Moment inercije

Moment inercije
Zamajaci imaju velike momente inercije da bi izravnali rotaciono kretanje.
Uobičajeni simboli	I
SI jedinica	kg m²
Druge jedinice	lbf·ft·s2
SI dimenzija	M L2
Derivacije iz drugih kvantiteta	$I={\frac {L}{\omega }}$

Šetači uskim užetima koriste momenat inercije dugog štapa za ravnotežu dok hodaju užetom. Samuel Dikon prelazeći reku Niagaru 1890.

Moment inercije je mera inertnosti tela pri rotacionom kretanju. Moment inercije je analogan masi kod translatornog kretanja. Pojavu inercije prvi je proučavao Galileo Galilej. Inerciju opisuje I Njutnov zakon, po kome svako telo zadržava stanje mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja dok ga neko drugo telo ne prisili da to stanje promeni. Inertnost je svojstvo tela da se odupire promeni stanja mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja. Tela veće mase su inertnija (tromija). Masa je mera internosti tela.

Klizačica kod okretanja smanjuje svoj moment tromosti ili moment inercije skupljajući ruke uz telo kako bi se brže okretala.

Traktor s vanjskim zamajcom (s velikim momentom tromosti) koji služi da ujednačuje okretanje motora (bez trzaja).

Kod hodanja po užetu koristi se moment inercije dugog štapa kako bi se povećala ravnoteža.

Moment inercije (znak I ili J) je jednak zbiru umnožaka mase m i kvadrata udaljenosti r od ose rotacije svake čestice koja čini telo:

$I=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{r_{i}}^{2}$

Moment inercije je zapravo mera tromosti za vrtnju ili rotacijsko kretanje. Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija mase. Što je moment inercije nekog tela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotaciju. Međutim, za razliku od mase, moment inercije nije neka nepromenjiva veličina; on zavisi od ose oko koje se dešava rotacija tela. Matematička definicija momenta inercije I materijalne tačke mase m za neku osu a je:

$I_{a}=mr^{2}\,$

gde je r udaljenost te tačke od ose rotacije. Merna jedinica za moment inercije je kgm².

Za neko telo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku osu je jednak zbiru momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu osu:

$I_{a}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{r_{i}}^{2}$

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano telo za koji bi trebalo znati tačan broj i položaj svih čestica. Umesto toga integriraju se momenti inercije svih diferencijalnih masa dm:

$I_{a}=\int r^{2}dm=\int r^{2}\rho dV$

Uz pretpostavku da je gustina tela ρ po celoj zapremini jednaka, dobija se:

$I_{a}=\rho \int r^{2}dV=\rho \iiint r^{2}dxdydz$

Momenti inercije za osi koje prolaze kroz težište tela nazivaju se vlastitim momentima inercije. Iako gornja matematička formulacija vredi potpuno generakni, moment inercije za neku osu koja prolazi izvan težišta tela se može izračunati pomoću Stajnerovog pravila koje se može ovako sročiti:

Moment inercije tela za neku osu koja ne prolazi kroz težište jednak je zbiru vlastitog momenta inercije za osu paralelnu s traženom osom i umnoška mase tela s kvadratom udaljenosti težišta tela od tražene ose .

Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno. Umnožak mase tela i kvadrata udaljenosti težišta tela od tražene ose se naziva položajni moment inercije.

Matematički izričaj Štajnerovog pravila može se zapisati na sledeći način:

$I=I_{vl}+mr^{2}=I_{vl}+J_{pol}\,$

Iz svega izloženoga treba uočiti nekoliko činjenica bitnih za razumevanje materije:

• Što je neka masa udaljenija od ose rotacije, to je teže vršiti rotaciju.
• Inertnost ili tromost mase pri rotaciji raste s kvadratom udaljenosti od ose rotacije.
• Materijalna tačka nema vlastitih momenata inercije jer nema protežnost.
• Za dovoljno kompaktna tela (na primer mala kugla) u nekim slučajevima može se aproksimirati da nemaju vlastitih momenata inercije.
• Moment inercije nekog tela ne zavisi samo o negovoj masi i udaljenosti njegovog težišta od ose rotacije, već i od oblika.
• Štajnerovo pravilo se primenjuje bez obzira na to da li osa rotacije prolazi kroz telo ili se nalazi izvan njega, bitan je samo odnos ose prema težištu.

Moment tromosti nekih tela

Moment tromosti nekog tela zavisi od oblika tela, raspodele mase, položaja ose rotacije. Na primer, ako je m masa tela, r njegov poluprečnik, a osa rotacije ujedno i osa simetrije, moment inercije na primer šupljeg valjka ili prstena iznosi:

$I=mr^{2}$

homogeno ispunjenog valjka ili kružne ploče:

$I={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$

homogeno ispunjene kugle:

$I={\frac {2mr^{2}}{5}}\,\!$

Moment tromosti homogeno ispunjenog štapa kojem je osa rotacije normalnaa na dužinu štapa nalazi se na polovini dužine štapa l:

$I={\frac {ml^{2}}{12}}\,\!$

a na kraju je štapa:

$I={\frac {ml^{2}}{3}}\,\!$

gde je: l - dužina štapa. Merna je jedinica momenta tromosti kilogram puta kvadratni metar (kg m²).

Momenti tromosti nekih preseka

Opis	Slika	Moment tromosti	Primedba	Literatura
puni kružni presek (šipka) s poluprečnikom r		$I_{x}={\frac {\pi }{4}}r^{4}$ $I_{y}={\frac {\pi }{4}}r^{4}$ $I_{z}={\frac {\pi }{2}}r^{4}$
prsten (cev) s unutrašnjim poluprečnikom r1 i spoljašnjim poluprečnikom r2		$I_{x}={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$ $I_{y}={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$ $I_{z}={\frac {\pi }{2}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$	Za tanke cevi, $r\equiv r_{1}\approx r_{2}$ i $r_{2}\equiv r_{1}+t$. Može se reći da $\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)=\left(\left(r_{1}+t\right)^{4}-r_{1}^{4}\right)=\left(4r_{1}^{3}t+6r_{1}^{2}t^{2}+4r_{1}t^{3}+t^{4}\right)$, i zbog $r_{1}>>t$ ta zagrada se može pojednostaviti u $\left(4r_{1}^{3}t+6r_{1}^{2}t^{2}+4r_{1}t^{3}+t^{4}\right)\approx 4r_{1}^{3}t$. Konačno, za tankozidnu cev proizlazi, $I_{x}=I_{y}=\pi {r}^{3}{t}$.
puni kružni isečak s uglom θ u radijanima i poluprečnikom r, s obzirom na osu koja prolazi kroz težište i središte kružnice		$I_{0}=\left(\theta -\sin \theta \right){\frac {r^{4}}{8}}$	Jednakost vredi samo za 0 ≤ $\theta$ ≤ $\pi$
puni polukrug s poluprečnikom r u odnosu na vodoravni pravac koji prolazi kroz težište		$I_{0}=\left({\frac {\pi }{8}}-{\frac {8}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0,1098r^{4}$
puni polukrug s poluprečnikom r u odnosu na vodoravni pravac koji prolazi kroz osnovu		$I={\frac {\pi r^{4}}{8}}$	Udaljenost između težišta i osnove je ${\frac {4r}{3\pi }}$
puni polukrug s poluprečnikom r u odnosu na normalni pravac koji prolazi kroz težište		$I_{0}={\frac {\pi r^{4}}{8}}$
puna četvrtina kruga s poluprečnikom r s obzirom na središte kruga.		$I={\frac {\pi r^{4}}{16}}$
puna četvrtina kruga s poluprečnikom r s obzirom na pravac prolazi kroz težište		$I_{0}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}$	Udaljenost između težišta i baze je ${\frac {4r}{3\pi }}$
puna elipsa s poluosima a (uzduž ose x) i b		$I_{x}={\frac {\pi }{4}}ab^{3}$ $I_{y}={\frac {\pi }{4}}a^{3}b$
puni pravougaonik s osnovicom a i visinom h u odnosu na pravac koji prolazi kroz težište		$I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}$ $I_{y}={\frac {b^{3}h}{12}}$
puni pravougao s osnovicom a i visinom h u odnosu na pravac koji prolazi kroz osnovicu		$I={\frac {bh^{3}}{3}}$
puni trougao s osnovicom b i visinom h u odnosu na pravac koji prolazi kroz težište		$I_{0}={\frac {bh^{3}}{36}}$
puni trougao s osnovicom b i visinom h u odnosu na pravac koji prolazi kroz osnovicu		$I={\frac {bh^{3}}{12}}$
puni šestougao sa stranicom a, pravac prolazi kroz težište ili središte		$I_{0}={\frac {5{\sqrt {3}}}{16}}a^{4}$	Isto vredi i za normalni pravac.

Materijalna tačka

Za materijalnu tačku se moment inercije izražava formulom I=mr². Moment inercije tela u opštem slučaju računa se sumiranjem momenata inercije svih njegovih sastavnih delova. Kod nekih geometrijskih figura se na taj način dobijaju matematički jednostavnije formule, dok kod složenijih tela saglasno tome povećava i kompleksnost računa koji se iziskuje za njihovo određivanje i primenu. U opštem slučaju možemo taj postupak opisati ovako:

$I=\sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}\,\!$

Za loptu on se računa obrascem ${\textstyle {\frac {2mr^{2}}{5}}}$, za valjak (homogeni disk) ${\textstyle {\frac {mr^{2}}{2}}}$, a za homogeni štap ${\textstyle {\frac {2ml^{2}}{12}}}$, gde je $r$ poluprečnik (kod lopte i valjka), a $l$ dužina štapa. Za izračunavanje momenta inercije često se koristi Štajnerova teorema. U pitanju je skalarna veličina, a često se koristi u tenzorskom obliku.

Primena

Savijanje

Glavni članak: Savijanje

Greda je izdužena vodoravna ili kosa nosiva građevna konstrukcija za prenošenje vertikalnih opterećenja na ležaje, oslonjena na svojim krajevima (na jednoj strani pomično, na drugoj nepomično). Prema broju ležaja razlikuju se greda s jednim ležajem (konzolna), s dva ležaja (prosto oslonjena, s prepustima), s više ležaja (kontinuirana).

Zamašnjak na parnoj lokomotivi iz 1802.

Izgled jednog inercijskog navigacijskog sistema (žiroskop) na francuskom balističkom projektilu IRBM S3.

Savijanje ili fleksija (engl. bending, flexure) je opterećenje koje deluje normalno na uzdužnu osu nosača. Za razliku od osnog opterećenja (istezanje i pritisak), pri savijanju štapa deformiše se uzdužna osa štapa. Deformirana uzdužna osa zove se elastična linija ili progib. Razlikuje se čisto savijanje i poprečno savijanje. Pri čistom savijanju sve su komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta savijanja. Pri poprečnom savijanju osim momenta savijanja pojavljuje se još i poprečna sila koja uzrokuje smicanje. Čisto savijanje zove se još i savijanje spregovima, a poprečno savijanje, savijanje silama. Moment savijanja uzrokuje normalna naprezanja σ koja se zamišljaju razdeljenima po preseku srazmerno udaljenosti od neutralne ose. Neutralna osa prolazi kroz težište promatranog preseka. Klasična jednakost koja određuje naprezanje u gredi usled delovanja čistog savijanja je:

${\sigma }={\frac {M\cdot y}{I_{x}}}$

gde je: ${\sigma }$ - naprezanje usled savijanja, M - moment savijanja oko neutralne ose x, y - normalna udaljenost od neutralne ose x, I_x - moment tromosti ili moment inercije oko neutralne ose x.

Maksimalno naprezanje na savijanje σ_max pojavljuje se u tački koja je najudaljenija od neutralne ose y_max:

$\sigma _{max}={\frac {M\cdot y_{max}}{I_{x}}}={\frac {M}{W_{x}}}$

gde je: ${W_{x}}$ - moment otpora preseka.

Progib nosača ${\delta }$ proizlazi iz diferencijalne jednakosti elastične linije:

${\delta }={\frac {M_{x}}{E\cdot I_{x}}}$

Uobičajene vrednosti za maksimalne momente savijanja, progibe, momente tromosti i momente otpora preseka mogu se naći u tablicama.

Literatura

• Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd izd.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. .
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1976). Mechanics (3rd izd.). Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8. ; ISBN 0-08-029141-4 (softcover).}}
• Marion, JB; Thornton, ST. (1995). Classical Dynamics of Systems and Particles (4th izd.). Thomson. ISBN 0-03-097302-3. .
• Sylvester, J J (1852), „A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares” (PDF), Philosophical Magazine, IV: 138—142, Pristupljeno 27. 6. 2008 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Symon, KR (1971). Mechanics (3rd izd.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7. .
• Tenenbaum, RA (2004). Fundamentals of Applied Dynamics. Springer. ISBN 0-387-00887-X. .

Spoljašnje veze

• Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions Arhivirano na sajtu Wayback Machine (29. mart 2010)
• Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
• The moment of inertia tensor
• An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)
• Tutorial on finding moments of inertia, with problems and solutions on various basic shapes
• Notes on mechanics of manipulation: the angular inertia tensor