Generalisana hipergeometrijska funkcija
- Za druge generalizacije hipergeometrijske funkcije, pogledajte hipergeometrijsku funkciju
- Ne treba mešati sa opštom hipergeometrijskom funkcijom
Generalisani hipergeometrijski red u matematici, je stepeni red u kom odnos uzastopnih koeficijenata indeksiran sa n je racionalna funkcija n-a. Red, ako konvergira, definiše generalisanu hipergeometrijsku funkciju, koja tada može biti definisana u širem domenu argumenata analitičkim nastavkom. Generalisani hipergeometrijski red se ponekad naziva hipergeometrijski red, mada se ovaj termin ponekad odnosi samo na Gausov geometrijski red. Generalisana hipergeometrijska funkcija uključuje (Gausovu) hipergemetrijsku funkciju i konfluentnu hipergeometrijsku funkciju kao specijalne slučajeve, koji zauzvrat ima mnogo određenih specijalnih funkcija, kao specijalnih slučajeva, kao što su elementarna funkcija, Baselova funkcija, i klasični ortogonalni polinomi.
Obeležavanje[uredi | uredi izvor]
Hipergemetrijski redovi se formalno definišu kao stepeni redovi
u kojima je odnos uzastopnih koeficijenata racionalna funkcija n-a. To je,
gde su A(n) i B(n) polinomi n-a.
Na primer, za slučaj niza eksponencijalne funkcije,
imamo:
Što zadovoljava definiciju da je A(n) = 1 i B(n) = n + 1.
Iz istorijskih razloga, pretpostavlja se da je (1 + n) faktor B-a. Ako ovo već nije slučaj, onda i A i B mogu biti pomnoženi ovim faktorom; faktor se poništava, tako da termini ostaju neprmenjeni i ne postoji gubitak generalnosti.
Odnos uzstopnih koeficijenata je sada
- ,
gde su c i d vodeći koeficijenti A i B. Red onda ima formu
- ,
ili, skaliranjem z odgovarajućim faktorom i preuređenjem,
- .
Ovo ima formu eksponencijalne generalisane funkcije. Standardno obeležavanje ovog reda je obično označeno kao:
ili
Koristeći rastući faktorijel ili Pokamerov simbol:
ovo se može napisati kao
(Primetimo da ova upotreba Pokamerovog simbola nije standardna, ali je standardna upotreba u ovom kontekstu.)
Specijalni slučajevi[uredi | uredi izvor]
Neke od funkcija koje se odnose na složenije hipergeometrijske funkcije uključuju:
Terminologija[uredi | uredi izvor]
Kada su svi termini reda definisani i kada ima ne-nulu radijus konvergencije, tada red definiše analitičku funkciju. Takva funkcija, i njen analitički nastavak, se zove hipereometrijska funkcija.
Slučaj kada je radijus konvergencije 0 proizvodi mnogo interesantnih redova u matematici, na primer nepotpuna gama funkcija ima asimptotsko proširenje.
što se može zapisati kao za−1e−z 2F0(1−a,1;;−z−1). Međutim, upotreba termina hipergeometrijski red je obično ograničena na slučaj kada red definiše stvarnu analitičku funkciju.
Obične gipergeometrijske redove ne treba mešati sa osnovnim hipergeometrijskim redovima, koji, uprkos svom imenu, predstavljaju prilično komplikovanije i nejasne redove. Osnovni red je ku-analogan običnom hipergeometrijskom redu. Postoji nekoliko takvih generalisanja običnih hipergeometrijskih redova, uključujući i one koje proizilaze iz zonalne sferne funkcije na Rimanovim simetričnim prostorima.
Redovi bez faktora n! u imeniocu (sabrani svi celi brojevi n, uključujući i negativne) nazivaju se bilateralni gipergeometrijski redovi.
Konvergencija uslova[uredi | uredi izvor]
Postoje određene vrednosti aj i bk za koje je brojilac ili imenilac koeficijenata 0.
- Ako je bilo koji aj ne-pozitivni ceo broj (0, −1, −2, etc.) onda red ima samo konačan broj termina i, u stvari, je polinom stepena −aj.
- Ako je bilo koji bk ne-pozitivni ceo broj (uzimajući u obzir prethodni slučaj −bk < aj) onda imenilac postaje 0 i red je nedefinisan..
Uzimajući u obzir ove slučajeve, test odnosa može biti primenjen za određivanje poluprečnika konvergencije.
- Ako je p < q + 1 onda odnos koeficijenata teži nuli. Ovo implicira da red konvergira za svaku konačnu vrednost z. Primer je snaga reda za eksponencijalnu funkciju.
- Ako je p = q + 1 onda odnos koeficijenata teži jedinici. Ovo implicira da red konvergira za |z| < 1 i divergira za |z| > 1. Da li konvergira za |z| = 1 je teže odrediti. Analitički nstavak može biti od koristi za velike vrednosti z.
- Ako je p > q + 1 onda odnos koeficijenata raste bez granica. Ovo implicira, da osim kada je z = 0, red divergira. Ovo je onda divergentni ili asimptotski red, ili se može tumačiti kao simbolička stenografija za diferencijalnu jednačinu da zbir zadovoljava.
Pitanje konvergencije za p=q+1 kada je z na jedinici kružnice je teže. Može se pokazati da red apsolutno konvergira za z = 1 ako je
- .
Dodatno, ako je p=q+1, i z je realan broj, onda se sledeća konvergencija zadržava. (Quigley et al 2013):
- .
Osnovne osobine[uredi | uredi izvor]
- .
Ojlerova transformacija integrala[uredi | uredi izvor]
Sledeći osnovni identitet je veoma koristan jer povezuje hipergeometrijske funkcije višeg reda u smislu integrala nad nižim redovima[2]
Diferencijacija[uredi | uredi izvor]
Generalisana hipergeometrijska funkcija zadovoljava
Kombinovanjem ovoga dobijamo diferencijalnu jednačinu zavodoljivu sa w = pFq:
- .
Granična funkcija i povezani identiteti[uredi | uredi izvor]
Uzmimo sledeći izraz:
Iz diferencijalne formule date gore, linearni prostor obuhvata
sadržeći svaki od
Kako prostor ima dve dimenzije, bilo koje tri od ovih p+q+2 funkcija su linearno zavisne. Ova zavisnost može biti napisana da generališe veliki broj identiteta uključujući .
Na primer, u najjednostavnijem ne-trivijalnom slučaju,
- ,
- ,
- ,
Tako je
- .
Ovaj, i drugi važni primeri,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
se mogu koristiti za generisanje nastavka razlomka izraza poznatog kao Gausov nastavak razlomka.
Slično tome, primenom formule diferencijalice dva puta, postije takve funkcije sadržane u
Funkcija dobijena dodavanjem ±1 tačno jednom od parametara aj, bk u
se zove granična za
Koristeći tehniku koja je gore navedena, identitet koji se odnosi na i njegove dve susedne funkcije mogu biti date, šest identiteta povezujući i bilo koje dve njegove funkcije, i petnaesti identitet povezujući i bilo koje dve od njegovih šest uzastopnih funkcija su nađene. (Prva je izvedena u prethodnom pasusu. Poslednju petnaestu je dao Gaus u svom radu 1812. godine)
Identiteti[uredi | uredi izvor]
- Za identitete koji uključuju Gausovu hipergeometrijsku funkciju 2F1, vidi Hipergeometrijsku funkciju.
Izvestan broj drugih identiteta hipergeometrijskih funkcija otkriven je u devetnaestom i dvadesetom veku. Doprinos 20. vek metodologiji dokazivanja ovih identiteta je Egoričev metod.
Zailšucova teorema[uredi | uredi izvor]
Zailšucova teorema[3] Saalschütz 1890 je
Za proširenje ove teoreme, vidi istraživački rad Raka i Rati.
Diksonov identitet[uredi | uredi izvor]
Diksonom identitet,[4] dokazan od strane Dixon (1902), daje sumu dobro-uravnoteženog 3F2 za 1:
Za generalisanje Diksonovog identiteta, vidi istraživački rad Lavojea, i saradnika.
Dugalova formula[uredi | uredi izvor]
Dugalova formula (Dougall 1907) daje zbir okončanih dobro-uravnoteženih redova:
pod uslovom da je m ne-negativan ceo broj (tako da se red završava) i
Mnogo drugih formula za specijalne vrednosti hipergeometrijske funkcije može biti izvedeno iz ovoga kao specilani ili ograničeni slučajevi.
Generallisane Kamerove transformacije i identiteti za 2F2[uredi | uredi izvor]
Identitet 1.
gde je
- ;
Identitet 2.
koji povezuje Baselovu funkciju 2F2; ovo se svodi na Kamerovu drugu formulu b = 2a:
Identitet 3.
- .
Identitet 4.
što je konačna suma ako je b-d ne-negativni ceo broj.
Kamerova veza[uredi | uredi izvor]
Kamerova veza je
Klauzenova formula[uredi | uredi izvor]
Klauzenova formula
je korišćena od strane de Brangesa da dokaže Biberbrakova nagađanja.
Specijalni slučajevi[uredi | uredi izvor]
Red 0F0[uredi | uredi izvor]
Kao što je ranije primećeno, . Diferencijalna jednačina za ovu funkciju je , koja ima rešenja gde je k konstanta.
Red 1F0[uredi | uredi izvor]
Takođe ranije primećeno,
Diferencijlna jednačina za ovu funkciju je
ili
koja ima rešenja
gde je k konstanta.
- je geometrijski red sa odnosom z i koeficijentom 1.
Red 0F1[uredi | uredi izvor]
Funkcije forme se zovu are called konfluentne hipergeometrijske granične funkcije i usko su povezane sa Baselovom funkcijom. Veza je:
Diferencijalna jednačina za ovu funkciju je
ili
Kada a nije ceo pozitivan broj, zamena
daje linearno nezavisno rešenje
tako da je opšte rešenje
gde su k, l konstante. (Ako je a pozitivan ceo broj, nezavisno rešenje je tako odgovarajućom Baselovom funkcijom druge vrste.)
Red 1F1[uredi | uredi izvor]
Funkcije forme se nazivaju konfluentne hipergeometrijske funkcije prve vrste, pišu se i kao . Nepotpuna gama funkcija je specijalni slučaj.
Diferencijalna jednačina za ovu funkciju je
ili
Kad je b pozitivan ceo broj, zamena
daje linearno nezavisno rešenje
tako da je opšte rešenje
gde su k, l konstante.
Kada je a ne-pozitivan ceo broj, −n, je polinom. Do konstantnih faktora, ovo su Lagerovi polinomi. Ovo implicira da Hermitovi polinomi mogu biti u terminima 1F1 takođe.
Red 2F0[uredi | uredi izvor]
Ovo se dešava u povezanosti sa eksponencijalnom integralnom funkcijom Ei(z).
Red 2F1[uredi | uredi izvor]
Istorijski, najvažnije su funkcije forme. One se ponekad zovu Gausove hipergeometrijske funkcije, klasične standardne hipergeometrijske ili često jednostavno hipergeometrijske funkcije. Termin Generalisana hipergeometrijska funkcija se koristi za funkcije pFq ako postoji rizik od konfuzije. Ova funkcija je prvi put upotrebljena u detaljima od strane Karla Fridriha Gausa, koji je predstavio uslove njene konvergencije.
Diferencijalna jednačina za ovu funkciju je
ili
Poznata je kao hipergeometrijska diferencijalna jednačina. Kada c nije pozitivan ceo broj, zamena
daje linearno nezavisno rešenje
tako da je opšte rešenje za |z| < 1
gde su k, l konstante. Druga rešenja se mogu izvesti za druge vrednosti z. U stvari, postoji 24 rešenja, poznatih kao Kumerova rešenja, izvedenih koristeći različite identitete, važećih u različitim regionima kompleksne ravni.
Kada je a ne-pozitivan ceo broj, −n,
je polinom. is a polynomial. Do konstantni faktora i skaliranja, ovo su Jakobijevi polinomi. Nekoliko drugih klasa ortogonalnih polinom, do konstantnih faktora, su specijalni slučajevi Jakobijevih polinoma, tako da ovo može biti prošireno korišćenjem 2F1 takođe. Ovo uključuje Ležandrove polinome i Čebiljevševe polinome.
Širok spektar integrala elementarnih funkcija može se izraziti pomoću hipergeometrijske funkcija, npr:
Red 3F0[uredi | uredi izvor]
Oo se dešava u povezanosti sa Motovim polinomima.[5]
Red 3F1[uredi | uredi izvor]
Ovo se dešava u teoriji Baselove funkcije. Ovo pruža način da se izračuna Baselove funkcija velikih argumenata.
Generalisanja[uredi | uredi izvor]
Generalisana hipergeometrijska funkdžija je povezana sa Majer G-funkcijom i MakRobert E-funkcijom. Hipergeometrijski redovi su generalisani do nekoliko varijabli, na primer od strane Paula Emilija Apela i Josifa Kampea de Ferieta; ali je trebalo mnogo da se pojavi uporediva opšta teorija. Pronađeno je mnogo identiteta, neki sasvim izuzetni. Generalisanje, analogni ku-red, nazvan osnovni hipergeometrijski red, dat je od strane Eduarda Hejna u kasnom devetnaestom veku. Ovde se odnosi smatraju uzastopnim terminima, umesto racionalne funkcije n-a, je racionalna funkcija qn. Drugo generalisanje, eliptičnog geometrijskog reda, su oni redovi u kojima je odnos termina eliptične funkcije (dvostruka periodična meromorfna funkcija) n.
Bilaternalni hipergeometrijski redovi su generalizacija hipergeometrijske funkcije gde se sabiraju svi celi brojevi, ne samo pozitivni.
Foks-Rajt funkcije su generalizacija generalisanih hipergeometrijskih funkcija gde su Pokamerovi simboli u redu izraza generalisani do gama funckija lineanih izraza sa indeksom n.
Reference[uredi | uredi izvor]
- ^ Candan, Cagatay.
- ^ (Slater 1966, Equation (4.1.2))
- ^ See (Slater 1966, Section 2.3.1) or (Bailey 1935, Section 2.2) for a proof.
- ^ See (Bailey 1935, Section 3.1) for a detailed proof.
- ^ See Erdélyi et al. 1955.
Literatura[uredi | uredi izvor]
- Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde (2010). „Generalized hypergeometric function”. Ur.: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5.
- Dixon, A. C. (1902). „Summation of a certain Series”. Proceedings of the London Mathematical Society. 35 (1): 284—291. doi:10.1112/plms/s1-35.1.284.
- Bailey, W.N. (1935). Generalized hypergeometric series. Camb. Tracts Math. Math. Phys. 32. Cambridge University Press, Cambridge. Zbl 0011.02303.
- Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2.
- Dougall, John (1906). „On Vandermonde's Theorem, and some more general Expansions”. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 25: 114–132. doi:10.1017/S0013091500033642.
- Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955). Higher transcendental functions. Vol. III. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London. MR „MathSciNet”..
- Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series; Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 96 (2nd izd.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83357-8.
- Gauss, Carl Friedrich (1813). Gauss, Carl Friedrich (1866). Carl Friedrich Gauss Werke: Bd. Analysis (Various texts, in Latin and German, orig. Publ. Between 1799-1851, or found in the "Nachlass"; annotated by E.J. Schering). 1866 [i.e. 1868.. "Disquisitiones generales circa seriam infinitam ". Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (in Latin) (Göttingen) 2. (a reprint of this paper can be found in Gauss, Carl Friedrich (1866). Carl Friedrich Gauss Werke: Bd. Analysis (Various texts, in Latin and German, orig. Publ. Between 1799-1851, or found in the "Nachlass"; annotated by E.J. Schering). 1866 [i.e. 1868.. Carl Friedrich Gauss, Werke. pp. 125)
- Grinshpan, Arcadii Z. (2013). „Generalized hypergeometric functions: Product identities and weighted norm inequalities”. The Ramanujan Journal. 31 (1–2): 53—66. doi:10.1007/s11139-013-9487-x.
- Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik. . 1994. ISBN 978-0-12-336170-7. Nedostaje ili je prazan parametar
|title=
(pomoć). (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups) - Lavoie, J.L.; Grondin, F.; Rathie, A.K.; Arora, K. (1994). "Generalizations of Dixon's theorem on the sum of a 3F2". Math. Comp. 62: 267–276. . doi:10.2307/2153407. Nedostaje ili je prazan parametar
|title=
(pomoć). - Miller, A. R.; Paris, R. B. (2011). "Euler-type transformations for the generalized hypergeometric function r+2Fr+1". Zeit. Angew. Math. Physik: 31–45. . doi:10.1007/s00033-010-0085-0. Nedostaje ili je prazan parametar
|title=
(pomoć). - Quigley, J.; Wilson, K.J.; Walls, L.; Bedford, T. (2013). "A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates". Risk Analysis. . doi:10.1111/risa.12035. Nedostaje ili je prazan parametar
|title=
(pomoć). - Rathie, Arjun K.; Pogány, Tibor K. (2008). "New summation formula for 3F2(1/2) and a Kummer-type II transformation of 2F2(x)". Mathematical Communications 13: 63–66. MR http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2422088. Nedostaje ili je prazan parametar
|title=
(pomoć). Zbl http://zbmath.org/?format=complete&q=an:1146.33002. Nedostaje ili je prazan parametar|title=
(pomoć). - Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). „Extensions of Euler's type- II transformation and Saalschutz's theorem”. Bull. Korean Math. Soc. 48 (1): 151—156. doi:10.4134/BKMS.2011.48.1.151. .
- Saalschütz, L. (1890). „A summation formula”. (Schlömilch's) Zeitschrift für Mathematik und Physik. 35: 186—188. JFM 22.0262.03.
- Slater, Lucy Joan (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06483-5.
- Yoshida, Masaaki Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig/Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. . 1997. ISBN 978-3-528-06925-4. Nedostaje ili je prazan parametar
|title=
(pomoć). MR http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1453580. Nedostaje ili je prazan parametar|title=
(pomoć).
Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]
- The book "A = B", this book is freely downloadable from the internet.
- MathWorld
- Weisstein, Eric W., "Generalized Hypergeometric Function", MathWorld.
- Weisstein, Eric W., "Hypergeometric Function", MathWorld.
- Weisstein, Eric W., "Confluent Hypergeometric Function of the First Kind", MathWorld.
- Weisstein, Eric W., "Confluent Hypergeometric Limit Function", MathWorld.