Lorencove transformacije

Lorencove transformacije nose ime po Hendriku Lorencu. Uvedene su da bi se zakoni sabiranja brzina i Galilejeve transformacije usaglasile sa drugim postulatom specijalne teorije relativnosti. Lorencove transformacije su transformacije koordinata. Dugo su bile korišćene Galilejeve transformacije, ali u uslovima specijalne teorije relativnosti njihova primena nije bila moguća. Lorencove transformacije daju vezu koordinata i jednog događaja iz dva referentna sistema i ta veza je saglasna sa teorijom relativnosti. Transformacije važe samo u slučaju da se sistemi kreću bez ubrzanja, ravnomerno pravolinijski, ili ako miruju, tj. važe za inercijalne sisteme.

Istorija

Majkelson—Morlijev eksperiment, koji je bio izveden krajem devetnaestog veka, pokazao je da brzina svetlosti ne zavisi od brzine kretanja posmatrača i izvora svetlosti. Taj zaključaj je u narednih nekoliko decenija doveo do revolucije u mehanici. Rezultat Majkeslon-Morlijev ogleda je bio u direktnoj suprotnosti sa klasičnim (Galilejevim) zakonom sabiranja svetlosti, i zamenili su ih Lorencovim transformacijama. Lorencove sile su imale uticaj na mnoge delove mehanike, sledile su nove definicije za impuls, energiju i silu. Jedna od važnih posledica Lorencovih transformacija je energija mase, čija je vrednost izražena jednom od najslavnijih formula u fizici $E=mc^{2}$.

Izvođenje formula

Transformacije u nepokretnim sistemima

Razmatranjem jednodimenzijalnog slučaja u kojem se traže transformacije u skladu sa činjenicom da su brzine svetlosti iste u svakom inercijalnom sistemu. U slučaju da oba inercijalna sistema miruju jedan u odnosu na drugi, lako se može ustanoviti da je u oba sistema vrednost brzine svetlosti ista.

$x=x'+x_{0}$

$t=t'$

gde je x je x koordinata u sistemu Ѕ, h’ je h koordinata u sistemu Ѕ’ h₀ je položaj sistema Ѕ’ u sistemu Ѕ, t je vreme u sistemu Ѕ, a t vreme u sistemu Ѕ’. Posmatrajući iz sistema Ѕ’, neka svetlost krene u trenutku t’₁ iz sistema Ѕ’ i dođe do nekog položaju u sistemu Ѕ u trenutku t’₂. Brzina svetlosti u sistemu Ѕ je označena sa s, a u sistemu Ѕ’ sa s’.

$\ c={x_{2}-x_{1} \over \ t_{2}-t_{1}}$

$\ c'={x'_{2}-x'_{1} \over \ t'_{2}-t'_{1}}$

$x=x'+x_{0}\Rightarrow x_{1}=x'_{1}+x_{0}\land x_{2}=x'_{2}+x_{0}$

$t=t'\Rightarrow t_{1}=t'_{1}\land t_{2}=t'_{2}$

$\ c={(x'_{2}+x_{0})-(x'_{1}+x_{0}) \over \ t'_{2}-t'_{1}}$

$\ c={x'_{2}-x'_{1}+x_{0}-x_{0} \over \ t'_{2}-t'_{1}}$

$\ c={x'_{2}-x'_{1} \over \ t'_{2}-t'_{1}}$

$c=c'$

Kretanje u pravcu h-ose

Transformacije u nepokretnim sistemima ne važe, ako tražene transformacije nisu linearne u odnosu na vreme i položaj. Stoga se pretpostavlja da su tražene transformacije oblika:

$x=Ax'+Bt'$

$t=Cx'+Dt'$

Neka se sistem Ѕ’ u sistem Ѕ kreće brzinom u duž h-ose. U početnom trenutku koordinatni počeci sistema se poklapaju. Posmatranjem koordinatnog početka sistema Ѕ’ u sistemu Ѕ važe sledeće tvrdnje:

$x'=0$

$x=vt$

sledi

$x=Bt'$

$t=Dt'$

$vt=Bt'$

$vDt'=Bt'$

$B=vD$

smenom B sa v*D dobija se

$x=Ax'+vDt'$

$t=Cx'+Dt'$

Ako se situacija posmatra iz sistema Ѕ’, posmatranjem sistema Ѕ koji se kreće sledi

$x=0$

$x'=-vt'$

apsolutna vrednost brzine drugog sistema je u oba slučaja ista

$0=-Avt'+Dvt'$

$0=vt'(-A+D)$

uz pretpostavku da se sistemi kreću međusobno brzinom različitom od nule gornji izraz se može podeliti sa t’*v

$0=-A+D$

$A=D$

smenom D sa A dobija se

$x=A(x'+vt')$

$t=Cx'+At'$

U drugom slučaju. Neka se sistem Ѕ’ u sistem Ѕ kreće brzinom u duž h-ose. U početnom trenutku koordinatni počeci sistema se poklapaju. Neka u tom trenutku svetlost krene iz koordinatnog početka u pozitivnom smeru duž h-ose. Pošto se svetlost kreće jednakom brzinom u oba sistema važi

$c={x' \over t'}={x \over t}$

iz prethodnih transformacija sledi

${x' \over t'}={A(x'+vt') \over Cx'+At'}$

upotrebom x’ = ct’ dobija se

$c={A(ct'+vt') \over Cct'+At'}$

$c={At'(c+v) \over t'(Cc+A)}$

$c^{2}C+Ac={A(c+v)}$

$C={A[(c+v)-c] \over c^{2}}$

$C={A{v \over c^{2}}}$

čime se pojednostavljuje transformacija i dobija se

$x=A(x'+vt')$

$t=A({v \over c^{2}}x'+t')$

Razlika između sistema Ѕ i Ѕ’ je u predznaku relativne brzine drugog sistema u odnosu na prvi. Pod pretpostavkom da je konstanta A nezavisna od predznaka brzine. Tada za oba sistema vrede iste transformacije. Razlika u transformacijama za Ѕ’ sistem je ta da će u njemu umesto relativne brzine v biti ista brzina, ali suprotnog predznaka.

$x=A(x'+vt')$

$x'=A(x-vt)$

Ako u početnom trenitku iz koordinatnog početka polazi foton u pozitivnom smeru apscise dobiju se relacije:

$ct=A(ct'+vt')=At'(c+v)$

$ct'=A(ct-vt)=At(c-v)$

Ako se te dve jednačine pomnože međusobno dobija se:

$c^{2}tt'=A^{2}tt'(c^{2}-v^{2})$

$A^{2}={c^{2} \over {c^{2}-v^{2}}}$

$A^{2}={1 \over {1-{c^{2} \over v^{2}}}}$

$A={\sqrt {1 \over {1-{c^{2} \over v^{2}}}}}$

Uvrštavanjem vrednosi A u postojeće transformacije dobijamo:

$\ x={x'+ut' \over {\sqrt {1-{u^{2} \over c^{2}}}}}$

$\ x'={x-ut \over {\sqrt {1-{u^{2} \over c^{2}}}}}$

$z=z'$

$y=y'$

Lorencove transformacije za vreme:

$\ t={t'+{ux' \over c^{2}} \over {\sqrt {1-{u^{2} \over c^{2}}}}}$

$\ t={t-{ux \over c^{2}} \over {\sqrt {1-{u^{2} \over c^{2}}}}}$

U specijalnoj teoriji relativnosti se koriste i oznake

$\beta ={v \over c}$

$\gamma ={\sqrt {1 \over {1-{c^{2} \over v^{2}}}}}$

Stoga se transformacije mogu kraće napisati:

$x=\gamma (x'+vt')$

$t=\gamma (t'+{v \over c^{2}}x')$

Kretanje u pravcu y i z ose

Transformacije iznad se odnose samo ako se kretanje vrši u pravcu h-ose. Rezultati su slični i za kretanje u pravcu y-ose i z-ose. Za u-osu

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vy}{c^{2}}}\right)\\x'&=x\\y'&=\gamma \left(y-vt\right)\\z'&=z\end{aligned}}$

izvedeno iz

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&-\beta \gamma &0\\0&1&0&0\\-\beta \gamma &0&\gamma &0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}},$

Gde su v i \beta sada u pravcu u-ose. Za z–osu dobija se

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &0&0&-\beta \gamma \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\beta \gamma &0&0&\gamma \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}.$

Lorencova matrica se obično obeležava velikim slovom lambda

$\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\ ,\quad \mathbf {X} '={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}},$

ili kraće

$\mathbf {X} '={\boldsymbol {\Lambda }}(v)\mathbf {X} .$

Kretanje u bilo kojem pravcu

Vektorska forma

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}$

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {r} _{\bot }\cdot \mathbf {v} +\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} =r_{\parallel }v$

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r'} &=\mathbf {r} _{\perp }+\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\end{aligned}}$

$\gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} +\left(\gamma -1\right)\mathbf {r} _{\parallel }-\gamma \mathbf {v} t\,.$

$\mathbf {r} _{\parallel }=r_{\parallel }{\dfrac {\mathbf {v} }{v}}=\left({\dfrac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{v}}\right){\frac {\mathbf {v} }{v}}$

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} +\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} -\gamma t\right)\mathbf {v} \,.$

Forma matrice

${\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }\\-\gamma {\boldsymbol {\beta }}&\mathbf {I} +(\gamma -1){\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }/\beta ^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}\,$

${\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{x}\\\beta _{y}\\\beta _{z}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\beta _{2}\\\beta _{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{bmatrix}}$

${\boldsymbol {\beta }}^{\mathrm {T} }={\frac {\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }}{c}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{x}&\beta _{y}&\beta _{z}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{c}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{bmatrix}}$

$\beta =|{\boldsymbol {\beta }}|={\sqrt {\beta _{x}^{2}+\beta _{y}^{2}+\beta _{z}^{2}}}\,.$

${\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \,\beta _{x}&-\gamma \,\beta _{y}&-\gamma \,\beta _{z}\\-\gamma \,\beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \,\beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \,\beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,.$

$\mathbf {X} '={\boldsymbol {\Lambda }}(\mathbf {v} )\mathbf {X} .$

${\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Lambda _{00}&\Lambda _{01}&\Lambda _{02}&\Lambda _{03}\\\Lambda _{10}&\Lambda _{11}&\Lambda _{12}&\Lambda _{13}\\\Lambda _{20}&\Lambda _{21}&\Lambda _{22}&\Lambda _{23}\\\Lambda _{30}&\Lambda _{31}&\Lambda _{32}&\Lambda _{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}.$

${\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}&=\Lambda _{i0}=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}&=\Lambda _{ji}=(\gamma -1){\dfrac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\dfrac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}\,\!$

Vidi još

• Princip relativnosti
• E=mc²
• Specijalna teorija relativnosti

Literatura

• Einstein, Albert (1961). Relativity: The Special and the General Theory. New York: Three Rivers Press (objavljeno 1995). ISBN 0-517-88441-0. 
• Ernst, A.; Hsu, J.-P. (2001), „First proposal of the universal speed of light by Voigt 1887” (PDF), Chinese Journal of Physics, 39 (3): 211—230, Bibcode:2001ChJPh..39..211E, Arhivirano iz originala (PDF) 16. 07. 2011. g., Pristupljeno 08. 07. 2015 
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004). Classical dynamics of particles and systems (5th izd.). Belmont, [CA.]: Brooks/Cole. str. 546–579. ISBN 0-534-40896-6. 
• Voigt, Woldemar (1887), „Über das Doppler'sche princip”, Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen, 2: 41—51 

Spoljašnje veze

• Derivation of the Lorentz transformations. This web page contains a more detailed derivation of the Lorentz transformation with special emphasis on group properties.
• The Paradox of Special Relativity. This webpage poses a problem, the solution of which is the Lorentz transformation, which is presented graphically in its next page.
• Relativity Arhivirano na sajtu Wayback Machine (29. avgust 2011) – a chapter from an online textbook
• Warp Special Relativity Simulator. A computer program demonstrating the Lorentz transformations on everyday objects.
• Animation clip na sajtu YouTube visualizing the Lorentz transformation.
• Lorentz Frames Animated from John de Pillis. Online Flash animations of Galilean and Lorentz frames, various paradoxes, EM wave phenomena, etc.