Пређи на садржај

Исказни рачун

С Википедије, слободне енциклопедије

У математичкој логици, исказни рачун представља формални систем у коме се формуле, односно логички искази, који се називају још и исказне формуле, граде од логичких промјенљивих и других логичких исказа, користећи логичке операције у складу са правилима тих операција.

Упроштено говорећи, исказни рачун је рад са логичким исказима који се формирају као и обични алгебарски изрази, користећи операције и промјенљиве.

Примјер логичког исказа

[уреди | уреди извор]

Слиједи примјер једног логичког исказа:

Исказ се чита на сљедећи начин: „ако су тврдње или тачне и је тачно, одатле слиједи да су искази и тачни или да су искази и тачни“. Чешће, израз се кратко чита „ако је или , и , слиједи и , или и “.

Формално установљење

[уреди | уреди извор]

Исказни рачун се формално дефинише као алгебарска структура са сљедећим својствима:

  • је коначан скуп логичких промјенљивих, које се најчешће представљају малим латиничним штампаним словима .
  • је коначан скуп логичких операција, који представља унију дисјунктних подскупова , гдје -ти подскуп представља подскуп n-арних операција. Тако, представља скуп унарних операција, бинарних, итд. Уобичајени симболи логичких операција из одговарајућих подскупова су сљедећи:
Интересантно је примијетити да се логичке константе дефинишу као нуларне операције.
Исказне формуле се формирају од елемената скупа користећи операције скупа на основу сљедећих правила:
  1. Елементи скупа су логички искази.
  2. За сваку операцију из скупа , резултат те операције је логички исказ, ако су и операнди логички искази.
  3. логички искази се не могу формирати ни на један други начин осим помоћу правила 1. и 2.
Тако, на примјер, ако су и елементи скупа , и ако користимо стандардне симболе за логичке операције, онда су све исказне формуле.
  • Скуп је коначан скуп правила трансформације логичких исказа. Ова правила поближе одређују особине операција и њихово понашање у додиру са другим операцијама, односно одређују на који начин се један логички исказ може свести на други, најчешће једноставнији, исказ.
  • Скуп је коначан скуп аксиома - по дефиницији истинитих тврдњи - у вези са логичким исказима.

Вриједности логичких израза и доказивања

[уреди | уреди извор]

Логичке промјенљиве могу имати вриједност „тачно“ и „нетачно“ ( или ), па се и сви резултати логичких операција ограничавају на истом скупу. Водећи се правилима формирања логичких израза, закључујемо да сви искази имају вриједности тачно или нетачно, тј. да је сваки исказ или тачан или нетачан.

Ако додијелимо неке конкретне вриједности свим промјенљивама које учествују у датом логичком исказу, користећи дефиниције логичких операција и датих вриједности можемо израчунати да ли је дати исказ тачан или није. Тада кажемо да је исказ нпр. тачан за дате вриједности промјенљивих.

Међутим, користећи правила трансформације и аксиоме исказног рачуна, логички искази се могу транформисати у једноставније логичке исказе, што израчунавање њихових вриједности чини краћим и једноставнијим.

Таутологије и контрадикције

[уреди | уреди извор]

Посебан чланак: Таутологија

Чест посао у исказном рачуну је доказивање да ли је одређени логички исказ увијек тачан, тј. за све комбинације вриједности промјенљивих, као и доказивање да ли је одређени логички исказ за све комбинације вриједности промјенљивих нетачан. Ако је исказ увијек тачан, називамо га таутологијом, док у супротном случају, када је исказ увијек нетачан, називамо га контрадикцијом.

Док доказивање таутологије и контрадикције може да се докаже ручним провјеравањем вриједности исказа за све комбинације параметара, најчешће користећи истинитосне табеле, у општем случају, када то није практично оствариво због броја промјенљивих, се користе правила исказног рачуна и аксиоме да се исказ сведе на једноставнији исказ и евентуално докаже да ли је таутологија/контрадикција или не.

Примјена

[уреди | уреди извор]

Сувишно је спомињати да логичко закључивање има примјену у свакодневном животу и свим гранама људског дјеловања. Вјештина у раду са исказним рачуном свакако побољшава и свакодневне вјештине логичког закључивања. Осим тога, међутим, исказни рачун и математичка логика уопште имају велику примјену у већини природних наука.

Рачунарство

[уреди | уреди извор]

Очигледан примјер примјене исказног рачуна је и употреба у рачунарству, како у електроници тако и у програмирању.

Свођење одређеног логичког исказа на краћу и једноставнију форму помаже да одређена компонента рачунара израчунава мање и самим тиме ради брже. На идентичан начин, у програмирању, редуковањем често коришћеног услова гранања или петље на једноставнију форму ће смањити посао процесорске јединице што програм чини бржим.

Осим тога, теоријско доказивање тачности одређених исказа уклања потребу за израчунавањем одређених исказа у потпуности, ако се докаже да је исказ увијек тачан или увијек нетачан.

Историја

[уреди | уреди извор]

Премда је исказна логика (која је заменљива са пропозиционалним рачуном) наговештена у радовима ранијих филозофа, њу је развио у формалну логику (стоичка логика) Хрисип у 3. век пне[1] и проширио његов наследник Стоик. Логика је имала фокус на пропозицијама. Овај напредак се разликовао од традиционалнеl силогистичке логике која је стављала фокус на чланове. Међутим, током касне антике исказна логака коју су развили стоици више није била у употреби.[2] Консеквентно, систем је есенцијално поново изумео Пјер Абелар у 12. веку.[3]

Референце

[уреди | уреди извор]
  1. ^ Bobzien, Susanne (1. 1. 2016). „Ancient Logic”. Ур.: Zalta, Edward N. The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University — преко Stanford Encyclopedia of Philosophy. 
  2. ^ „Propositional Logic | Internet Encyclopedia of Philosophy” (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-20. 
  3. ^ Marenbon, John (2007). Medieval philosophy: an historical and philosophical introductionСлободан приступ ограничен дужином пробне верзије, иначе неопходна претплата. Routledge. стр. 137. 

Литература

[уреди | уреди извор]

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]