Kružnica
Krug | |
---|---|
![]() Krug (crno), koji se određuje njegovim obimom (C), prečnikom (D) u cijanu, i poluprečnikom (R) u crvenom; njegov centar (O) je u margenti. |
Kružnica je matematički pojam koji se koristi u geometriji i nije sinonim za krug. Uobičajeno je da se kružnica zove linija koju opisuje šestar, a krug je površina unutar kružnice. Tako kružnica ima svoju dužinu, koja se često zove obim, a krug ima površinu.
Definicije
[uredi | uredi izvor]Kružnica je zatvorena kriva linija u ravni čije sve tačke leže na istom odstojanju od neke tačke O u istoj ovoj ravni i koja se zove centar kružnice. Odstojanje svake tačke kružnice od njenog centra meri se segmentom prave koji se naziva poluprečnik (radijus) r. Kružnica k s centrom О i poluprečnikom r označava se k(O,r), ponekad sa O(r).
Kružnica sa centrom О i poluprečnikom r može se definisati kao geometrijsko mesto tačaka u ravni na datom odstojanju r od date tačke О koja leži u istoj ravni.
Jednačina kružnice u pravouglim Dekartovim koordinatama glasi:
,
gde su (p,q) koordinate centra, a r poluprečnik. Iz prethodne jednačine sledi da je kružnica kriva drugog reda. Prethodna jednačina kružnice se koristi u rešavanju konstruktivnih zadataka, u grafičkom rešavanju jednačina i nejednakosti. Ova je jednačina drugog reda. Jednačina kružnice može se napisati i na sledeći način
- . Ovo je segmentna jednačina.
Kružnica sa središtem u tački i poluprečnikom određena je jednačinom:
ili
U svakoj tački kružnice njena krivina je konstantna, jednaka . Tangenta na kružnicu je normalna na poluprečnik u tački dodira.
Obim kružnice O(r) je , a kružnica se naziva i periferijom kruga.
Površina omeđena kružnicom je .[1]
Tetiva je duž koja spaja dve tačke na kružnici.
Centralni ugao je ugao iz centra kruga pod kojim se vidi data tetiva.
Periferni ugao je ugao iz tačke na kružnici pod kojim se vidi data tetiva.
Tangenta je prava koja dodiruje kružnicu (u jednoj tački).
Ostale definicije
[uredi | uredi izvor]Kružna transformacija ravni je transformacija u kojoj svaka kružnica ili prava prelazi u kružnicu ili pravu. Kružna transformacija je proizvod dve transformacije: inverzije i sličnosti. Primeri kružnih transformacija su: kretanje, sličnost, inverzija. Kružna transformacija je (jedno od) konformnih preslikavanja.
Kružni cilindar (elementarna geometrija) je cilindar, tj. valjak čija je direktrisa (vodilja) kružnica. Ako je izvodnica К. c. normalna na njegovu osnovu, К. c. se naziva pravi; ako je pak izvodnica kosa prema osnovi, К. c. je kos.
Obično, pod pojmom kružni cilindar podrazumeva se prav kružni cilindar. Prav kružni cilindar se može zamisliti kao figura obrazovana obrtanjem pravougaonika oko njegove stranice.
Kružni konus (u elementarnoj geometriji) je konus (kupa) čija je direktrisa (vodilja) kružnica. Vrh pravog kružnog konusa se u ortogonalnoj projekciji projektuje u centar njegove osnove. Prav kružni konus se dobije obrtanjem pravouglog trougla oko katete. Prav kružni konus se naziva jednostavno konus.
Vrh kosog kružnog konusa se u ortogonalnoj projekciji ne projektuje u centar osnove.
Ako se kružni konus preseče sa ravni koja nije paralelna osnovi, može se u preseku dobiti i krug.
Apolonijeva kružnica je geometrijsko mesto tačaka М ravni čiji je odnos odstojanja od dve date tačke A i B, koje leže u istoj ovoj ravni, konstantna veličina . Apolonijeva kružnica se koristi u rešavanju geometrijskih konstruktivnih zadataka metodom geometrijskih mesta tačaka. Na primer: konstrukcija trougla ako je zadata stranica, visina na tu stranicu i odnos ostale dve stranice trougla; stranica, njeno teme datog trougla i odnos ostale dve stranice; kada je pored ostalih dat odnos dve visine trougla. Apolonijeva kružnica je nazvana po starogrčkom naučniku Apoloniju iz Perga, koji ju je izučavao u 3. veku p. n. e.[2][3]
Kružnica devet tačaka je kružnica na kojoj leže sredine strana trougla, podnožja njegovih visina i sredine segmenata visina između temena i ortocentra. Centar kružnice devet tačaka se poklapa sa sredinom duži koja spaja ortocentar trougla s centrom opisane kružnice. Poluprečnik kružnice devet tačaka je jednak polovini prečnika opisane kružnice datog trougla. Kružnica devet tačaka se naziva i Ojlerova kružnica.
Kružnica krivine krive u prostoru u tački M je kružnica koja leži u oskulatornoj ravni krive u tački M, čiji je radijus jednak gde je k krivina krive u tački M, na rastojanju . Kružnica krivine ne postoji u tački u kojoj je krivina krive jednaka nuli. Kružnica krivine ima s krivom u tački M dodir čiji red nije manji od 2. Kružnica krivine se naziva i oskulatorna kružnica.
Koncentrične kružnice su kružnice koje imaju zajednički centar i leže u istoj ravni.
Nekoncentrične kružnice nazivaju se i ekscentrične.
Konfokalne krive su krive 2. reda (konusni preseci) koje imaju zajedničke žiže (fokuse).
Elementarna (Euklidska) geometrija
[uredi | uredi izvor]- 1. Teorema
- Centralni ugao je dvostruko veći od perifernog nad istom tetivom.
- Dokaz
- Data su kružnica k tetiva centralni ugao i periferni ugao .
- Duži CA, CB i CP su jednake (poluprečnici), pa je trougao BCP jednakokraki. Isto tako i trougao ACP je jednakokraki. PP' je prečnik kruga, a AP’ i BP’ su takođe tetive.
- Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja njemu nesusedna ugla, tj. , i otuda:
- .
- 2. Teorema
- Periferni ugao nad prečnikom je prav.
- Dokaz
- Iz prethodne teoreme, jer je centralni ugao nad prečnikom 180°, a pola od toga je pravi ugao.
- 3. Teorema
- Ugao između tetive i tangente povučenih iz iste tačke kružnice jednak je perifernom nad tom tetivom.
- Dokaz
- Dat su krug k, tangenta t i tetiva AB. AP je prečnik kruga pa je ugao u B prav. Uglovi BAt i APB imaju okomite krake, tj. jednaki su!
- 4. Teorema
- Periferni uglovi nad istom tetivom jednaki su ili su suplementni. Ako su sa različitih strana tetive oni su suplementni.
Rastojanje tačke od kružnice
[uredi | uredi izvor]- Definicija 1
Skup svih tačaka ravni čija je udaljenost od date tačke O te ravni jednaka datoj duži nazivamo kružnica s centrom u O i poluprečnikom (radijusom) r.
Spojimo li se tačka C sa tačkama kružnice K(O,r) dobija se beskonačan skup duži za C ≠ O. U slučaju C = O to je nulta duž. Postavlja se pitanje postojanja u ovom skupu duži od koje ni jedna duž skupa nije manja, i takve duži koja nije manja ni od jedne duži skupa. To su duži CA i CB, gde su A, B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj koja prolazi kroz C. Tačka A je sa one strane tačke O sa koje je C, a B je sa suprotne strane.
- Definicija 2
Element m skupa E (u kome između elemenata postoji relacija < ili > ) koji nije veći ni od jednog elementa skupa naziva se minimum (najmanji element skupa E). Element koji nije manji ni od jednog elementa skupa je maksimum (najveći) element skupa E.
U navedenom slučaju duži AB i AC su minimum i maksimumu u skupu duži.
- Definicija 3
Minimum skupa rastojanja date tačke od skupa naziva se rastojanje te tačke od skupa.
Teorema 1
Neka je data tačka C i kružnica K(O,r) i pri tom C ≠ O i neka su tačke A, B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj, koja prolazi tačkom C. Tačka A neka je s one strane s koje je tačka O, a B sa suprotne strane od O. Tada od svih tačaka kružnice tačka A ima najmanje, a tačka B najveće rastojanje od C i pri tome je
- CA = │CO - r│ i CB = CO + r
Beskonačni skupovi ne moraju da imaju minimum i maksimum.
Primer
Skup brojeva 1,1/2, ¼, 1/8,...ima maksimum, a nema minimum
Zajedničke tačke kružnica
[uredi | uredi izvor]Neka su zadane dve kružnice K(C, R) i k(O,r). Odredimo međusobni položaj ovih kružnica. Povučemo li centralnu pravu CO ovih kružnica, sa A, B označimo tačke druge kružnice i to sa A onu koja leži sa one strane od tačke O sa koje je tačka C, a sa B tačku druge kružnice.
Posmatrajmo duži R – r, CO i R + r za R > r Između ovih duži postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa
Presek kružnica prazan skup
[uredi | uredi izvor]- Za
Sve tačke jedne kružnice su izvan druge kružnice.
Sve tačke jedne kružnice su unutar druge kružnice.
Tangenta kružnice
[uredi | uredi izvor]- Tangenta kružnice sa središtem
Tangenta kružnice koja ima središte u koordinatnom početku koordinatnog sistema i koja prolazi točkom
na kružnici, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:
odakle sledi da je
jednačina tangente na kružnicu
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice
- .
- Tangenta kružnice sa središtem u
Tangenta kružnice koja ima središte u tački i koja prolazi tačkom na kružnici određena je koordinatama tačke T i koeficijentom smera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:
odakle sledi da je
te se sličnim postupkom nalazi da je jednačina tangente kružnice
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice
- .
Tangiranje kružnica
[uredi | uredi izvor]Tačka A druge kružnice pripada tačkama prve kružnice. Sve ostale tačke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku i ona leži na pravoj CO kažemo da se one dodiruju spolja u tački A.
Tačka B pripada prvoj kružnici sve ostale tačke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dve kružnice imaju dijametralno raspoređene dve zajedničke tačke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te dve tačke koje leže na pravoj. Za svaku od te dve kružnice pa se one poklapaju.
Presek kružnica
[uredi | uredi izvor]R – r < CO < R + r ( R < r)
- A je u, B izvan K(C,R)
- R – r < CO => CB > R
B je van K (C,R)
- CO < R + r => CA < RA ne u kružnici.
Od dve dijametralno raspoređene tačke jedna je u, a druga van kružnice. Tačke A, B dele kružnicu na dva dela.
Aksiom 2
Ako se jedan kraj luka nalazi u kružnici, a drugi izvan je onda taj luk sa kružnicom ima jednu i samo jednu zajedničku tačku.
Teorema 2
Zajednička tačka dve kružnice koje se dodiruju leži na njihovoj zajedničkoj centralnoj pravoj, i obratno dve različite kružnice koje imaju zajedničku tačku na centralnoj pravoj se dodiruju. Ako dve kružnice imaju zajedničku tačku koja ne leži na centralnoj pravoj, imaju još jednu zajedničku tačku.
Teorema 3
Dve kružnice K(C,R) i k(O,r)
- odakle se sređivanje nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice
- CO > R + r (svaka od kružnica je izvan druge kružnice)
- CO < R - r (kružnica manjeg prečnika je unutar kružnice većeg prečnika)
- Imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku koja leži na zajedničkoj centralnoj pravoj
- CO = R + r sve tačke kružnice osim zajedničke su izvan druge kružnice
- R – r < CO < R + r imaju dve i samo dve zajedničke tačke koje leže sa raznih strana centralne prave.
Teorema 4
Da bi dve kružnice imale zajedničkih tačaka u slučaju da se centar prve kružnice nalazi
- na drugoj kružnici
- u drugoj kružnici
potrebno je i dovoljno da bude
- R ≤ 2r
- CA < R < CB
gde su CA i CB odsečci na koje centar O deli dijametar AB kružnice k(O, r).
Polara kružnice
[uredi | uredi izvor]Konjugovane tačke u odnosu na kružnicu
Tačke P i P1 su konjugovane u odnosu na kružnicu ako zadovoljavaju formulu
=
Ovo je jednačina polare kružnice. Skup konjugovanih tačaka kružnice je prava.
- Polara seče kružnicu ako je tačka M van križnice.
- tangenta je kružnice ako je M na kružnici
- Nema zajedničkih tačaka ako je M u kružnici
- Prolazi kroz centar kružnice ako je M u beskonačnosti
- Ako je onda je polara u beskonačnosti.
=
= -
=
(-)=0
(+ )(+ )=0
=0
Apolonijeva kružnica
[uredi | uredi izvor]Geometrijsko mesto tačaka ravni koje imaju osobinu da je odnos udaljenosti tih tačaka stalan broj je kružnica – Apolonijeva kružnica
= = =
=0
=0
Za njenom
sa i
sa
Imamo =0 kružnica sa prečnikom CD.
Kružnice u p-normama i brojevi
[uredi | uredi izvor]Dosad je udaljenost računata pomoću metrike . Za definisanje pojma kružnice se može umesto metrike uzeti neka druga metrika d.
Skup
predstavlja kružnicu radijusa r sa središtem u () s obzirom na metriku d.
Kružnica radijusa r sa središtem u koordinatnom početku s obzirom na je skup
za
Na ovoj slici prikazane su kružnice
Kada bi se nacrtale i ostale kružnice , sve bi one bile smeštene između i , i što bi p bio veći, to bi kružnica bila bliže kružnice .
To je jasno iz teorema za maksimalnu normu.
Uzmimo . Neka je
Tada tačka
leži na kružnici , jer je
Sa slike se vide da kružnica leži unutar kružnice pa je tačka
unutar kružnice tj
vredi
Kada bi se nacrtala kružnicu radijusa u odnosu na metriku odnosno kružnica bi bila smeštena unutar nje.
Propozicija
Za sve
Geometrijski oblik kružnice zavisi od odabrane metrike.
Izračunajmo obim kružnice .
Obim kružnice je
U oba i ne pojavljuje se .
Neka je četvrtina kružnice koja pripada prvom kvadrantu. Tada je
je element dužine
Za je
Za parametrizaciju krive uzima se
za
Za
Pošto su iznosi za i poznati, gornja formula se može proveriti utvrđivanjem i .
Za
Za
Za svaki razmera obima i prečnika kružnice je konstantna. Ta razmera se označava sa i iznosi
Očito je
, ,
Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd izd.), Addison Wesley Longman, str. 108, ISBN 978-0321016188
- ^ Harkness, James (1898). „Introduction to the theory of analytic functions”. Nature. 59 (1530): 30. Bibcode:1899Natur..59..386B. doi:10.1038/059386a0.
- ^ Ogilvy, C. Stanley, Excursions in Geometry, Dover, 1969, 14–17.
Literatura
[uredi | uredi izvor]- Pedoe, Dan (1988). Geometry: a comprehensive course. Dover.
- "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive
Spoljašnje veze
[uredi | uredi izvor]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/38px-Wikisource-logo.svg.png)
- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Circle”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Circle (PlanetMath.org website)
- Weisstein, Eric W. „Circle”. MathWorld.
- Interactive Java applets
- Interactive Standard Form Equation of Circle
- Munching on Circles at cut-the-knot