Лоренцове трансформације

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лоренцове трансформације носе име по Хендрику Лоренцу. Уведене су да би се закони сабирања брзина и Галилејеве трансформације усагласиле са другим постулатом специјалне теорије релативности. Лоренцове трансформације су трансформације координата. Дуго су биле коришћене Галилејеве трансформације, али у условима специјалне теорије релативности њихова примена није била могућа. Лоренцове трансформације дају везу координата и једног догађаја из два референтна система и та веза је сагласна са теоријом релативности. Трансформације важе само у случају да се системи крећу без убрзања, равномерно праволиниски, или ако мирују, тј. важе за инерцијалне системе.

Историја[уреди]

Оглед Мајкелсона и Морлија, који је био изведен крајем деветнаестог века, показао је да брзина светлости не зависи од брзине кретања посматрача и извора светлости. Тај закључај је у наредних неколико деценија довео до револуције у механици. Резултат Мајкеслон-Морлијев огледа је био у директној супротности са класичним (Галилејевим) законом сабирања светлости, и заменили су их Лоренцовим трансформацијама. Лоренцове силе су имале утицај на многе делове механике, следиле су нове дефиниције за импулс, енергију и силу. Једна од важних последица Лоренцових трансформација је енергија масе, чија је вредност изражена једном од најславнијих формула у физици .

Извођење формула[уреди]

Трансформације у непокретним системима[уреди]

Разматрањем једнодимензијалног случаја у којем се траже трансформације у складу са чињеницом да су брзине светлости исте у сваком инерцијалном систему. У случају да оба инерцијална система мирују један у односу на други, лако се може установити да је у оба система вредност брзине светлости иста.

где је x je x координата у систему Ѕ, х’ је х координата у систему Ѕ’ х0 је положај система Ѕ’ у систему Ѕ, t је време у систему Ѕ, а t време у систему Ѕ’. Посматрајући из система Ѕ’, нека светлост крене у тренутку t’1 из система Ѕ’ и дође до неког положају у систему Ѕ у тренутку t’2. Брзина светлости у систему Ѕ је означена са с, а у систему Ѕ’ са с’.

Кретање у правцу х-осе[уреди]

Tрансформације у непокретним системима не важе, ако тражене трансформације нису линеарне у односу на време и положај. Стога се претпоставља да су тражене трансформације облика:

Нека се систем Ѕ’ у систем Ѕ креће брзином u дуж х-осе. У почетном тренутку координатни почеци система се поклапају. Посматрањем координатног почетка система Ѕ’ у систему Ѕ важе следеће тврдње:

следи

сменом B са v*D добија се

Aко се ситуација посматра из система Ѕ’, посматрањем система Ѕ који се креће следи

апсолутна вредност брзине другог система је у оба случаја иста

уз претпоставку да се системи крећу међусобно брзином различитом од нуле горњи израз се може поделити са t’*v

сменом D са А добија се

У другом случају. Нека се систем Ѕ’ у систем Ѕ креће брзином u дуж х-осе. У почетном тренутку координатни почеци система се поклапају. Нека у том тренутку светлост крене из координатног почетка у позитивном смеру дуж х-осе. Пошто се светлост креће једнаком брзином у оба система важи

из предходних трансформација следи

употребом x’ = ct’ добија се

чиме се поједностављује трансформација и добија се

Разлика између система Ѕ и Ѕ’ је у предзнаку релативне брзине другог система у односу на први. Под претпоставком да је константа А независна од предзнака брзине. Тада за оба система вреде исте трансформације. Разлика у трансформацијама за Ѕ’ систем је та да ће у њему уместо релативне брзине v бити иста брзина, али супротног предзнака.

Ако у почетном тренитку из координатног почетка полази фотон у позитивном смеру апцисе добију се релацијe:

Ако се те две једначине помноже међусобно добија се:

Уврштавањем вредноси А у постојеће трансформације добијамо:

Лоренцове трансформације за време:

У специјалној теорији релативности се користе и ознаке

Стога се трансформације могу краће написати:

Кретање у правцу y и z осе[уреди]

Трансформације изнад се односе само ако се кретање врши у правцу х-осе. Резултати су слични и за кретање у правцу y-oсе и z-осе. За у-осу

изведено из

Где су v и \beta сада у правцу у-осе. За z–осу добија се

Лоренцова матрица се обично обележава великим словом ламбда

или краће

Кретање у било којем правцу[уреди]

Векторска форма[уреди]

Форма матрице[уреди]

Види још[уреди]

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]