6, 2/5, 3/4,   1/7, 3/5,   1/8, 2/7, 4/5,   1/9, 3/7, …

oni neće biti ravnomerno raspodeljeni, jer ovaj poredak sistematski „favorizuje“ male brojeve (svi razlomci se pojave „pre ili kasnije“, ali razlomak 1/N se pojavljuje daleko pre razlomka (N−1)/N). Oba ova niza razlomaka su svuda gusta, ali je samo prvi ravnomerno raspodeljen: ravnomerna raspodeljenost je jače svojstvo od gustoće.

Pitanje da li je dati niz ravnomerno raspodeljen modulo 1 je, u punoj opštosti, veoma teško. Ravnomerna raspodela je predmet izučavanja teorije diofantskih aproksimacija, ali i ergodičke teorije.

Kriterijum

Vajlov kriterijum za ravnomernu raspodelu glasi:

Niz (x_n) realnih brojeva je ravnomerno raspodeljen modulo 1 ako i samo ako je za svaki ceo broj l ≠ 0

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi ilx_{j}}=0$.

Sume opšteg oblika $\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi if(j)}$, kao što su sume koje se pojavljuju u formulaciji Vajlovog kriterijuma, nazivamo eksponencijalnim sumama (često se koristi i naziv „trigonometrijska suma"). Sa druge strane, ${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi ilx_{j}}$ se može videti i kao l-ti diskretni Furijeov koeficijent skupa {x₁, x₂, … x_n}.

Kriterijum se dokazuje tako što se prvo pokazuje da se uslov da članovi niza „padaju“ u određeni interval (dakle, u kojem određen član niza „brojimo“ kao 1 ako pada u taj interval i kao 0 ako pada van intervala) sa postotkom koji je dat dužinom intervala može zameniti odgovarajućim „glatkim“ uslovom u kojem članove brojimo sa „težinom“ koja je data proizvoljnom neprekidnom funkcijom. Zatim se koristi teorema prema kojoj se ova neprekidna funkcija može proizvoljno dobro uniformno aproksimirati parcijalnim sumama svog Furijeovog razvoja. Modernim jezikom rečeno, ovaj dokaz se naslanja na to da su određeni potprostori funkcija (prostor neprekidnih funkcija, prostor trigonometrijskih polinoma) svuda gusti (u podesnom smislu) u skupu svih merljivih funkcija na [0,1). Vajlov dokaz je bio jedan od prvih dokaza u ovom duhu koji se ubrzo postao standardan metod u teoriji mere i funkcionalnoj analizi.

Dokaz

Niz x_n realnih brojeva u intervalu [0, 1) je ravnomerno raspodeljen ako i samo ako za svaku neprekidnu funkciju f : [0, 1] → C važi

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}f(x_{j})=\int _{0}^{1}f(x)\,{\mathrm {d} }x$.          ( ∗ )

Uslov ravnomerne raspodeljenosti odgovara iskazu da je gornji uslov zadovoljen za karakterističnu funkciju χ_(a,b) svakog intervala (a, b). I zaista, ako pretpostavimo da ( ∗ ) važi za svaku neprekidnu funkciju f, tada za ma koji interval (a, b) i proizvoljno ε > 0 možemo naći neprekidne funkcije f⁻ i f⁺ takve da je

$f^{-}\leq \chi _{(a,b)}\leq f^{+}$   i   $(b-a)-\epsilon \leq \int _{0}^{1}f^{-}(x)\,\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}f^{+}(x)\,\mathrm {d} x\leq b-a+\epsilon$.

Prelazeći na gornju, odnosno donju graničnu vrednost u nejednakosti

${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}f^{-}(x_{j})\leq {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\chi _{(a,b)}(x_{j})\leq {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}f^{+}(x_{j})$

sledi

$(b-a)-\epsilon \leq \int _{0}^{1}f^{-}(x)\,\mathrm {d} x\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\chi _{(a,b)}(x_{j})$

$\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\chi _{(a,b)}(x_{j})\leq \int _{0}^{1}f^{+}(x)\,\mathrm {d} x<(b-a)+\epsilon$.

Ovo važi za svako ε > 0; prelaskom na graničnu vrednost kada ε → 0 sledi željeno

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\chi _{(a,b)}(x_{j})=b-a$.

Obrnuto se dokazuje analogno. Ako ( ∗ ) važi za karakterističnu funkciju svakog intervala, on važi i za svaku funkciju s koja je konačna linearna kombinacija takvih karakterističnih funkcija (tzv. prosta funkcija). Svaka realna funkcija g neprekidna na [0, 1] je ravnomerno neprekidna prema teoremi Hajnea, te tako deleći segment [0, 1] na male delove možemo naći proste funkcije s⁻ i s⁺ takve da je

$s^{-}\leq g\leq s^{+}$   i   $s^{+}(x)-s^{-}(x)<\epsilon \,$;

tako da zatim kao gore sledi da ( ∗ ) vredi i za g. Napokon, ako je f : [0, 1] → C prozvoljna neprekidna funkcija, tada ( ∗ ) vredi za Re(f) i Im(f), pa stoga i za f.

Ako je uslov ( ∗ ) zadovoljen za svaku neprekidnu funkciju f : [0, 1] → C, on svakako vredi i za svaki od karaktera χ_l(x) = e^2πilx, što dokazuje da je uslov u Vajlovom kriterijumu neophodan za ravnomernu raspodelu. Uslov je i dovoljan: naime, ako ( ∗ ) vredi za χ_l za svako l ≠ 0 (a trivijalno je zadovoljen za svako l = 0), onda on važi i za svaku njihovu linearnu kombinaciju, dakle za svaki trigonometrijski polinom. Posebno, kako niz parcijalnih suma f_k Furijeovog razvoja ma koje funkcije f : [0, 1] → C (recimo) klase C² ravnomerno konvergira ka f, to birajući k tako da važi | f(x) −f_k(x) | < ε sledi

$\left|{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}f(x_{j})-\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \left|{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}f_{k}(x_{j})-\int _{0}^{1}f_{k}(x)\,\mathrm {d} x\right|+2\epsilon$,

a stoga, prelaskom na gornju graničnu vrednost kada n → 0

$\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}f(x_{j})-\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq 2\epsilon$.

Kako ovo važi za svako ε > 0, to ( ∗ ) vredi za f. Kako u dokazu prvog dela možemo karakteristične funkcije intervala aproksimirati funkcijama f⁻ i f⁺ klase C², to sledi da je uslov ( ∗ ) zadovoljen za sve karakteristične funkcije intervala, odnosno niz (x_n) je ravnomerno raspodeljen.

Posledice

Značaj ove teoreme je u tome što je u analitičkoj teoriji brojeva (ne malom zaslugom upravo ovog kriterijuma), razvijen niz metoda za ocenu eksponencijalnih suma, pomoću kojih se u nekim slučajevima mogu oceniti eksponencijalne sume pridružene Vajlovim kriterijumom datom nizu i pokazati da one postaju proizvoljno male kada n → 0. Među tim metodima su Vajlov metod razlika, koji je posebno podesan u slučajevima kada je x_j = p(j) za neki polinom p, potom van der Korputov metod, metod Vinogradova, sistematski metod eksponentskih parova, ili noviji metod velikog rešeta. Zapravo, Vajlov kriterijum i paralelni razvoj kružnog metoda (Hardi, Litlvud, Ramanudžan) doveli su do razvoja aditivne teorije brojeva i, posebno nakon što je Vinogradov 1937. pokazao kako se mogu sistematski koristiti, postavili eksponencijalne sume u maticu analitičke teorije brojeva.

Posebno, za slučaj x_n = nθ gde je θ iracionalan broj, Vajlov uslov za ravnomernu raspodelu se može direktno proveriti. Koristeći formulu za zbir konačne geometrijske progresije,

${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi ilj\theta }={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {e^{2\pi il\theta }(1-e^{2\pi iln\theta })}{1-e^{2\pi il\theta }}}$.

Drugi razlomak je ograničen kada n → 0, tako da proizvod teži nuli za svako l ≠ 0, što dokazuje ravnomernu raspodelu. (Naravno, uslov nije ispunjen ako je θ = p/q racionalan broj, jer je količnik gornje geometrijske progresije e^2πilθ jednak 1 ako je l umnožak broja q.)

Dokaz ravnomerne raspodele ovog i srodnih nizova (koju su matematičari generalno očekivali) je bio osnovni Vajlov cilj u razvoju opšteg kriterijuma. Ovim je posebno dokazao da je ovaj niz svuda gust. Vajl je dokazao da je ravnomerno raspodeljen modulo 1 i niz

θ, 2²θ, 3²θ, …, n²θ, … ,

a Vinogradov je uspeo da dokaže ravnomernu raspodelu modulo 1 niza

2θ, 3θ, 5θ, …, p_nθ, …

gde je 2, 3, 5, … p_n niz prostih brojeva.

Uopštenja

Direktno uopštenje Vajlovog kriterijuma se koristi za ustanovljavanje ravnomerne raspodele višedimenzionih nizova. Za niz x_n = ( x_n1, x_n2, … x_nk ) ∈ R^k kažemo da je ravnomerno raspodeljen modulo 1 ako za svaki interval I = ( a₁, b₁ ) × ( a₂, b₂ ) × … × ( a_k, b_k ) važi

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\#\{1\leq j\leq n:\{x_{j}\}\in {\mathbf {I} }\}}{n}}=\mathrm {Vol} ({\mathbf {I} })$.

Ovde je posebno svaka koordinata ravnomerno raspodeljena modulo 1, ali ovo svojstvo je mnogo jače: ono kaže da su koordinate (o kojima možemo, na primer, misliti kao o različitim obeležjima statističkog uzorka) ravnomerno raspodeljene modulo 1 nezavisno jedna od druge. Vajlov kriterijum u ovom kontekstu glasi:

Niz x_n ∈ R^k je ravnomerno raspodeljen modulo 1 ako i samo ako je za svako l = ( l₁, l₂, … l_k ) ∈ Z^k \ 0

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i(l_{1}x_{j1}+l_{2}x_{j2}+\cdots +l_{k}x_{jk})}=0$.

Ako želite da saznate više

• Čandrasekharan, Komaravolu: Uvod u analitičku teoriju brojeva.
  • (jezik: engleski) Introduction to Analytic Number Theory, ISBN 9780387041414.
  • (jezik: ruski) Введение в аналитическую теорию чисел, [1].