Полином

У математици, полином је израз који је сачињен од једне или више променљивих и константи, коришћењем операција сабирања, одузимања, множења, и степеновања позитивним целим степенима. На пример, $x^{3}+10x+(-9)\,$ је полином. Треба имати у виду да дељење и кореновање изразом који садржи променљиву у општем случају није дозвољено код полинома.

Преглед

Полиноми су сачињени од градивних елемената који се називају мономи, а они се састоје од константе (која се назива коефицијентом), помножене једном или више променљивих (које се обично представљају словима). Свака променљива може имати константан позитиван цео број као експонент. Експонент над променљивом у моному је једнак степену те променљиве у моному. Како је $x=x^{1}$, степен променљиве без записаног експонента је један. Моном без променљивих се назива константним мономом, или просто константом. Степен константе је 0. Коефицијент монома може бити било који број, укључујући разломке, ирационалне и негативне бројеве.

На пример,

$-5x^{2}y\,$

је моном. Коефицијент је -5, а променљиве су x и y. Степен променљиве x је два, а степен променљиве y је један.

Степен целог монома је збир степени сваке променљиве у њему. У горњем примеру је степен једнак 2 + 1 = 3.

Полином представља збир једног или више монома. На пример, ово је један полином:

$3x^{2}-5x+4\,.$

Састоји се од три монома: први је степена два, други је степена један, а трећи је степена нула.

Полином се обично записује тако да мономи вишег степена долазе пре оних нижег степена. У првом моному, коефицијент је 3, променљива је x, а експонент је два. У другом моному, коефицијент је -5. Трећи је константа. Степен полинома је највећи степен неког његовог монома. На пример, горњи полином има степен два.

Полином степена један се назива линеарни, полином степена два се назива квадратни, а онај степена три се назива кубни.

Полином сачињен од једног монома се и сам назива моном. Полином сачињен од два монома је бином, док је онај сачињен од три монома назива трином.

Полином чији терм највишег степена има коефицијент 1 је моничан.

Израз који се може трансформисати у полином кроз низ примена комутативних, асоцијативних, и дистрибутивних закона се обично и сам сматра полиномом.

На пример

${\frac {x^{3}}{12}}$

се сматра полиномом, јер је еквивалентно ${\tfrac {1}{12}}x^{3}$. Коефицијент је ${\tfrac {1}{12}}$.

Али,

${1 \over x^{2}+1}\,$

није полином, јер укључује дељење променљивом, као што у општем случају није ни

$(5+y)^{x}\,$

јер има променљиву за експонент.

Како се одузимање може посматрати као сабирање сабирака супротног знака, а степеновање константним позитивним бројем се може посматрати као поновљено множење, полиноми се могу конструисати од константи и променљивих применом само операција сабирања и множења.

Полиномијална функција је функција дефинисана вредношћу полинома. На пример, функција f дефинисана као

$f(x)=x^{3}-x\,$

је полиномијална функција. Полиномијалне функције су важна класа глатких функција. Израз глатко долази из математичке анализе. Значи да је увек могуће наћи извод полиномијалне функције, колико год пута, и колико год често. Глатка функција описује изглед графика полиномијалне функције.

Елементарна својства полинома

1. Збир два полинома је полином
2. Производ два полинома је полином
3. Извод полинома је полином
4. Примитивна функција полинома је полином

Полиноми се користе да апроксимирају друге функције, као што су синус, косинус, и експоненцијална функција.

Сви полиноми имају проширени облик, у коме се користи дистрибутивни закон да се уклоне све заграде. Неки полиноми имају растављен облик у коме је полином записан као производ полинома са реалним коефицијентима. На пример, полином

$x^{2}-2x-3\,$

је једнак, и представља проширени облик полинома

$(x-3)(x+1)\,$,

који је записан у растављеном облику.

Сваки полином једне променљиве је еквивалентан полиному облика

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$.

Ово се некад узима за дефиницију полинома једне променљиве.

Рачунање вредности полинома се састоји од додељивања неке бројевне вредности свакој променљивој, и извршавања одговарајућих множења и сабирања. Ово рачунање се понекад ефикасније спроводи коришћењем Хорнерове шеме

$((\ldots (a_{n}x+a_{n-1})x+...+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}\,$.

У елементарној алгебри, се изучавају методи за решавање свих полиномијалних једначина једне променљиве првог и другог степена. Када су у питању полиномијалне једначине, променљива се често назива непознатом. Број решења полиномијалне једначине не може да премаши степен полинома, и тачно је једнак овом степену ако се уброји мултиплицитет решења, као и комплексна решења. Ова чињеница је основна теорема алгебре.

Operacije

Сабирање и одузимање

Polynomials can be added using the associative law of addition (grouping all their terms together into a single sum), possibly followed by reordering (using the commutative law) and combining of like terms. For example, if

$P=3x^{2}-2x+5xy-2$ and $Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$

then the sum

$$P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$$

can be reordered and regrouped as

$$P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)$$

and then simplified to

$$P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.$$

When polynomials are added together, the result is another polynomial.

Subtraction of polynomials is similar.

Multiplication

Polynomials can also be multiplied. To expand the product of two polynomials into a sum of terms, the distributive law is repeatedly applied, which results in each term of one polynomial being multiplied by every term of the other. For example, if

$${\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}$$

then

$${\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}$$

Carrying out the multiplication in each term produces

$${\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}$$

Combining similar terms yields

$${\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}$$

which can be simplified to

$$PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.$$

As in the example, the product of polynomials is always a polynomial.

Composition

Given a polynomial $f$ of a single variable and another polynomial g of any number of variables, the composition $f\circ g$ is obtained by substituting each copy of the variable of the first polynomial by the second polynomial. For example, if $f(x)=x^{2}+2x$ and $g(x)=3x+2$ then

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).$$

A composition may be expanded to a sum of terms using the rules for multiplication and division of polynomials. The composition of two polynomials is another polynomial.

Division

The division of one polynomial by another is not typically a polynomial. Instead, such ratios are a more general family of objects, called rational fractions, rational expressions, or rational functions, depending on context. This is analogous to the fact that the ratio of two integers is a rational number, not necessarily an integer. For example, the fraction 1/(x² + 1) is not a polynomial, and it cannot be written as a finite sum of powers of the variable x.

For polynomials in one variable, there is a notion of Euclidean division of polynomials, generalizing the Euclidean division of integers. This notion of the division a(x)/b(x) results in two polynomials, a quotient q(x) and a remainder r(x), such that a = b q + r and degree(r) < degree(b). The quotient and remainder may be computed by any of several algorithms, including polynomial long division and synthetic division.

When the denominator b(x) is monic and linear, that is, b(x) = x − c for some constant c, then the polynomial remainder theorem asserts that the remainder of the division of a(x) by b(x) is the evaluation a(c). In this case, the quotient may be computed by Ruffini's rule, a special case of synthetic division.

Види још

• Моном
• Бином
• Трином
• Хомогени полином
• Симетрични полином
• Карактеристични полином
• Безуов став
• Биномна теорема

Литература

• Selby, Peter H.; Slavin, Steve (1991). Practical algebra: a self teaching guide. Wiley. ISBN 978-0-471-53012-1. 
• Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1). 1965. ISBN 978-0-07-002655-1..
• Barbeau, E.J. (2003). Polynomials. Springer. ISBN 978-0-387-40627-5. 
• Bronstein, Manuel; et al., ур. (2006). Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications. Springer. ISBN 978-3-540-27357-8. 
• Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997). Integer-Valued Polynomials. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0388-2. 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third изд.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 . This classical book covers most of the content of this article.
• Leung, Kam-tim; et al. (1992). Polynomials and Equations. Hong Kong University Press. ISBN 9789622092716. 
• Mayr, K. Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen. Monatshefte für Mathematik und Physik vol. 45, (1937) pp. 280–313.
• Prasolov, Victor V. (2005). Polynomials. Springer. ISBN 978-3-642-04012-2. 
• Sethuraman, B.A. (1997). „Polynomials”. Rings, Fields, and Vector Spaces: An Introduction to Abstract Algebra Via Geometric Constructibility. Springer. ISBN 978-0-387-94848-5. 
• Umemura, H. Solution of algebraic equations in terms of theta constants. In D. Mumford, Tata Lectures on Theta II, Progress in Mathematics 43, Birkhäuser, Boston, 1984.
• von Lindemann, F. Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften, vol. 7, 1884. Polynomial solutions in terms of theta functions.
• von Lindemann, F. Über die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen II. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, 1892 edition.

Спољашње везе

• Бесплатни онлајн калкулатор за полиноме
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Polynomial”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• „Euler's Investigations on the Roots of Equations”. Архивирано из оригинала 24. 9. 2012. г. 
• Weisstein, Eric W. „Polynomial”. MathWorld.