Ravan

Deo ravni u trodimenzionom prostoru, obeležen mrežom koordinata

Ravan je jedan od osnovnih pojmova geometrije kojim se označava ravna površina koja se u svakom smeru širi do beskonačnosti. Da je ravna, znači da kroz svaku njenu tačku može biti povučeno beskonačno mnogo različitih pravih koje ona u potpunosti sadrži. Iz ovoga sledi i da svaka ravan prostor u kome se nalazi razgraničava na dva jednaka dela.

Pojam i definicije ravni

Presek dve ravni u R³

U početnim upoznavanjima sa pojmom ravni, predstava o ravni se upoređuje sa glatkim površinama vode, uglačane ploče, itd. U daljem izučavanju sistematskog kursa geometrije ravan se uzima kao nedefinisani termin čija se posredna definicija daje u aksiomama geometrije.

Važne osobine ravni date su, na primer, sledećim aksiomama:

• Ako dve tačke prave pripadaju ravni, onda sve tačke prave pripadaju ovoj ravni.
• Tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj pripadaju samo jednoj ravni.

Ruski matematičar Nikolaj Lobačevski je za definiciju ravni uzimao sledeću definiciju: Ravan je geometrijsko mesto tačaka u prostoru koje su podjednako udaljene od dve date tačke. U izgradnji geometrije Lobačevski je polazio od pojma kretanja, i prema tome, i od pojma rastojanja između dve tačke.

Veliki nemački matematičar Lajbnic definisao je pojam ravni kao površ koja deli prostor na dva kongruentna dela (koja se kretanjem mogu poklopiti). Međutim, ovu osobinu ima, na primer, i cilindarska površ čija je generatrisa sinusoida ili pravilna beskonačna izlomljena linija oblika testere.

Euklidska geometrija

Three parallel planes.

Glavni članak: Euklidska geometrija

Euklid je izložio prvo veliko obeležje matematičke misli, aksiomatski tretman geometrije. On je odabrao je malo jezgro nedefinisanih pojmova (nazvanih uobičajeni pojmovi) i postulata (ili aksioma) koje je zatim koristio za dokazivanje različitih geometrijskih iskaza. Iako ravan u njenom modernom smislu nije direktno data u Elementima, o njoj se može razmišljati kao jednom od uobičajenih pojmova. Euklid nikada nije koristio brojeve za merenje dužine, ugla ili površine. Na taj način euklidska ravan nije potpuno ista kao kartezijanska ravan.

Ravan u analitičkoj geometriji

Ravan A u prostoru Rⁿ se analitički može opisati jednom njenom tačkom $P\in A\in R^{n}$ i vektorom ${\overrightarrow {a}}$ koji je normalan na nju, tj. svaki vektor koji joj pripada. Tada će za svaku tačku $Q\in A$ važiti:

${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {PQ}}=0$,

iliti

$\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\cdot \left(Q_{1}-P_{1},\ldots ,Q_{n}-P_{n}\right)=a_{1}\cdot \left(Q_{1}-P_{1}\right)+\cdots +a_{n}\cdot \left(Q_{n}-P_{n}\right)=0$

Kako su ${\overrightarrow {a}}$ i P konstante, izraz se može drugačije zapisati:

${\overrightarrow {a}}\cdot \left(Q-P\right)\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {Q}}={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {P}}\Rightarrow$
${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {Q}}=C,C\in R$

ovo je takozvana vektorska jednačina ravni koja se nakon razvoja skalarnog proizvoda, kao što je u izrazu ispod prikazano, naziva opšta jednačina ravni:

$a_{1}\cdot Q_{1}+\cdots +a_{n}\cdot Q_{n}=C$

Oblik tačke i normale i opšti oblik jednačine ravni

Na način analogan načinu na koji se linije u dvodimenzionalnom prostoru opisuju koristeći oblik nagiba tačke za njihove jednačine, ravni u trodimenzionalnom prostoru imaju prirodni opis koristeći tačku u ravni i vektor ortogonalan na nju (normalni vektor) da ukaže na njenu „inklinaciju“.

Konkretno, neka je r₀ vektor položaja neke tačkeP₀ = (x₀, y₀, z₀), a neka n = (a, b, c) nenulti vektor. Ravan određena tačkom P₀ i vektorom n sastoji se od onih tačaka P, sa pozicionim vektorom r, tako da je vektor povučen od P₀ do P normalan na n. Podsećajući da su dva vektora normalna ako i samo ako je njihov skalarni proizvod nula, sledi da se željena ravan može opisati kao skup svih tačaka r takvih da

$\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.$

(Ovde tačka označava skalarni proizvod vektora.) Kad se proširi ovo postaje

$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$

što je forma tačke i normale jednačine ravni. Ovo je linearna jednačina

$ax+by+cz+d=0,$

gde je

$d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).$

Suprotno tome, lako je pokazati da ako su a, b, c i d konstante i a, b i c nisu sve nula, onda je grafik jednačine

$ax+by+cz+d=0,$

ravan koja ima vektor n = (a, b, c) kao normalu. Ova poznata jednačina za ravan naziva se opšti oblik jednačine ravni.

Tako na primer, regresiona jednačina oblika y = d + ax + cz (sa b = −1) uspostavlja najbolje prilagođenu ravan u trodimenzionalnom prostoru kada postoje dve promenljive objašnjenja.

Ravan i drugi geometrijski objekti

Ravan i tačka

Ravan u prostoru Rⁿ može sadržati ili ne sadržati neku od tačaka istog. Algebarski, ovo se proverava tako što se koordinate tačke ubace na odgovarajuća mesta promenjivih u jednačinu ravni. Ukoliko je jednačina ravni zadovoljena, tačka pripada ravni. U suprotnom tačka ne pripada ravni.

Projekcija tačke na ravan

Ukoliko tačka ne pripada ravni, onda postoji tačno jedna prava koja prolazi kroz tu tačku, i normalna je na ravan. Ta prava seče ravan u tačno jednoj tački koja je u stvari projekcija prethodne tačke na datu ravan. Recimo da se ravan zove A i da je određena tačkom P i njenim normalnim vektorom ${\overrightarrow {n}}$. Neka je Q proizvoljna tačka istog prostora koja ne pripada A. Tada za projekciju Q' tačke Q na ravan A važi sledeće:

$Q'\in A\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\|{\overrightarrow {n}}\Rightarrow$

$Q'=Q+\alpha {\overrightarrow {n}}\in A$

${\overrightarrow {PQ'}}{\overrightarrow {n}}=0$

Ovime se dobija jednačina sa nepoznatom α.

$\left(Q+\alpha {\overrightarrow {n}}-P\right)\cdot {\overrightarrow {n}}=0,\;\;\alpha ={\frac {{\overrightarrow {PQ}}{\overrightarrow {n}}}{|{\overrightarrow {n}}|^{2}}}$

Nakon što se odredi vrednost α, tačka Q' je određena već datom jednačinom:

$Q'=Q+\alpha {\overrightarrow {n}}$

Rastojanje tačke i ravni

Rastojanje neke tačke od ravni u Rⁿ je određeno njenim rastojanjem od njene projekcije na istu ravan. Vidi rastojanje tačaka.

Ovo rastojanje se specijalno u R³, kada su poznate tri nekolinearne tačke ravni S, W, T, može izraziti i preko odnosa zapremine i površine baze prizme koju grade romboid određen sa ove tri tačke sa tačkom Q:

$d\left(A\left(S,W,T\right),Q\right)={\frac {\left[{\overrightarrow {SW}},{\overrightarrow {ST}},{\overrightarrow {SQ}}\right]}{\left|{\overrightarrow {SW}}\times {\overrightarrow {ST}}\right|}}$

Ravan i prava

Ravan i prava u R³ imaju tri moguća međusobna položaja: prava je paralelna sa ravni (njen vektor je normalan na normalan vektor ravni), prava seče ravan u jednoj tački, prava pripada ravni. U prostorima veće dimenzije je moguće i da prava nema zajedničkih tačaka sa ravni ali da takođe nije paralelna sa njome. Ovaj položaj se naziva mimoilaženje.

Presek ravni i prave

Pretpostavimo da se prava p određena sa tačkom $P$ i vektorom ${\overrightarrow {v}}$, i ravan A određena sa tačkom $Q$ i normalnim vektorom ${\overrightarrow {n}}$ seku. Njihova tačka preseka L bi bila određena sa:

$L=P+\alpha {\overrightarrow {v}},\;L\in A$

Kada se ovako dobijeni vektor koordinata tačke L ubaci u jednačinu ravni, dobije se jednačina sa jednom nepoznatom, α. Nakon što se α odredi, treba je vratiti u gornju jednačinu. Rezultat su koordinate tačke L.

U R³ bi to izgledalo ovako:

$A:n_{1}(x_{1}-Q_{1})+n_{2}(x_{2}-Q_{2})+n_{3}(x_{3}-Q_{3})=0$

$L:(P_{1}+\alpha v_{1},P_{2}+\alpha v_{2},P_{3}+\alpha v_{3})$

$\Rightarrow n_{1}(P_{1}+\alpha v_{1}-Q_{1})+n_{2}(P_{2}+\alpha v_{2}-Q_{2})+n_{3}(P_{3}+\alpha v_{3}-Q_{3})=0$

${\overrightarrow {n}}\cdot \left({\overrightarrow {QP}}+\alpha {\overrightarrow {v}}\right)=0$

$\alpha =-{\frac {{\overrightarrow {n}}{\overrightarrow {QP}}}{{\overrightarrow {n}}{\overrightarrow {v}}}},\;L=P+\alpha {\overrightarrow {v}}$

Projekcija prave na ravan

Projekcija prave p na ravan A je ili jedna prava p' koja pripada ravni A, ili jedna tačka P' na ravni A. Do drugog slučaja dolazi kada je prava p u stvari normalna na ravan A, a rezultujuća tačka je u stvari njihov presek.

Kada prava p nije normalna na ravan A, njena projekcija, prava p' se može konstruisati kroz projekcije dve različite tačke prave p na ravan A.

Rastojanje prave i ravni

Ukoliko prava p ne seče ravan A, rastojanje između njih je jednako rastojanju između bilo koje tačke prave i ravni.

Ravan i ravan

Dve ravni u prostoru Rⁿ mogu biti mimoilazne, paralelne, mogu se seći po jednoj pravoj ili biti identične.

Presek dve ravni

Presek dve ravni A i B može biti prazan skup (ukoliko su ravni paralelne ili mimoilazne), jedna tačka (ukoliko su ravni u principu mimoilazne ali se dodiruju u jednoj tački), jedna prava (ukoliko se ravni seku) i ravan, ukoliko su ravni identične.

Odnos dve ravni, kao i njihov presek se daju odrediti rešavanjem sistema jednačina ove dve ravni. Pretpostavimo da su zadate dve ravni $A:P,{\overrightarrow {a}}$ i $B:Q,{\overrightarrow {b}}$

$A:x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots +x_{n-1}a_{n-1}+P_{n}a_{n}=K_{A},\;K_{A}\in R$

$B:x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\cdots +x_{n-1}b_{n-1}+Q_{n}b_{n}=K_{B},\;K_{B}\in R$

Rang rešenja sistema

${\begin{cases}x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots +x_{n-1}a_{n-1}+x_{n}a_{n}=K_{A}\\x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\cdots +x_{n-1}b_{n-1}+x_{n}b_{n}=K_{B}\end{cases}}$

određuje šta je rezultat preseka i ekvivalentan je dimenziji rezultujućeg potprostora. Samo rešenje sistema opisuje objekat dobijen presekom.

Rastojanje dve paralelne ravni

Dve ravni su paralelne ukoliko ih grade parovi vektora koji grade baze istog potprostora u datom prostoru. Ovi parovi vektora se u međusobnom odnosu još zovu koplanarni. Rastojanje dve ravni je konstantno, posmatrano iz bilo koje tačke jedne prema drugoj ravni. Stoga se može svesti na rastojanje bilo koje tačke jedne ravni od druge ravni.

Rastojanje dve mimoliazne ravni

Ravni mogu biti mimoilazne u prostorima dimenzije veće od tri. Karakteristika ovako postavljenih ravni je da se ne seku po pravoj i da postoji tačno jedan par tačaka sa prve i druge ravni, za koje je rastojanje minimalno. Ukoliko se parametri ravni tako podese, da ove dve tačke imaju iste koordinate, ravni će se dodirivati samo u tim tačkama a rastojanje ove dve ravni je jednako nuli.

U opštem slučaju, rastojanje dve mimoilazne ravni se izračunava postavljanjem jednačine dužine vektora između ove dve ravni, i nalaženjem njenog minimuma diferenciranjem.

Vidi još

• Tačka
• Prava
• Vektor
• Poluravan
• Hiperravan

Literatura

• Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th izd.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7 
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, I, Boston: Allyn and Bacon, Inc. 
• Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] izd.). New York: Dover Publications. str. 50–62. ISBN 0-486-20630-0. 
• Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley. 
• Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon. 
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] izd.). New York: Dover Publications.  In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W.H. Freeman. 
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press. 
• Nagel, E.; Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press. 
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel, Michiel, ur. (2001) [1994], „Plane”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Weisstein, Eric W. „Plane”. MathWorld. 
• "Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry" is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.