Inverzne hiperbolične funkcije

Funkcija artanh.

Inverzne hiperbolične funkcije su inverzi hiperboličnih funkcija: sh x - sinus hiperbolični, ch x - kosinus hiperbolični, th x - tangens hiperbolični, cth - kotangens hiperbolični. Nazivaju se i area-funcije po latinskoj reči area - površina, jer predstavljaju površinu krivolinijskog trougla između temena hiperbole i ishodišta koordinatnog sistema (v. hiperbolične funkcije).

area-sinus $\operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),\;-\infty <x<\infty ,$

area-kosinus $\operatorname {arch} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\;1<x<\infty ,$

area-tangens $\operatorname {arth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}},\;-1<x<1,$

area-kotangens $\operatorname {arcth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}},\;x\in (-\infty ,-1)\cup (1,\infty ).$

Anglosaksonske oznake za hiperbolični sinus, kosinus, tangens i kotangens su: sinh, cosh, tanh, coth pa se odgovarajuće inverzne funkcije označavaju arsinh, arcosh, artanh, arcoth. Zbog analogija sa trigonometrijom, iste funkcije se ponekad nazivaju i arkus-funkcije, sa sufiksom hiperbolične da bi se razlikovale od trigonometrijskih funkcija. Otuda skraćenice: arcsinh, arccosh, arctanh, arccoth. Mi ih tada čitamo arkus sinus hiperbolični, itd. Takođe, inverzne funkcije označavaju se uopšte sa indeksom "-1", tako da imamo i sledeće skraćenice: sinh^-1, cosh^-1, tanh^-1, coth^-1. Čitali bi ih: sinus hiperbolični na minus prvu, itd.

Izvodi inverzinih hiperboličnih funkcija su:

$(\operatorname {arsh} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},$

$(\operatorname {arch} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},$

$(\operatorname {arth} x)'={\frac {1}{1-x^{2}}},$

$(\operatorname {arcth} x)'=-{\frac {1}{x^{2}-1}}.$

Inverzne hiperbolične funkcije se često javljaju pri integraljenju racionalnih funkcija i kvadratnih iracionalnosti.

U kompleksnoj ravni ove funkcije su višeznačne. Kada se u njihovim formulama uzmu glavne vrednosti logaritama dobijaju se jednoznačne grane, tzv. glavne vrednosti, koje se pišu arsh z, arch z, arth z. Inverzne hiperbolične funkcije su vezane s glavnim vrednostima inverznih trigonometrijskih funkcija formulama:

$\operatorname {arsh} z={\frac {1}{i}}\arcsin iz,$

$\operatorname {arch} z=i\arccos z,$

$\operatorname {arth} z={\frac {1}{i}}\operatorname {arctg} iz,$

$\operatorname {arcth} z=i\operatorname {arctg} iz,\;i^{2}=-1.$

Vidi još

• Spisak integrala inverznih hiperboličnih funkcija

Literatura

• Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. W.W. Norton. ISBN 978-0-393-04002-9. 
• Bronshtein, I.N.; Mühlig, Heiner; Musiol, Gerhard (2007). Handbook of Mathematics. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-72121-5. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Inverse hyperbolic functions”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Inverse hyperbolic functions at MathWorld

Trigonometrijske i hiperbolične funkcije

Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans Kosekans Funkcija sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Inverzna arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Hiperbolična sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Inv. hiperbolična arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)