Фуријеова анализа

Временски сигнал бас гитаре (55 Hz).

Фуријеова трансформација временског сигнала бас гитаре (55 Hz) открива осцилаторне компоненте сигнала и функција.

У математици, Фуријеова анализа је проучавање начина на који се опште функције могу представити или апроксимирати сумама једноставнијих тригонометријских функција. Фуријеова анализа је израсла из проучавања Фуријеовог реда и названа је по Жозефу Фуријеу, који је показао да представљање функције као суме тригонометријских функција увелико поједностављује проучавање преноса топлоте.

У данашње време, предмет Фуријеове анализе обухвата широк математички спектар. У науци и инжењерству, процес декомпозиције функције у осцилаторне компоненте се често назива Фуријеова анализа, док је операција поновне изградње функције из ових делова позната као Фуријеова синтеза. На пример, одређивање које су компоненте фреквенција присутне у музичкој ноти укључивало би израчунавање Фуријеове трансформације дате музичке ноте. Затим се може ресинтетисати исти звук укључивањем фреквентних компоненти које су откривене у Фуријеовој анализи. У математици, термин Фуријеова анализа често се односи на проучавање обе операције.

Процес декомпозиције се назива Фуријеова трансформација. Његов излаз, Фуријеов трансформат, често добија специфичнији назив, који зависи од домена и других својстава функције која се трансформише. Штавише, оригинални концепт Фуријеове анализе је временом проширен како би се применио на све више апстрактних и општих ситуација, а генерално поље се често назива хармонијска анализа. Свака трансформација која се користи за анализу (погледајте списак Фуријеових трансформација) има одговарајућу инверзну трансформацију која се може користити за синтезу.

Апликације

Фуријеова анализа има многе научне примене – у физици, парцијалним диференцијалним једначинама, теорији бројева, комбинаторици, обради сигнала, дигиталној обради слика, теорији вероватноће, статистици, форензици, вредновању деоница, криптографији, нумеричкој анализи, акустици, океанографији, сонарима, оптици, дифракцији, геометрији, анализи протеинске структуре, и другим областима.

Ова широка применљивост произилази из многих корисних својстава трансформације:

• Трансформације су линеарни оператори и уз правилну нормализацију оне су и унитарне (својство познато као Парсевалова теорема или, општенитије као Планшерелова теорема, и најгенералније у виду Понтрјагинове дуалности) Рудин 1990.
• Трансформације су обично инвертибилне.
• Експоненцијалне функције су својствене функције диференцијације, што значи да ова репрезентација претвара линеарне диференцијалне једначине са константним коефицијентима у обичне алгебарске Еванс 1998. Стога се понашање линеарног временски инваријантног система може анализирати на свакој фреквенцији независно.
• Према теореми конволуција, Фуријеове трансформације претварају компликовану операцију конволуције у једноставно множење, што значи да оне пружају ефикасан начин за израчунавање операција заснованих на конволуцији као што је полинимијско множење и множење великих бројева Кнутх 1997.
• Дискретна верзија Фуријеове трансформације (види испод) може се брзо извршити на рачунарима користећи алгоритме брзе Фуријеове транскформације (ФФТ). Цонте & де Боор 1980

У форензици, лабораторијски инфрацрвени спектрофотометри користе анализу Фуријеове трансформације за мерење таласних дужина светлости на којима материјал апсорбује у инфрацрвеном спектру. ФТ метод се користи за декодирање измерених сигнала и записивање података о таласним дужинама. Користећи компјутер, ови Фуријеови прорачуни се брзо изводе, тако да за неколико секунди, компјутерски управљани ФТ-ИР инструмент може да произведе инфрацрвени апсорпциони патерн који је упоредив са инструментом са призмом.

Фуријеова трансформација је исто тако корисна као компактна репрезентација сигнала. На пример, ЈПЕГ компресија користи варијанту Фуријеове трансформације (дискретна косинусна трансформација) малих квадратних делова дигиталне слике. Фуријеове компоненте сваког квадрата се заокружују на нижу аритметичку прецизност, а слабе компоненте се потпуно елиминишу, тако да се преостале компоненте могу складиштити веома компактно. У реконструкцији слике, сваки квадрат слике се реконструише из сачуваних приближних Фуријеових трансформисаних компоненти, које су инверзно трансформишу да би произвела апроксимација оригиналне слике.

Литература

• Цонте, С. D.; де Боор, Царл (1980). Елементарy Нумерицал Аналyсис (Тхирд изд.). Неw Yорк: МцГраw Хилл, Инц. ИСБН 978-0-07-066228-5. 
• Еванс, L. (1998). Партиал Дифферентиал Еqуатионс. Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-3-540-76124-2. 
• Хоwелл, Кеннетх Б. (2001). Принциплес оф Фоуриер Аналyсис. ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-0-8493-8275-8. 
• Камен, Е. W.; Хецк, Б. С. (2000-03-02). Фундаменталс оф Сигналс анд Сyстемс Усинг тхе Wеб анд Матлаб (2 изд.). Прентисс-Халл. ИСБН 978-0-13-017293-8. 
• Кнутх, Доналд Е. (1997). Тхе Арт оф Цомпутер Программинг Волуме 2: Семинумерицал Алгоритхмс (3рд изд.). Аддисон-Wеслеy Профессионал. Сецтион 4.3.3.C: Дисцрете Фоуриер трансформс, пг.305. ИСБН 978-0-201-89684-8. 
• Мüллер, Меинард (2015). Тхе Фоуриер Трансформ ин а Нутсхелл (ПДФ). Спрингер. Ин Фундаменталс оф Мусиц Процессинг, Сецтион 2.1, п. 40–56. ИСБН 978-3-319-21944-8. дои:10.1007/978-3-319-21945-5. Архивирано из оригинала (ПДФ) 08. 04. 2016. г. Приступљено 27. 06. 2019. 
• Полyанин, А. D.; Манзхиров, А. V. (1998). Хандбоок оф Интеграл Еqуатионс. Боца Ратон: ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-0-8493-2876-3. 
• Рудин, Wалтер (1990). Фоуриер Аналyсис он Гроупс. Wилеy-Интерсциенце. ИСБН 978-0-471-52364-2. 
• Смитх, Стевен W. (1999). Тхе Сциентист анд Енгинеер'с Гуиде то Дигитал Сигнал Процессинг (Сецонд изд.). Сан Диего: Цалифорниа Тецхницал Публисхинг. ИСБН 978-0-9660176-3-2. 
• Стеин, Е. M.; Wеисс, Г. (1971). Интродуцтион то Фоуриер Аналyсис он Еуцлидеан Спацес. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 978-0-691-08078-9. 
• Боасхасх, Б., ур. (2003), Тиме–Фреqуенцy Сигнал Аналyсис анд Процессинг: А Цомпрехенсиве Референце, Оxфорд: Елсевиер Сциенце, ИСБН 978-0-08-044335-5 
• Боцхнер, С.; Цхандрасекхаран, К. (1949), Фоуриер Трансформс, Принцетон Университy Пресс 
• Брацеwелл, Р. Н. (2000), Тхе Фоуриер Трансформ анд Итс Апплицатионс (3рд изд.), Бостон: МцГраw-Хилл, ИСБН 978-0-07-116043-8 
• Цампбелл, Георге; Фостер, Роналд (1948), Фоуриер Интегралс фор Працтицал Апплицатионс, Неw Yорк: D. Ван Ностранд Цомпанy, Инц. 
• Цхампенеy, D.C. (1987), А Хандбоок оф Фоуриер Тхеоремс, Цамбридге Университy Пресс 
• Цхатфиелд, Цхрис (2004), Тхе Аналyсис оф Тиме Сериес: Ан Интродуцтион, Теxтс ин Статистицал Сциенце (6тх изд.), Лондон: Цхапман & Халл/ЦРЦ, ИСБН 9780203491683 
• Цлозел, Лаурент; Делорме, Патрице (1985), „Сур ле тхéорèме де Палеy-Wиенер инвариант поур лес гроупес де Лие рéдуцтифс рéелс”, Цомптес Рендус де л'Ацадéмие дес Сциенцес, Сéрие I, 300: 331—333 .

• Цондон, Е. У. (1937), „Иммерсион оф тхе Фоуриер трансформ ин а цонтинуоус гроуп оф фунцтионал трансформатионс”, Проц. Натл. Ацад. Сци., 23 (3): 158—164, Бибцоде:1937ПНАС...23..158Ц, ПМЦ 1076889 , ПМИД 16588141, дои:10.1073/пнас.23.3.158  .

• де Гроот, Сyбрен Р.; Мазур, Петер (1984), Нон-Еqуилибриум Тхермодyнамицс (2нд изд.), Неw Yорк: Довер .

• Дуоандикоетxеа, Јавиер (2001), Фоуриер Аналyсис, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-2172-5 .

• Дyм, Х.; МцКеан, Х. (1985), Фоуриер Сериес анд Интегралс, Ацадемиц Пресс, ИСБН 978-0-12-226451-1 .

• Ердéлyи, Артхур, ур. (1954), Таблес оф Интеграл Трансформс, 1, МцГраw-Хилл .

• Феллер, Wиллиам (1971), Ан Интродуцтион то Пробабилитy Тхеорy анд Итс Апплицатионс, II (2нд изд.), Неw Yорк: Wилеy, МР 0270403 .

• Фолланд, Гералд (1989), Хармониц аналyсис ин пхасе спаце, Принцетон Университy Пресс .

• Фолланд, Гералд (1992), Фоуриер аналyсис анд итс апплицатионс, Wадсwортх & Броокс/Цоле .

• Фоуриер, Ј.Б. Јосепх (1822), Тхéорие аналyтиqуе де ла цхалеур (на језику: француски), Парис: Фирмин Дидот, пèре ет филс, ОЦЛЦ 2688081 .

• Фоуриер, Ј.Б. Јосепх (1878) [1822], Тхе Аналyтицал Тхеорy оф Хеат, Превод: Алеxандер Фрееман, Тхе Университy Пресс  (транслатед фром Френцх).

• Градсхтеyн, Израил Соломоновицх; Рyзхик, Иосиф Моисеевицх; Геронимус, Yури Вениаминовицх; Тсеyтлин, Мицхаил Yулyевицх; Јеффреy, Алан (2015), Зwиллингер, Даниел; Молл, Вицтор Хуго, ур., Табле оф Интегралс, Сериес, анд Продуцтс (на језику: енглески), Превод: Сцрипта Тецхница, Инц. (8тх изд.), Ацадемиц Пресс, ИСБН 978-0-12-384933-5 .

• Графакос, Лоукас (2004), Цлассицал анд Модерн Фоуриер Аналyсис, Прентице-Халл, ИСБН 978-0-13-035399-3 .

• Графакос, Лоукас; Тесцхл, Гералд (2013), „Он Фоуриер трансформс оф радиал фунцтионс анд дистрибутионс”, Ј. Фоуриер Анал. Аппл., 19: 167—179, С2ЦИД 1280745, арXив:1112.5469 , дои:10.1007/с00041-012-9242-5 .

• Греинер, W.; Реинхардт, Ј. (1996), Фиелд Qуантизатион, Спрингер, ИСБН 978-3-540-59179-5 .

• Гелфанд, I.M.; Схилов, Г.Е. (1964), Генерализед Фунцтионс, 1, Неw Yорк: Ацадемиц Пресс  (транслатед фром Руссиан).

• Гелфанд, I.M.; Виленкин, Н.Y. (1964), Генерализед Фунцтионс, 4, Неw Yорк: Ацадемиц Пресс  (транслатед фром Руссиан).

• Хеwитт, Едwин; Росс, Кеннетх А. (1970), Абстрацт хармониц аналyсис, Дие Грундлехрен дер матхематисцхен Wиссенсцхафтен, Банд 152, II: Струцтуре анд аналyсис фор цомпацт гроупс. Аналyсис он лоцаллy цомпацт Абелиан гроупс, Спрингер, МР 0262773 .

• Хöрмандер, L. (1976), Линеар Партиал Дифферентиал Операторс, 1, Спрингер, ИСБН 978-3-540-00662-6 .

• Хоwе, Рогер (1980), „Он тхе роле оф тхе Хеисенберг гроуп ин хармониц аналyсис”, Буллетин оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 3 (2): 821—844, МР 578375, дои:10.1090/С0273-0979-1980-14825-9  .

• Јамес, Ј.Ф. (2011), А Студент'с Гуиде то Фоуриер Трансформс (3рд изд.), Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-17683-5 .

• Јордан, Цамилле (1883), Цоурс д'Аналyсе де л'Éцоле Полyтецхниqуе, II, Цалцул Интéграл: Интéгралес дéфиниес ет индéфиниес (2нд изд.), Парис 
• Каисер, Гералд (1994), „А Фриендлy Гуиде то Wавелетс”, Пхyсицс Тодаy, 48 (7): 57—58, Бибцоде:1995ПхТ....48г..57К, ИСБН 978-0-8176-3711-8, дои:10.1063/1.2808105 .

• Каммлер, Давид (2000), А Фирст Цоурсе ин Фоуриер Аналyсис, Прентице Халл, ИСБН 978-0-13-578782-3 .

• Катзнелсон, Yитзхак (1976), Ан Интродуцтион то Хармониц Аналyсис, Довер, ИСБН 978-0-486-63331-2 .

• Кириллов, Алеxандре; Гвисхиани, Алеxеи D. (1982) [1979], Тхеоремс анд Проблемс ин Фунцтионал Аналyсис, Спрингер  (транслатед фром Руссиан).

• Кнапп, Антхонy W. (2001), Репресентатион Тхеорy оф Семисимпле Гроупс: Ан Овервиеw Басед он Еxамплес, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-09089-4 .

• Колмогоров, Андреy Николаевицх; Фомин, Сергеи Василyевицх (1999) [1957], Елементс оф тхе Тхеорy оф Фунцтионс анд Фунцтионал Аналyсис, Довер 
• Ладо, Ф. (1971), „Нумерицал Фоуриер трансформс ин оне, тwо, анд тхрее дименсионс фор лиqуид стате цалцулатионс”, Јоурнал оф Цомпутатионал Пхyсицс, 8 (3): 417—433, Бибцоде:1971ЈЦоПх...8..417Л, дои:10.1016/0021-9991(71)90021-0 
• Мüллер, Меинард (2015), Тхе Фоуриер Трансформ ин а Нутсхелл. (ПДФ), Спрингер, ИСБН 978-3-319-21944-8, С2ЦИД 8691186, дои:10.1007/978-3-319-21945-5, Архивирано из оригинала (ПДФ) 08. 04. 2016. г., Приступљено 27. 06. 2019 
• Оппенхеим, Алан V.; Сцхафер, Роналд W.; Буцк, Јохн Р. (1999), Дисцрете-тиме сигнал процессинг (2нд изд.), Уппер Саддле Ривер, Н.Ј.: Прентице Халл, ИСБН 0-13-754920-2 

• Палеy, Р.Е.А.C.; Wиенер, Норберт (1934), Фоуриер Трансформс ин тхе Цомплеx Домаин, Америцан Матхематицал Социетy Цоллоqуиум Публицатионс (19), Провиденце, Рходе Исланд: Америцан Матхематицал Социетy .

• Пинскy, Марк (2002), Интродуцтион то Фоуриер Аналyсис анд Wавелетс, Броокс/Цоле, ИСБН 978-0-534-37660-4 .

• Поинцарé, Хенри (1895), Тхéорие аналyтиqуе де ла пропагатион де ла цхалеур, Парис: Царрé .

• Полyанин, А. D.; Манзхиров, А. V. (1998), Хандбоок оф Интеграл Еqуатионс, Боца Ратон: ЦРЦ Пресс, ИСБН 978-0-8493-2876-3 .

• Пресс, Wиллиам Х.; Фланнерy, Бриан П.; Теуколскy, Саул А.; Веттерлинг, Wиллиам Т. (1992), Нумерицал Реципес ин C: Тхе Арт оф Сциентифиц Цомпутинг, Сецонд Едитион (2нд изд.), Цамбридге Университy Пресс .

• Проакис, Јохн Г.; Манолакис, Димитри Г. (1996). Дигитал Сигнал Процессинг: Принциплес, Алгоритхмс анд Апплицатионс (на језику: енглески) (3 изд.). Неw Јерсеy: Прентице-Халл Интернатионал. Бибцоде:1996дспп.боок.....П. ИСБН 9780133942897. сАцфАQААИААЈ. .

• Рахман, Матиур (2011), Апплицатионс оф Фоуриер Трансформс то Генерализед Фунцтионс, WИТ Пресс, ИСБН 978-1-84564-564-9 .

• Рудин, Wалтер (1987), Реал анд Цомплеx Аналyсис (3рд изд.), Сингапоре: МцГраw Хилл, ИСБН 978-0-07-100276-9 .

• Симонен, П.; Олкконен, Х. (1985), „Фаст метход фор цомпутинг тхе Фоуриер интеграл трансформ виа Симпсон'с нумерицал интегратион”, Јоурнал оф Биомедицал Енгинееринг, 7 (4): 337—340, ПМИД 4057997, дои:10.1016/0141-5425(85)90067-6 .

• Смитх, Јулиус О. „Матхематицс оф тхе Дисцрете Фоуриер Трансформ (ДФТ), wитх Аудио Апплицатионс --- Сецонд Едитион”. ццрма.станфорд.еду. Приступљено 2022-12-29. „Wе маy тхинк оф а реал синусоид ас беинг тхе сум оф а поситиве-фреqуенцy анд а негативе-фреqуенцy цомплеx синусоид.” .

• Стеин, Елиас; Схакарцхи, Рами (2003), Фоуриер Аналyсис: Ан интродуцтион, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-11384-5 .

• Стеин, Елиас; Wеисс, Гуидо (1971), Интродуцтион то Фоуриер Аналyсис он Еуцлидеан Спацес, Принцетон, Н.Ј.: Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-08078-9 .

• Танеја, Х.C. (2008), „Цхаптер 18: Фоуриер интегралс анд Фоуриер трансформс”, Адванцед Енгинееринг Матхематицс, 2, Неw Делхи, Индиа: I. К. Интернатионал Пвт Лтд, ИСБН 978-8189866563 .

• Титцхмарсх, Е. (1986) [1948], Интродуцтион то тхе тхеорy оф Фоуриер интегралс (2нд изд.), Оxфорд Университy: Цларендон Пресс, ИСБН 978-0-8284-0324-5 .

• Вретблад, Андерс (2000), Фоуриер Аналyсис анд итс Апплицатионс, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 223, Неw Yорк: Спрингер, ИСБН 978-0-387-00836-3 .

• Wхиттакер, Е. Т.; Wатсон, Г. Н. (1927), А Цоурсе оф Модерн Аналyсис (4тх изд.), Цамбридге Университy Пресс .

• Wиддер, Давид Вернон; Wиенер, Норберт (август 1938), „Ремаркс он тхе Цлассицал Инверсион Формула фор тхе Лаплаце Интеграл”, Буллетин оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 44 (8): 573—575, дои:10.1090/с0002-9904-1938-06812-7 ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Wиенер, Норберт (1949), Еxтраполатион, Интерполатион, анд Смоотхинг оф Статионарy Тиме Сериес Wитх Енгинееринг Апплицатионс, Цамбридге, Масс.: Тецхнологy Пресс анд Јохн Wилеy & Сонс анд Цхапман & Халл 
• Wилсон, Р. Г. (1995), Фоуриер Сериес анд Оптицал Трансформ Тецхниqуес ин Цонтемпорарy Оптицс, Неw Yорк: Wилеy, ИСБН 978-0-471-30357-2 
• Wолф, Курт Б. (1979), Интеграл Трансформс ин Сциенце анд Енгинееринг, Спрингер, ИСБН 978-1-4757-0874-5, дои:10.1007/978-1-4757-0872-1 
• Yосида, К. (1968), Фунцтионал Аналyсис, Спрингер, ИСБН 978-3-540-58654-8 

Спољашње везе

• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• An Intuitive Explanation of Fourier Theory by Steven Lehar.
• Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Fourier Transform. Lectures 7–15 make use of it., by Alan Peters
• Мориартy, Пхилип; Боwлеy, Рогер (2009). „∑ Сумматион (анд Фоуриер Аналyсис)”. Сиxтy Сyмболс. Брадy Харан фор тхе Университy оф Ноттингхам.