Furijeov red

Furijeov red je matematička operacija kojom se periodična funkcija razlaže na svoje „spektralne komponente“ radi jednostavnije analize. Nekoliko prvih članova takvog razvoja se u tehnici često uzimaju kao veoma korisna vrsta aproksimacije. Diskretna Furijeova transformacija pretvara diskretne vrednosti (vektor) u Furijeove koeficijente. Neprekidna Furijeova transformacija radi to isto sa funkcijom. Naziv je dobila po francuskom matematičaru Žozefu Furijeu (1768—1830).

U matematici, Furijeov red rastavlja periodičnu funkciju u sumu jednostavnih oscilatornih funkcija, to jest, u sinuse i kosinuse. Proučavanje Furijeovih redova je grana Furijeove analize. Furijeove redove uveo je Furije u svrhu rešavanja toplotne jednačine u metalnoj ploči. Ovo je dovelo do revolucije u matematici, podstičući matematičare da preispitaju temelje matematike, iz čega je proizašlo do mnogih modernih teorija, kao što je Lebegova integracija.

Toplotna jednačina je parcijalna diferencijalna jednačina. Pre Furijeovog rada, nije postojalo poznato rešenje toplotne jednačine u opštom slučaju, iako su pojedinačna rešenja bila poznata ako se izvor toplote ponašao na jednostavan način, na primer, ako je toplotni izvor bio sinusni ili kosinusni talas. Ove jednostavne situacije se ponekad nazivaju sopstvena rešenja. Furijeova ideja je bila da se uzme komplikovani izvor toplote kao superpozicija (ili linearna kombinacija) jednostavnih sinusnih i kosinusnih talasa, te da se rešenje napiše kao superpozicija odgovarajućih sopstvenih rešenja. Ova superpozicija ili linearna kombinacija naziva se Furijeov red.

Iako je prvobitna motivacija bila da se riši toplotna jednačina, kasnije je postalo očito da ista tehnika može biti primenjena na širok spektar matematičkih i fizičkih problema. Osnovne rezultate lako je razumeti koristeći se modernom teorijom.

Furijeovi redovi imaju mnogo primena u elektrotehnici, analizi vibracija, akustici, optici, obradi signala, obradi slika, kvantnoj mehanici, i tako dalje.

Istorijski razvoj

Žozef Furije otpočeo je proučavanje Furijeovih redova kako bi rešio toplotnu jednačinu.

Furijeov red dobio je naziv u čast Žozefa Furijea (1768-1830), koji je dao važan doprinos proučavanju trigonometrijskih redova, nakon početnih proučavanja od strane Leonarda Ojlera, Žana le Ron d'Alambera i Danijela Bernulija. Ovu je tehniku primenio je kako bi pronašao rešenje toplotne jednačine, a svoje početne rezultate objavio je 1807. i 1811. godine, dok je Théorie analytique de la chaleur objavio 1822. godine.

Sa modernog stajališta, Furijeovi rezultati su, na neki način, neformalni, zbog nepreciznog označavanja funkcije i integrala u ranom 19. veku. Kasnije, Dirihle i Riman izrazili su Furijeove rezultate sa većom preciznošću i formalnošću.

Revolucionarni članak

„ $\varphi (y)=a\cos {\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a''\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .$

Množeći obe strane sa $\cos(2i+1){\frac {\pi y}{2}}$, a zatim ih integrisati u granicama od $y=-1$ do $y=+1$, daje:

$a_{i}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2i+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.$

”

U ovih nekoliko linija, koje su jako bliske modernom formalizmu korištenom kod Furijeovih redova, Furije je nenamerno doveo do revolucije u matematici i fizici. Iako je slične trigonometrijske redove prethodno koristio Ojler, d'Alamber, Danijel Bernuli i Gaus, Furije je verovao da takvi trigonometrijski redovi mogu da predstavlaju proizvoljne funkcije. Iako ovo nije tačno, pokušaji tokom mnogo godina kako bi se ova ideja klasifikovala doveli su do važnih otkrića u teorijama konvergencije, funkcionalnih prostora i harmonijske analize.

Kada je Furije objavio svoj rad 1807. godine, komitet (kojeg su, između ostalih, činili ne manje značajni matematičari Lagranž, Laplas, Malus i Ležandr) je zaključio: ...način na koji autor stiže do ovih jednačina nije oslobođen od poteškoća i [...] njegova analiza da ih integriše još uvek ostavlja nešto što bi bilo traženo kao rezultat većine, pa čak i strogost.

Rođenje harmonijske analize

Od Furijeovog vremena, otkriveno je mnoštvo različitih pristupa za definisanje i razumevanje koncepta Furijeovih redova, pri čemu su svi dosledni jedni drugima, ali gde svaki naglašava različite aspekte ove tematike. Neki od moćnijih i elegantnijih prostupa su bazirani na matematičkih idejama i alatima koji nisu bili dostupni u vreme kada je Furije završio svoj originalni rad. Furije je, originalno, definisao Furijeov red za funkcije realne vrednosti realnih argumenata, te je koristio sinusne i kosinusne funkcije kao bazni skup za razvijanje.

Od tada su definisane mnoge druge transformacije vezane za Furijea, proširujući početnu ideju na druge primene. Ovo opšto područje ispitivanja se sada, ponekad, naziva harmonijska analiza. Furijeovi se redovi, međutim, mogu koristiti samo za periodične signale.

Matematička osnova

Uzmimo neku periodičnu funkciju $f(t)\,$ sa periodom T, za koju važi $f(t+T)=f(t)\,$. Zbog periodičnosti možemo da je razdelimo na N sinus i kosinus funkcija:

$f(t)=A_{0}+A_{1}\cos(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cos(2\omega t+\varphi _{2})+\ldots +A_{N}\cos(N\omega t+\varphi _{N})=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n}).$, $\omega :=2\cdot \pi \cdot freq$, gde je $freq$ osnovna frekvencija, odnosno harmonik.

Treba imati na umu da je sinus samo kosinus sa faznim pomerajem:

$f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n})=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}(A_{n}\cos \varphi _{n}\cdot \cos(n\omega t)-A_{n}\sin \varphi _{n}\cdot \sin(n\omega t))$

Kada definišemo $a_{0}:=A_{0}\,$, a potom $a_{n}:=A_{n}\cos \varphi _{n}$ i $b_{n}:=A_{n}\sin \varphi _{n}$ dobijamo isti izraz, ovog puta bez faze:

$f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}(a_{n}\cos(n\omega t)-b_{n}\sin(n\omega t)).$

Zašto se ne uzima tan ili recimo cosh? Zašto baš cos i sin? Razlog je ortogonalnost sin i cos funkcija. $\cos(t)\cdot \sin(t)=\int _{0}^{2\pi }\cos(t)\cdot \sin(t){d}t=0$

Ideja iza furijeove transformacije je sledeća: ceo prostor koji ima „normalne“ ose transformišemo u prostor u kome su nove ortogonalne ose kosinus i sinus talasi i njihovi viši harmonici. Signal koji transformišemo je samo jedna tačka (mesni vektor), a vrednosti na svakoj osi su amplitude svakog harmonika pojedinačno ($[A_{0},\ldots ,A_{N}]$).

Sada se uključuje Ojlerov identitet uz pomoć koga ove trigonometrijske funkcije možemo da zamenimo kompleksnim pandanima:

$\cos(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{\mathrm {i} x}+e^{-\mathrm {i} x}\right)$ i $\sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(e^{\mathrm {i} x}-e^{-\mathrm {i} x}\right)$

Iz toga dalje sledi

$f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}+e^{-\mathrm {i} n\omega t})-{1 \over \mathrm {i} }b_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}-e^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)$

$=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}+e^{-\mathrm {i} n\omega t})+\mathrm {i} b_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}-e^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)$

$=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left((a_{n}+\mathrm {i} b_{n})e^{\mathrm {i} n\omega t}+(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})e^{-\mathrm {i} n\omega t}\right)$

Zamenimo realne koeficijente kompleksnim:

$c_{0}:=a_{0}\,$, $c_{n}:={\frac {1}{2}}(a_{n}+\mathrm {i} b_{n})$ i $c_{-n}:={\frac {1}{2}}(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})={\overline {c_{n}}}$

dobijamo sumu sa negativnim indeksima:

$f(t)=\sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{\mathrm {i} k\omega t}$

Takođe, ne treba gubiti iz vida da su $e^{\mathrm {i} jt}$ funkcije isto ortonormalne baze (svaki vektor koji predstavlja osu ima dužinu 1 i normalan je u odnosu na sve ostale vektore):

U slučaju $j=k$

$(e^{\mathrm {i} jt},e^{\mathrm {i} jt})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}{\overline {e^{\mathrm {i} jt}}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}e^{-\mathrm {i} jt}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }1dt=1$

A za $j\neq k$ važi:

$(e^{\mathrm {i} jt},e^{\mathrm {i} kt})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}{\overline {e^{\mathrm {i} kt}}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}e^{-\mathrm {i} kt}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} (j-k)t}$

$={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\left[e^{\mathrm {i} (j-k)t}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\left(e^{\mathrm {i} (j-k)2\pi }-1\right)=$

$={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\cdot 0=0$

Furijeovi redovi

No, želimo sada da neku periodičnu i neprekidnu funkciju približno izračunamo uz pomoć sume trigonometrijskih funkcija (konkretno: kosinusa i sinusa). Videli smo kako možemo da dođemo do $c_{j}$; gornju jednačinu množimo sa $e^{-\mathrm {i} m\omega t}$ i naposletku integrišemo sa obe strane po intervalu [0,T] odnosno u trajanju jedne periode:

$e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\left(e^{\mathrm {i} (n\omega t)}e^{-\mathrm {i} m\omega t}\right)=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}e^{\mathrm {i} (n+m)\omega t-\mathrm {i} m\omega t}=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}e^{\mathrm {i} n\omega t}$

$\Leftrightarrow \int _{0}^{T}e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)dt=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt$

Za integrale sa desne strane važi:

kada je n=0: $\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} 0\omega t}dt=\int _{0}^{T}e^{0}=\left[1\right]_{0}^{T}=T$

a kada je n≠0: $\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt=\left[{\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}e^{\mathrm {i} n\omega t}\right]_{0}^{T}$ $={\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}(e^{\mathrm {i} n\omega T}-1)$

Iz $\omega T=2\pi$ sledi $e^{\mathrm {i} n\omega T}=(e^{2\pi \mathrm {i} })^{n}=1$, a to dalje možemo da primenimo na gorenavedeni integral:

$\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt=0$

Na kraju se cela računica uprošćava:

$\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt$

$=\sum _{n=-N-m}^{-1}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt+c_{m}\cdot \int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} 0\omega t}dt+\sum _{n=1}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt$

$=0+c_{m}T+0=c_{m}T=\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt$

$\Leftrightarrow c_{m}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt.$

U celom računu neka nas ne zbunjuje korišćenje promenljive $m$, njena svrha je puko uprošćavanje jednačine. Sve je stoga samo dosetljivost, odnosno umetnost kako napisati jedno te isto na drugačiji način.

Na kraju, Furijeov red definišemo:

$f_{N}(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{in\omega t}$

Konvergentnost Furijeovog reda

Furijeov red konvergira ka mnogim funkcijama; tu spadaju pored ostalih sve funkcije koje imaju izvod ili su kvadratno integrabilne (L² prostor).

Pretpostavimo da je $f(t)$ jedna takva funkcija. Kada namestimo $N\rightarrow \infty$, onda ona takođe može da se napiše i ovako:

$f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{\mathrm {i} n\omega t}=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{T}}(\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt)\cdot e^{\mathrm {i} n\omega t}=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {e^{\mathrm {i} n\omega t}}{T}}\cdot \int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt$

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {e^{\mathrm {i} n\omega t}}{T}}\cdot \int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt$

Vidi još

• Dualnost po Pontrjaginu

Literatura

• William E. Boyce and Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th izd.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43338-5. 
• Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (1822). The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. ISBN 978-0-486-49531-6.  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
• Enrique A. Gonzalez-Velasco (1992). „Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series”. American Mathematical Monthly. 99 (5): 427—441. doi:10.2307/2325087. 
• Katznelson, Yitzhak (1976). „An introduction to harmonic analysis” (Second corrected izd.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-63331-2. 
• Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis (3rd izd.). New York: McGraw-Hill, Inc. ISBN 978-0-07-054235-8. 
• A. Zygmund (2002). Trigonometric series (third izd.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89053-3.  The first edition was published in 1935.

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Fourier series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Fourier Series”. MathWorld. 
• „Joseph Fourier – A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article”. Arhivirano iz originala 5. 12. 2001. g. Pristupljeno 4. 3. 2019.