Teorija kategorija

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Kategorija sa objektima X, Y, Z i morfizmima f, g, gf, i tri identička morfizma (nisu prikazani) 1X, 1Y and 1Z.

Teorija kategorija se koristi da formalizuje matematiku i njene koncepte kao kolekcije objekata i strelica (morfizama). Teorija kategorija može da se koristi da formalizuje već postojeće teorije na višem nivou apstrakcije kao što su teorija skupova, teorija prstena i teorija grupa. Nekoliko termina koji se koriste u teoriji kategorija, uključujući termin "morfizam", ima različito značenje u ostalim oblastima matematike.

Kategorije[uredi]

Kategorija C se sastoji od sledeća tri entiteta:

  • Klase ob(C), čije elemente zovemo objekti;
  • Klase hom(C), čije elemente zovemo morfizmi ili preslikavanja ili strelice. Svaki morfizam f ima svoj domen a i kodomen b.

Izraz f : ab, se čita kao "f je morfizam iz a u b".
Izraz hom(a, b) — koriste se i oznake homC(a, b), mor(a, b), ili C(a, b) — označava klasu svih morfizama iza u b.

  • Binarne operacije ∘, koju nazivamo kompozicija morfizama, tako da za bilo koja tri objekta a, b, i c, važi hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Kompoziciju f : ab i g : bc zapisujemo gf ili gf, regulisana sa dve aksiome:
    • Asocijativnost: Ako f : ab, g : bc i h : cd onda je h ∘ (gf) = (hg) ∘ f, i
    • Identitet (matematika): Za svaki objekt x, postoji morfizam 1x : xx zvani identički morfizam x, tako da za svaki morfizam f : ab, važi 1bf = f = f ∘ 1a.
Iz aksioma se može dokazati da postoji tačno jedan identički morfizam za svaki objekt. Neki autori odstupaju od ove definicije identifikujući svaki objekt sa njegovim identičkim morfizmom.

Vidi još[uredi]

Literatura[uredi]