Sfera

Model sfere. Tamnoplavim linijama je izvučena mreža, koja pokriva ovu površ. Sama sfera na slici je transparentno-bela, što je uočljivo delimičnom vidljivošću mreže na njenoj sakrivenoj strani.

Sfera (od starogrčki σφαῖρα (sphaîra), sa značenjem „globe, ball”) u matematici primarno označava površinu u trodimenzionom prostoru. U tom smislu se može definisati kao geometrijsko mesto tačaka u prostoru, čije je rastojanje od date tačke O konstantno i iznosi r. Pritom se O naziva centrom sfere, a r njenim poluprečnikom. Deo prostora, kojeg sfera ograničava se naziva loptom.

Sfera je osnovni objekat u mnogim oblastima matematike. Sfere i gotovo sferični oblici se takođe pojavljuju u prirodi i industriji. Mehurići kao što su mehurići sapuna u ravnoteži poprimaju sferni oblik. Zemlja se u geografiji često aproksimira kao sfera, a nebeska sfera je važan pojam u astronomiji. Proizvedeni predmeti, uključujući posude pod pritiskom i većina zakrivljenih ogledala i sočiva, zasnovani su na sferama. Sfere se glatko kotrljaju u bilo kom pravcu, tako da je većina lopti koje se koriste u sportu i igračkama sferične, kao i kuglični ležajevi.

Geometrijski gledano, sfera se može formirati rotiranjem kruga za pola obrtaja oko ose koja seče centar kruga, ili rotacijom polukruga za jedan pun obrt oko ose koja se poklapa (ili istovremeno) sa pravom ivicom polukruga.

Jednačine sfere

Sfera se u dekartovom koordinatnom sistemu može predstaviti jednačinom:

$(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}+(z-z_{c})^{2}=r^{2}\,$,

gde je tačka C = (x_c, y_c, z_c) centar sfere, a r njen poluprečnik.

Koordinate iz ove jednačine se mogu razložiti i na pojedinačne komponente:

$\,x=x_{c}+r\sin \theta \;\cos \varphi$

$\,y=y_{c}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \varphi \leq 2\pi ;0\leq \theta \leq \pi )\,$

$\,z=z_{c}+r\cos \theta \,$

Osobine

Površina sfere je definisana njenim poluprečnikom, i iznosi:

$S=4\pi r^{2}\,$

Iako je sfera kao površ šuplja, ona u prostoru ograničava određenu zapreminu, koja se takođe može definisati poluprečnikom te sfere, i iznosi:

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Zatvorena zapremina

Sfera i opisani cilindar

U tri dimenzije, zapremina unutar sfere (tj. zapremina lopte, ali se klasično naziva zapremina sfere) je

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}$

gde je r poluprečnik a d prečnik sfere. Arhimed je prvi izveo ovu formulu pokazujući da je zapremina unutar sfere dvostruko veća od zapremine između sfere i opisanog cilindra te sfere (imaju visinu i prečnik jednake prečniku sfere). Ovo se može dokazati upisivanjem konusa u polusferu, uz napomenu da je površina poprečnog preseka konusa plus površina poprečnog preseka sfere ista kao i površina poprečnog preseka opisanog cilindra, i primenom Kavalijerijevog principa. Ova formula se takođe može izvesti korišćenjem integralnog računa, odnosno integracije diskova da se saberu zapremine beskonačnog broja kružnih diskova beskonačno male debljine naslaganih jedan pored drugog i centriranih duž x-ose od x = −r do x = r, pod pretpostavkom da je sfera poluprečnika r je centrirana u koordinatnom početku.

Dokaz zapremine sfere, korišćenjem kalkulusa

Na bilo kom datom x, inkrementalna zapremina (δV) jednaka je proizvodu površine poprečnog preseka diska u x i njegove debljine (δx): $\delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.$ Ukupna zapremina je zbir svih inkrementalnih zapremina: $V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.$ U limitu kako se δx približava nuli, ova jednačina postaje: $V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.$ U bilo kom datom x, pravougli trougao povezuje x, y i r sa ishodištem; dakle, primena Pitagorine teoreme daje: $y^{2}=r^{2}-x^{2}.$ Korišćenje ove zamene daje $V=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx,$ koji se može proceniti da bi dao rezultat $V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$ Alternativna formula se nalazi pomoću sfernih koordinata, sa elementom zapremine $dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$ tako da je $V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Za većinu praktičnih svrha, zapremina unutar sfere upisane u kocku može se aproksimirati kao 52,4% zapremine kocke, pošto je V = π/6 d³, gde je d prečnik sfere i takođe dužina stranice kocke i π/6 ≈ 0,5236. Na primer, sfera prečnika 1 m ima 52,4% zapremine kocke sa dužinom ivice 1 m, ili oko 0,524 m³.

Površina

Površina sfere poluprečnika r je:

$A=4\pi r^{2}.$

Arhimed je prvi izveo ovu formulu iz činjenice da projekcija na bočnu površinu opisanog cilindra očuvava površinu. Drugi pristup dobijanju formule dolazi iz činjenice da je ona jednaka derivatu formule za zapreminu u odnosu na r, jer se ukupna zapremina unutar sfere poluprečnika r može smatrati zbirom površine beskonačnog broja sfernih školjki beskonačno male debljine koncentrično naslaganih jedna unutar druge od poluprečnika 0 do poluprečnika r. Pri infinitezimalnoj debljini, neslaganje između unutrašnje i spoljašnje površine bilo koje date školjke je infinitezimalno malo, a elementarna zapremina na radijusu r je jednostavno proizvod površine na radijusu r i beskonačno male debljine.

Dokaz površine, korišćenjem kalkulusa

Na bilo kom datom poluprečniku r, inkrementalna zapremina (δV) jednaka je proizvodu površine na poluprečniku r (A(r)) i debljine ljuske (δr): $\delta V\approx A(r)\cdot \delta r.$ Ukupna zapremina je zbir svih zapremina školjke: $V\approx \sum A(r)\cdot \delta r.$ U limitu kako se δr približava nuli ova jednačina postaje: $V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.$ Zamenom V se dobija: ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.$ Diferenciranje obe strane ove jednačine u odnosu na r daje A kao funkciju r: $4\pi r^{2}=A(r).$ Ovo se uglavnom skraćeno zapisuje kao: $A=4\pi r^{2},$ gde se r sada smatra fiksnim poluprečnikom sfere. Alternativno, element površine na sferi je dat u sfernim koordinatama sa dA = r2 sin θ dθ dφ. U Dekartovim koordinatama, element površine je $dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k.$ Ukupna površina se tako može dobiti integracijom: $A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.$

Sfera ima najmanju površinu od svih površina koje obuhvataju datu zapreminu, a obuhvata najveću zapreminu među svim zatvorenim površinama sa datom površinom. Sfera se stoga pojavljuje u prirodi: na primer, mehurići i male kapi vode su otprilike sferne, jer površinski napon lokalno minimizira površinu.

Površina u odnosu na masu lopte naziva se specifična površina i može se izraziti iz gore navedenih jednačina kao

$\mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},$

gde je ρ gustina (odnos mase i zapremine).

Uopštenje sfere

Sfera se može uopštiti i na druge prostore i metrike, osim R³, sledeći njenu osnovnu definiciju da se radi o geometrijskom mestu tačaka, podjednako udaljenim od jedne centralne tačke. Primer njene primene u nekom drugom prostoru je npr. u R², gde je ona zapravo kružnica.

Vidi još

• Sferni koordinatni sistem
• Lopta
• Hipersfera

Literatura

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3 .
• Dunham, William (1997). The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities. Wiley. New York. str. 28, 226. Bibcode:1994muaa.book.....D. ISBN 978-0-471-17661-9. 
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd izd.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-50728-4 .
• Steinhaus, H. (1969), Mathematical Snapshots (Third American izd.), Oxford University Press .
• Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover .
• Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
• Boyer, Carl B., A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. (1991). Boyer, Carl B. (20. 3. 1991). A History of Mathematics. Wiley. ISBN 0-471-54397-7.  CS1 održavanje: Format datuma (veza).
• Gal, Shmuel and Bachelis, Boris. An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
• Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2nd ed. Penguin Books, London. (2000). Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics. Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.  .
• Kantabutra, Vitit, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
• Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (2002): Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. ISBN 0-691-09541-8.  .
• Needham, Tristan, "Preface"" to Visual Complex Analysis. Oxford University Press, (1999). Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Clarendon Press. ISBN 0-19-853446-9.  .
• Nielsen, Kaj L. (1966), Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places (2nd izd.), New York: Barnes & Noble, LCCN 61-9103 
• O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, "Trigonometric functions", MacTutor History of Mathematics archive. (1996).
• O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, "Madhava of Sangamagramma" Arhivirano na sajtu Wayback Machine (26. februar 2006), MacTutor History of Mathematics archive. (2000).
• Pearce, Ian G., "Madhava of Sangamagramma" Arhivirano na sajtu Wayback Machine (5. maj 2006), MacTutor History of Mathematics archive. (2002).
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042 
• Weisstein, Eric W., "Tangent" from MathWorld, accessed 21 January 2006.
• Iyanaga, Shōkichi; Kawada, Yukiyosi (1977). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ISBN 978-0262090162. 
• Philip M. Morse; Herman Feshbach (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. str. 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515. 
• Henry Margenau; Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. str. 177–178. LCCN 55010911. 
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. str. 174—175. ASIN B0000CKZX7. LCCN 59014456. 
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. str. 95—96. LCCN 67025285. 
• Moon P, Spencer DE (1988). „Spherical Coordinates (r, θ, ψ)”. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print izd.). New York: Springer-Verlag. str. 24—27 (Table 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2. 
• Duffett-Smith P, Zwart J (2011). Practical Astronomy with your Calculator or Spreadsheet, 4th Edition. New York: Cambridge University Press. str. 34. ISBN 978-0521146548. 

Spoljašnje veze

• Mathematica/Uniform Spherical Distribution
• Surface area of sphere proof