Полиедар

Из Википедије, слободне енциклопедије

Полиедар је геометријско тело омеђено са четири или више многоуглова (који се називају стране или пљосни полиедра) и коме су ивице дужи. Сама реч је настала као сложеница речи поли (πολυς), што значи много, и речи едрон (εδρον), што значи база, површ, седиште.

Полиедарска површ[уреди]

Скуп површи многоуглова таквих да је свака страница сваког многоугла уједно и страница још само једног многоугла, образују затворену површ која се назива полиедарска површ. Део геометријског простора који ограничава (затворена) полиедарска површ је унутрашњост полиедарске површи.

Унија полиедарске површи и њене унутрашњости је полиедар.

  • Површи многоуглова, од којих се састоји полиедарска површ, називају се стране (или пљосни) полиедра, а странице тих многоуглова називају се ивице полиедарске површи и полиедра.
  • Рогљеви које образују стране полиедра са једним заједничким теменом су рогљеви полиедра, а врхови тих рогљева су темена полиедра.
  • Свака дуж која спаја два темена полиедра, а не припада ниједној страни полиедра представља дијагоналу полиедра.
  • Свака раван коју одређују три темена полиедра и не садржи ниједну страну полиедра представља дијагоналну раван полиедра.

Подела полиедра[уреди]

Полиедри могу бити конвексни и неконвексни-конкавни.

  • Полиедар је конвексан уколико свака дуж која спаја његове две произвољне тачке припада том полиедру, у супротном случају полиедар је неконвексан односно конкаван.

Конвексни Полиедри[уреди]

  • Конвексан полиедар лежи само са једне стране равни сваке своје стране.
  • Конвексан полиедар се може представити као пресек коначног броја полупростора одређених равнима његових страна.

Регуларни полиедри[уреди]

Полиедар чије су све стране регуларни подударни многоуглови и чији су сви рогљеви подударни назива се регуларан полиедар.
Регуларни полиедри Конвексни Неконвексни регуларни регуларни Kepler-Poinsot тела Платонова тела

Конвексни регуларни полиедри - Платонова тела[уреди]

Конвексни регуларни полиедри су познати под називом Платонова тела. Њихове стране су подударни правилни многоуглови, а рогљеви су међусобно подударни и конвексни. То значи да су све стране једног полиедра правилни многоуглови са истим бројем n међусобно једнаких страница и у темену сваког рогља се сустиче исти број k тих многоуглова.

Дуални полиедри[уреди]

У геометрији полиедри се посматрају у паровима. Сваком полиедру одговара дуални полиедар који настаје метаморфозом датог полиедра у којој:

  • сваком темену полазног полиедра одговара страна новог полиедра
  • свакој страни полазног полиедра одговара теме новог полиедра
  • свакој ивици полазног полиедра одговара ивица новог полиедра.

Особине[уреди]

  • Страна прелази у теме новог полиедра, а њено теме у страну која садржи то теме.
  • Теме прелази у страну новог полиедра, а свака страна чије је то теме у теме те стране.
  • Ивица која спаја два темена прелази у заједничку ивицу две одговарајуће стране новог полиедра.
  • Заједничка ивица две суседне стране полиедра прелази у ивицу која спаја одговарајућа темена новог полиедра.
  • Свака страна полиедра је полигон са одређеним бројем својих темена. Метаморфозом полигон прелази у теме, а његова темена у стране новог полиедра чије је то теме, односно страни одовара рогаљ.
  • Свако теме полиедра је теме једног његовог рогља. Теме прелази у страну, а стране полиедра које се сустичу у том темену (стране рогља) у темена која припадају тој страни новог полиедра.
  • Дуални полиедар дуалног полиедра је полазни полиедар.

Дуални полиедри – Платонова тела[уреди]

Стране конвексног регуларног полиедра типа {n, k} су правилни полигони са n темена. Страна се пресликава у теме новог полиедра a, а њена темена у стране новог полиедра које се сустичу у том темену. Добија се рогаљ са n страна.

Темена конвексног регуларног полиедра типа су {n, k} су темена подударних рогљева са k страна. Теме рогља прелази у страну, а његове стране (односно стране полиедра које се сустичу у том темену) у k темена те стране новог полиедра.

  • Дуални полиедар конвексног регуларног полиедра типа {n, k} је конвексни регуларни полиедар типа {k, n}.

Нумеричке карактеристике Платонових тела[уреди]

Карактеристика полиедра:

  • n – број темена (страница) стране полиедра
  • k – број страна које се сустичу у истом темену
  • T – број темена полиедра
  • S – број страна полиедра
  • I – број ивица полиедра

Диедар чине две суседне стране са заједничком ивицом која представља ивицу диедра. Сви диедрални углови једног Платоновог тела су међусобно једнаки. Диедрални угао се очитава у равни нормалној на ивицу диедра.

Тетраедар (види анимацију)
Размотана фигура тетраедра

Платонова тела - тетраедар[уреди]

  • 4 темена
  • 6 ивица
  • 4 стране
  • Диедрални угао: 70.53°

Формуле[уреди]

Површина P=\sqrt{3}a^2
Запремина V=\begin{matrix}{1\over12}\end{matrix}\sqrt{2}a^3
Полупречник описане сфере r_o \, = \, \frac{\sqrt{6}}{4} \, a \approx 0{,}61 \, a
Полупречник уписане сфере r_u \, = \, \frac{\sqrt{6}}{12} \, a \approx 0{,}20 \, a
Висина h = r_o + r_u \, = \, \frac{\sqrt{6}}{3} \, a \, = \, \sqrt{\frac{2}{3}} \, a\approx 0{,}82 \, a
Угао између ивице и површи arctg \sqrt{2} \approx 55^\circ
Угао између две површи \arccos {1/3} = arctg 2\sqrt{2} \approx 71^\circ

Платонова тела – хексаедар[уреди]

Коцка
  • 8 темена
  • 12 ивица
  • 6 страна
  • Диедрални угао: 90°

Формуле[уреди]

Важнији елементи коцке
Површина S = 6a^2\,
Запремина V = a^3\,
Мала дијагонала[1] d_1 = a \sqrt{2}
Велика дијагонала d_2 = a \sqrt{3}
Полупречник уписане сфере r_u = \frac{a}{2}
Полупречник описане сфере r_o = \frac{d_2}{2} = a \frac{\sqrt{3}}{2}

Платонова тела – октаедар[уреди]

Октаедар
  • 6 темена
  • 12 ивица
  • 8 страна
  • Диедрални угао: 109.47°

Формуле[уреди]

Површина S = 2\sqrt{3} a^2
Запремина V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3
Полупречник описане
сфере
r_o = \frac{\sqrt{2}}{2} a
Полупречник уписане
сфере
r_u = \frac{\sqrt{6}}{6} a

Платонова тела – додекаедар[уреди]

Додекаедар
  • 20 темена
  • 30 ивица
  • 12 страна
  • Диедрални угао: 116.56°

Формуле[уреди]

Површина S = 3 \sqrt{25+10\sqrt{5}} \, a^2
Запремина V = \frac{1}{4} \left(15+7 \sqrt{5} \right) a^3
Полупречник уписане
сфере
r_u = \frac{\sqrt{5}}{20} \sqrt{50 + 22 \sqrt{5}} \, a
Полупречник описане
сфере
r_o = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(1 + \sqrt{5} \right) \, a

Платонова тела – икосаедар[уреди]

Икосаедар
  • 12 темена
  • 30 ивица
  • 20 страна
  • Диедрални угао: 138.19°

Формуле[уреди]

Површина P = 5 \sqrt{3} a^2
Запремина V = \frac{5}{12} \left(3 + \sqrt{5} \right) a^3
Полупречник уписане
сфере
r_u = \frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3 + \sqrt{5} \right)
Полупречник описане
сфере
r_o = \frac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}

Изометрија полиедра[уреди]

Узајамно једнозначно пресликавање f: T1 → T2 полиедара (тела) T1, T2 у коме долази до очувања метрике односно очувања растојања између тачака је изометрично пресликавање или изометрија. Геометријске трансформације: транслација, ротација, рефлексија и њихова композиција (узастопно извођење) у произвољном поретку и произвољном броју су изометричне трансформације.

Симетрије полиедра[уреди]

Изометрично пресликавање f : T → T полиедара T у самог себе је симетрија. Група симетрија сваког полиедра садржи све могуће ротације и све могуће рефлексије које полиедар пресликавају у самог себе. Композиција симетрија једног полиедра (у произвољном поретку) је такође једна симетрија из групе свих могућих симетрија тог полиедра.

Референце[уреди]

  1. ^ Некада се мала дијагонала обележава са d, а велика са D. Овде је мала обележена са d1, а велика са d2, да би се избегла вишезначност са теменом D.

Литература[уреди]

  • Проф. др Љиљана Петрушевски - Полиедри

Спољашње везе[уреди]