Sanktpeterburški paradoks

Sanktpeterburški paradoks ili Sanktpeterburška lutrija je paradoks koji se odnosi na mogućnosti i teorije odluke u ekonomiji. Zasniva se na određenoj (teoretskoj) igri na sreću koja vodi do slučajnih promenljivih sa beskonačnom očekivanom vrednošću, ali ipak izgleda da se isplati samo malom broju učesnika. Sanktpeterburški paradoks je situacija gde naivna odluka kriterijuma koji uzima u obzir samo očekivanu vrednost predviđa tok akcije koju verovatno nijedna osoba ne bi mogla da preuzme. Nekoliko odluka je moguće.

Paradoks nosi ime po svojoj odluci od Danijela Bernulija, stanovnika istoimenog ruskog grada, koji je objavio svoje argumente u Komentari carske akademije nauka Sankt Peterburga (Bernoulli 1738). Ipak problem je izumeo Danijelov brat Nikolas Bernuli koji je to prvi izjavio u pismu Pjeru Remon de Monmoru, 9. septembra 1713. (de Montmort 1713).

Paradoks

Kazino nudi igru izbora za jednog igrača u kojoj se baca novčić u svakoj fazi. Ulog počinje sa 2 dolara i duplira se svaki put kada se pojavi glava. Prvi put kada se pojavi pismo, igra se završava i igrač osvaja ulog. Tako da igrač osvaja 3 dolara ako se pojavi pismo pri prvoj bacanju, 4 dolara ako se pri prvom bacanju pojavi glava, a pri drugom pismo, 8 dolara ako se glava pojavi pri prva dva bacanja, a pri trećem pismo, 16 dolara ako se glava pojavi pri prva tri bacanja, a pri četvrtom pismo i tako dalje. Ukratko, igrač osvaja 2^k dolara, gde je k broj bacanja (k mora biti ceo broj i veći od nule). Kolika je poštena cena da se plati kazinu za ulazak u igru?

Da bi se na ovo odgovorilo, mora da se razmotri koja bi bila prosečna isplata: sa šansom 1/2, igrač osvaja 2 dolara; sa šansom 1/4, igrač osvaja 4 dolara; sa šansom 1/8, igrač osvaja 8 dolara i tako dalje. Očekivana vrednost je:

$E={\frac {1}{2}}\cdot 2+{\frac {1}{4}}\cdot 4+{\frac {1}{8}}\cdot 8+{\frac {1}{16}}\cdot 16+\cdots$

Pretpostavljajući da igra može da se nastavi sve dok je rezultat bacanja glava i da kazino ima neograničena sredstva, ova suma raste bez granica i tako očekivani dobitak za ponovljenu igruje beskonačna količina novca. Uzimajući u obzir samo očekivanu vrednost promene kursa u nečijem novčanom bogatstvu, treba zato igrati igru po svaku cenu ako ima priliku. Ipak, u objavljenim opisima igre, mnogo ljudi je izrazilo nevericu kao rezultat. Martin citira Ijana Hakinga i kaže "Nekoliko nas je platilo čak 25 dolara da bi ušli u igru" i većina komentatora se složila.  Paradoks je protivrečnost između onoga što su ljudi spremni da plate da uđu u igru i beskonačne očekivane vrednosti.

Rešenja

Predloženo je nekoliko pristupa za rešenje paradoksa.

Očekivana korisna teorija

Klasična rezolucija paradoksa uključuje eksplicitno uvođenje korisne funkcije, očekivane korisne hipoteze , kao i pretpostavke marginalne korisnosti novca.

Prema rečima Danijela Bernulija

Određivanje vrednosti stavke ne mora da se zasniva na ceni, nego na korisnost koja generiše .... Nema sumnje da je dobit od hiljadu dukata važnija siromahu nego bogatašu iako su dobili isti iznos.

Zajednički korisni model, predložen je od strane samog Bernulija, je logaritamska funkcija logaritamska funkcija U(w) = ln(w) (poznata kao “log utility”). To je funkcija ukupnog bogatstva w kockara, a koncept smanjenja marginalne korisnosti novca je ugrađen u njega. Očekivana korisna hipoteza pretpostavlja da funkcija korisnosti postoji kao očekivanje promena koje su dobar kriterijum za ponašanje stvarnih ljudi. Za svaki mogući događaj, promena u korisnosti ln(bogatstvo nakon događaja) - ln(bogatstvo pre događaja) težiće od verovatnoće tog događaja koji je usledio. Neka je s trošak tereta da uđe u igru. Očekivana korisnost lutrije sada konvergira ka konačnim vrednostima:

$E(U)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln(w+2^{k-1}-c)-\ln(w))}{2^{k}}}<\infty \,.$

Ova formula daje implicitni odnos između bogatstva kockara i koliko bi trebalo da bude spreman da plati da igra (konkretno, bilo koje s daje pozitivnu očekivanu korisnost). Na primer, sa logatirmom korisnosti milioner treba da bude spreman da plati i do $ 10.94, osoba sa $ 1000 treba da plati do $ 5.94, osoba sa $ 2 treba da plati do $ 2, i lice sa $ 0.60 treba da pozajmi $ 0.87 i plati do $ 1.47 .

Pre nego što je Danijel Bernuli objavio,  1728., drugi švajcarski matematičar, Gabrijel Kramer, je već našao neke delove ove ideje (isto motivisan Sanktpeterbuškim paradoksom) navodeći da

matematičari procenjuju da je novac u srazmeri sa količinom, a ljudi zdravog razuma su u srazmeri sa upotrebom da oni mogu napraviti to.

On je to objasnio Nikolasu Bernuliju u pismu  da kvadratni koren funkcija opisuje smanjivanje marginalne koristi dobitaka koje može da reši problem. Međutim, za razliku od Danijela Bernulija, nije uzeo u obzir ukupno bogatstvo lica, već samo dobitak od lutrije.

Ovo rešenje Kramera i Bernulija, međutim, nije u potpunosti zadovoljavajuće, jer lutrija može lako da se promeni na način što se paradoks ponovo pojavljuje. U tom cilju, mi samo treba da promenimo igru tako da daje još veću isplatu $e^{2^{k}}$. Opet, igra bi trebalo da ima neograničeni iznos. Uopšteno govoreći, može se naći lutrija koja odgovara varijanti Sanktpeterburškom paradoksu za svaku neograničenu funkciju korisnosti, na šta je prvi ukazao Menger (Menger 1934).

Nedavno, očekivana teorija korisnosti je produžena da bi se došlo do više odluka ponašanja modela. U nekoj od ovih novih teorija, kao i u kumulativnoj teoriji budućnosti, Sanktpeterburški paradoks se ponovo pojavljuje u nekim slučajevima, čak i kada je funkcija korisnosti konkavna ali ne ako je ograničena (Rieger & Wang 2006).

Verovatnoća otežavanja

Sam Nikolas Bernuli je predložio alternativnu ideju za rešavanje paradoksa. On je pretpostavio da će ljudi zanemariti neočekivane događaje (de Montmort 1713). Pošto u Sanktpeterburškoj lutriji samo neverovatni događaji daju visoke nagrade koje dovode do beskrajno očekivane vrednosti, to bi moglo da reši paradoks. Ideja verovatnoće ponovo se pojavljuje mnogo kasnije u radu na teoriji prospekta od Danijela Kanemana i Amosa Tverskog. Međutim, njihovi eksperimenti pokazuju da, naprotiv, ljudi imaju tendenciju da povećaju malu verovatnoću događaja. Stoga predloženo rešenje Nikolasa Bernulija se danas ne smatra zadovoljavajućim.

Kumulativna teorija mogućnosti je jedna popularna generalizacija očekivane komunalne teorije koja može da predvidi mnoge pravilnosti u ponašanju (Tversky & Kahneman 1992). Međutim, povećanje malih verovatnoća događaja uvedenih u kumulativnu teoriju prospekta mogu se vratiti Sanktpeterbuškom paradoksu. Kumulativna teorija perspektive izbegava Sanktpeterbuški paradoks samo kada je snaga koeficijenta funkcije korisnosti niža od snage koeficijenta u funkciji verovatnoće (Blavatskyy 2005). Intuitivno, uslužna funkcija ne sme biti samo konkavna, ali mora biti konkavna u odnosu na funkciju verovatnoće da se izbegne Sanktpeterbuški paradoks.

Odbijanje matematičkog očekivanja

Razni autori, uključujući Žana le Ron d'Alambera i Džona Majnard Kejnsa, su odbacili maksimizaciju očekivanja (čak i korisnosti), kao pravilno pravilo ponašanja. Kejns je posebno insistirao da relativni rizik alternativa bude dovoljno visok da odbije čak kad su njegova očekivanja ogromna.

Odgovor uzorkovanjem

Postoji jedan matematički ispravan odgovor Vilijama Felera (dobijen 1937. godine). Dovoljno poznavanje teorije verovatnoće i statistike potrebno je da u potpunosti razumeju Felerov odgovor. Međutim, može se intuitivno shvatiti jer koristi tehniku "da igraju ovu igru sa velikim brojem ljudi, a da zatim izračunaju očekivanje iz uzorka". Prema ovoj tehnici, ako očekivanje igre odstupa, pretpostavka da igra može da se igra u beskonačnom vremenu je potrebna i ako je broj puta igre ograničen, očekivanje konvergira u mnogo manjoj vrednosti.

Konačne Sanktpeterburške lutrije

Klasična Sanktpeterburška lutrija pretpostavlja da kazino ima neograničene resurse. Ova pretpostavka je nerealna, posebno u vezi sa paradoksom, koji uključuje i reakcije običnih ljudi na lutriji. Naravno, sredstva sa stvarnim kazinom (ili bilo koji drugi potencijalni podržavalac lutrije) su ograničena. Što je još važnije, očekivana vrednost lutrije raste samo logaritamski sa sredstvima u kazinu. Kao rezultat toga, očekivana vrednost lutrije, čak i kada se igra protiv kazina sa najvećim resursima realno zamišljenim, je prilično skromna. Ukoliko ukupna sredstva (ili ukupni maksimalni džekpot) u kazinu su  W dolara, onda sam  L = floor(log2(W))  je maksimalan broj puta koliko kazino može da igra pre nego što više ne pokriva sledeću opkladu. Očekivana vrednost E na lutriji tada postaje:

${\begin{aligned}E&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot \min(2^{k},W)\\&=\sum _{k=1}^{L}{\frac {1}{2^{k}}}\cdot 2^{k}~+~\sum _{k=L+1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot W\\&={L}~+~{\frac {W}{2^{L}}}\,\,.\end{aligned}}$

Sledeća tabela pokazuje očekivanu vrednost E u igri sa raznim potencijalnim bankarima i njihovim novčanim resursima W (sa pretpostavkom da ako osvojiš više nego što banka ima, bićete plaćeni sa onim što banka ima):

Bankar	Bankarski resursi	Očekivana vrednost lutrije
Prijateljska igra	$100	$7.5625
Milioner	$1.000.000	$20.90734
Milijarder	$1.000.000.000	$30.86264
Bil Gejts (2015)	$79.200.000.000	$37.15251
U.S. GDP (2007)	$13.8 triliona	$44.57
World GDP (2007)	$54.3 triliona	$46.54
Googolaire	$10100	$333.14

Racionalna osoba možda ne smatra da je vrednost lutrije skromne količine u gornjoj tabeli, što ukazuje da naivna odluka modela očekivanog prinosa dovodi u suštini iste probleme kao i za beskonačne lutrije. Čak i tako, moguć raskorak između teorije i stvarnosti je daleko manje dramatičan.

Pretpostavka bezbroj resursa može da proizvede i druge očigledne paradokse u ekonomiji. U margingalnom klađenju sistema, kockar se kladi na bačeni novčić i duplira svoju opkladu nakon svakog gubitka, tako da  eventualna pobeda bi pokrila sve gubitke; u praksi, ovo zahteva da resursi kockara budu beskrajni. Kockareva propast pokazuje da kockar igra negativnu očekivanu vrednost igre i da će na kraju ostati bez novca, bez obzira na njegovo klađenje.

Skorašnje diskusije

Iako je ovaj paradoks star tri veka, novi argumenti se još uvek uvode.

Samjuelson

Samuelson rešava paradoks tvrdeći da, čak i ako je neki entitet imao beskonačne resurse, igra nikada neće biti u ponudi. Ako lutrija predstavlja beskonačni očekivani dobitak igraču, onda takođe predstavlja beskonačni očekivani gubitak domaćinu. Niko ne može posmatrati plaćanje igre, jer nikada ne bi bio u ponudi. Kako Pol Semjuelson opisuje argument:

Pol nikada neće biti spremni da daju onoliko koliko će Petar potražnja za takvog ugovora; a samim tim i pokazal aktivnost će se održati na nivou ravnoteže nulte intenziteta.(Samuelson 1960)

Piters

Ole Piters smatra da se Sanktpeterburški paradoks može rešiti pomoću koncepata i ideja iz teorije Ergodic (Peters 2011a). U statističkoj mehanici to je centralni problem da se shvati da su proseci rezultata dugog posmatranja jednog sistema ekvivalentni očekivanoj vrednosti. To je slučaj samo za veoma ograničene klase sistema koji se zove "ergodik". Za ne-ergodik sistem ne postoji opšti razlog zašto očekivane vrednosti ne treba da ima nikakvu relevantnost.

Piters ističe da obračun naivno očekivane isplate je matematički ekvivalentan s obzirom na višestruke rezultate iste lutrije u paralelnim univerzumima. To je irelevantno za pojedinačno razmatranje da li da kupim kartu, jer on postoji samo u jednom univerzumu i nije u stanju da razmenjuju resurse sa ostalima. Stoga je nejasno zašto količina očekivanog bogatstva treba dovede do teorije zdrave odluke. Zaista, Sanktpeterburški paradoks je samo paradoks, ako prihvati premisu da racionalni akteri nastoje da maksimalno povećaju svoje očekivano bogatstvo. Klasična rezolucija je primeniti upotrebnu funkciju bogatstva, što odražava ideju da "korist" od iznosa novca zavisi od toga koliko toga jedna već ima, a onda se maksimalno poveća očekivanje. Izbor funkcije korisnosti je često uramljena u smislu sklonosti ka riziku pojedinca i može da varira od osobe do osobe: stoga nudi samovoljni okvir za lečenje problema.

Alternativa premisa, koja je manje proizvoljna  koju čini manje pretpostavki, je da performanse tokom vremena investicije bolje karakterišu investitora i, samim tim, bolje informiše svoju investicionu odluku. U tom slučaju, protok vremena je uključen kao identifikacija količine interesa prosečne stope eksponencijalnog rasta bogatstva igrača u jednom kolu lutrije,

${\bar {g}}(w,c)=\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}\ln \left({\frac {w-c+D_{k}}{w}}\right)$

po rundi, gde je $D_{k}$  $k$ti (pozitivna konačna) isplata, $p_{k}$ je verovatnoća dobitka, $w$ je bogatstvo igrača, i $c$ je cena karte. U klasičnoj Sanktpeterburškoj lutriji, $D_{k}=2^{k-1}$ i $p_{k}=2^{-k}$.

Iako je ovo očekivanje vrednost stope rasta, i tako može se posmatrati u jednom smislu kao prosek preko paralelnih univerzuma, što je u stvari ekvivalent prosečnoj stopi rasta vreme da bi se dobio ako se ponovi lutrije su igrali tokom vremena (Peters 2011a). While ${\bar {g}}$ identično stopi promene očekivanog logaritamskoj korisnosti, to je dobijena bez ikakvih pretpostavki o sklonosti riziku plejera ili ponašanju, osim da je zainteresovan za stope rasta njegovog bogatstva.

Prema ovoj paradigmi, pojedinac sa bogatstvom $w$ treba da kupi kartu sa cenom $c$

${\bar {g}}(w,c)>0.$

Ova strategija savetuje protiv plaćanja bilo kog iznosa novca za kartu koja priznaje mogućnost stečaja, odnosno

$w-c+D_{k}=0,$

za svako $k$, jer ovo stvara negativni divergentni algoritam u iznosu  ${\bar {g}}$ koje se može videti da dominira za sve ostale uslove u sumi i garanciji da ${\bar {g}}<0$. Ako pretpostavimo da je najmanja isplata $D_{1}$, onda će pojedinac uvek biti savetovan da odbije kartu po svakoj većoj ceni

$c_{\mathrm {max} }=w+D_{1},$

bez obzira na strukturnu isplatu lutrije. Cena ulaznica za koje očekivana stopa rasta pada na nulu će biti manja od $c_{\mathrm {max} }$ , ali može biti veća od $w$, ukazujući da pozajmljivanje novca za kupovinu karte za veći iznos od nečijeg bogatstva može biti zdrava odluka. To bi bio slučaj, na primer, gde najmanja isplata prevazilazi trenutno bogatstvo igrača, kao što to čini u Mendžer igri.

Takođe treba napomenuti u gornjem postupku koji, za razliku od Mendžerove analize, u lutriji može generisati paradoks čije je vreme rezolucija - ili, ekvivalentno, Bernulijeva ili Laplasova logaritamska rezolucija - ne mogu da reše, jer uvek postoji cena na kojoj lutriju ne treba početi, iako za posebno povoljne lutrije ovo može biti veći od nečije vrednosti.

Dalje diskusije

Sanktpeterburški paradoks i teorija marginalne korisnosti su veoma sporne u prošlosti. Za raspravu sa tačke gledišta jednog filozofa, pogledajte (Martin 2004).

Vidi još

• Problem dve koverte
• Zenonovi paradoksi

Literatura

• Arrow, Kenneth J. (1974). „The Use of Unbounded Utility Functions in Expected-Utility Maximization: Response”. The Quarterly Journal of Economics. 88 (1): 136—138. JSTOR 1881800. doi:10.2307/1881800. 
• Bernoulli, Daniel (1954). „Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk”. Econometrica. 22 (1): 22—36. JSTOR 1909829. S2CID 9165746. doi:10.2307/1909829. 
• Blavatskyy, Pavlo R. (2005). „Back to the St. Petersburg Paradox?” (PDF). Management Science. 51 (4): 677—678. doi:10.1287/mnsc.1040.0352. 
• Montmort, Pierre Rémond de (1713). Essay d'analyse sur les jeux de hazard (2nd izd.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3781-8. 
• Laplace, Pierre Simon (1814). Théorie analytique des probabilités [Analytical theory of probabilities] (in French) (Second ed.). Paris: Ve. Courcier.
• Martin, Robert (2004). "The St. Petersburg Paradox". In Edward N. Zalta. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2004 ed.). Stanford, California: Stanford University. ISSN 1095-5054. Retrieved 2006-05-30.
• Menger, Karl (1934). „Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre”. Zeitschrift für Nationalökonomie. 5 (4): 459—485. S2CID 151290589. doi:10.1007/BF01311578. 
• Peters, Ole (2011). „"Menger 1934 revisited"”. Journal of Economic Literature. arXiv:1110.1578 . 
• Peters, Ole (2011). „The time resolution of the St Petersburg paradox”. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 369 (1956): 4913—4931. Bibcode:2011RSPTA.369.4913P. PMC 3270388 . PMID 22042904. S2CID 487515. arXiv:1011.4404 . doi:10.1098/rsta.2011.0065. .
• Pianca, Paolo (September 2007). "The St. Petersburg Paradox: Historical Exposition, an Application to Growth Stocks and Some Simulation Approaches" (PDF). Quaderni Di Didattica, Department of Applied Mathematics, University of Venice 24: 1–15.
• Rieger, Marc Oliver; Wang, Mei (2006). „Cumulative prospect theory and the St. Petersburg paradox”. Economic Theory. 28 (3): 665—679. S2CID 790082. doi:10.1007/s00199-005-0641-6. hdl:20.500.11850/32060. 
• Samuelson, Paul A. (1960). „The St. Petersburg Paradox as a Divergent Double Limit”. International Economic Review. 1 (1): 31—37. JSTOR 2525406. doi:10.2307/2525406. 
• Samuelson, Paul A. (1977). „St. Petersburg Paradoxes: Defanged, Dissected, and Historically Described”. Journal of Economic Literature. 15 (1): 24—55. JSTOR 2722712. 
• Todhunter, Isaac (1865). A history of the mathematical theory of probabilities. Macmillan & Co.
• Tversky, Amos; Kahneman, Daniel (1992). „Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty”. Journal of Risk and Uncertainty. 5 (4): 297—323. S2CID 8456150. doi:10.1007/bf00122574. 

Bibliografija

• Aumann, Robert J. (1977). „The St. Petersburg paradox: A discussion of some recent comments”. Journal of Economic Theory. 14 (2): 443—445. doi:10.1016/0022-0531(77)90143-0. 
• Durand, David (1957). „Growth Stocks and the Petersburg Paradox”. The Journal of Finance. 12 (3): 348—363. JSTOR 2976852. doi:10.2307/2976852. 
• Feller, William. An Introduction to Probability Theory and its Applications Volume I,II.
• "Bernoulli and the St. Petersburg Paradox". The History of Economic Thought. The New School for Social Research, New York. Retrieved 2006-05-30.
• Haigh, John (1999). „4”. Taking Chances. Oxford, UK: Oxford University Press. str. 330. ISBN 978-0-19-852663-6. 

Spoljašnje veze

• Online simulation of the St. Petersburg lottery