Магнетостатика

Магнетостатика проучава магнетска поља у системима где су струје равномерне (не мењају се временом). Она је магнетско аналогна у односу на електростатику где су наелектрисања константна. Магнетизација не мора да буде статична; једначине магнетостатике се могу употребљавати да се предвиди брзо магнетско пребацивање што су догађаји који се дешавају на временској скали од неколико наносекунди или мање. Магнетостатика је чак добра апроксимација чак и када струје нису статичне – докле год се струје не мењају брзо. Магнетостатика има широку употребу у микромагнетици као што су модели магнетских уређаја за меморисање.

Примене

Магнетостатика као специјални случај Максвелових једначина

Почевши са Максвеловим једначинама и претпостављајући да су наелектрисања или фиксна или се крећу подједнако равномерно као и струја $\scriptstyle {\vec {J}}$, једначине се деле на две једначине за електрично поље (погледати електростатику) и две за магнетско поље. Поља су независна у односу на време и у односу једно на друго. Магнетостатичке једначине и у диференцијалном облику и у интегралном облику су приказане у табели испод.

Име	Парцијална диференцијална	Интеграл
Гаусов закон магнетизма:	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$	$\oint _{S}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=0$
Амперов закон:	${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}$	$\oint _{C}{\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=I_{\mathrm {enc} }$

Први интеграл је преко површине $S$ са елементом који се односи на површину $\scriptstyle d{\vec {S}}$. Други је интеграл линије око затворене петље $C$ са елементом $\scriptstyle {\vec {l}}$. Струја која тече кроз петљу је $\scriptstyle I_{\text{enc}}$.

Квалитет ове апроксимације може се проверити поређењем једначина горе представљених са целовитом верзијом Максвелових једначина а разматрањане важности компоненти које су уклоњене је од нарочите важности поређење $\scriptstyle {\vec {J}}$ компоненте са $\scriptstyle \partial {\vec {D}}/\partial t$ компоненте . Ако је $\scriptstyle {\vec {J}}$ компонента поприлично већа онда мања компонента може бити занемарена без већег губитка прецизности.

Поновно упознаванаје са Фарадејевим законом

Уобичајена техника је да се реши низ магнетостатичких проблема уз додатне временске кораке и онда се користе та решења да се процени компонента $\scriptstyle \partial {\vec {B}}/\partial t$. Убацивањем оваквог резултата у Фарадејев закон доводи до резултата $\scriptstyle {\vec {E}}$ (што је претходно било занемарено). Овај метод није истинито решење Максвелових једначина, али може да донесе добру апроксимацију за споро промењива поља.

Решења за магнетска поља

Извори струје

Ако су све струје у систему познате (тј ако је доступан потпуни опис (и.е., иф а цомплете десцриптион оф $\scriptstyle {\vec {J}}$) онда магнетско поље може да се одреди на основу струја Био-Саваровом једначином:

${\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\frac {\mathrm {d} {\vec {l}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}}$

Ова техника успева код проблема где је медијум вакуум или ваздух или слична материја релативне пермеабилности од 1. Ово укључује калемове са ваздушним језгром и трансформаторе са ваздушним језгром. Једна предност ове технике је то да геометрија комплесног калема може да се интегрише у одељке или за веома компликовану геометрију може се користити нумеричка интеграција. Пошто се ова једначина примарно користи за решавање линеарних проблема, потпун одговор ће бити збир интеграла сваког одељка компоненте.

За проблеме где је доминантни магнетски материјал високо пермеабилно магнетско језгро са релативно малим ваздушним пролазима приступ магнетског кола је користан. Када су ваздушни пролази велики у поређењу са дужином магнетског кола, ограничење постаје од важности и најчешће захтева прорачун коначних елемената. Прорачун коначних елемената користи модификовани облик магнетостатичких једначина горе поменутих, за израчунавање магнетског потенцијала. Вредност $\scriptstyle {\vec {B}}$ може се добити из магнетског потенцијала. Магнетско поље се може извести из векторског потенцијала. Пошто је дивергенција густине магнетског флукса увек нула,

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},$

и однос векторског потенцијала и струје је:

${\vec {A}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\vec {J}}{r}}dV}$

где је $\scriptstyle {\vec {J}}$ густина наелектрисања.

Магнетизација

Високо магнетни материјали (тј Феромагнетски, Феримагнетски или Парамагнетски) имају магнетизацију која на првом месту зависи од спина електрона. Код таквих материјала магнетизација мора бити експлицитно укључена користећи однос

${\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {M}}+{\vec {H}}).$

Осим код метала, електичне струје се могу игнорисати. Онда је Амперов закон једноставно

$\nabla \times {\vec {H}}=0.$

Ово има опште решење

${\vec {H}}=-\nabla U,$

Где је $U$ скаларни потенцијал. Убацујући ово у Гаусов закон добија се

$\nabla ^{2}U=\nabla \cdot {\vec {M}}.$

Према томе, дивергенција магнетизације, $\scriptstyle \nabla \cdot {\vec {M}},$има аналогну улогу у односу на електрично наелектрисање у електростатици и често се назива ефективном густином наелектрисања $\rho _{M}$.

Метод векторског потенцијала се такође може употребити за ефективну густину наелектрисања

${\vec {J_{M}}}=\nabla \times {\vec {M}}.$

Види још

• Дарwин Лагрангиан

Литература

• Ахарони, Амикам (1996). Интродуцтион то тхе Тхеорy оф Ферромагнетисм. Цларендон Пресс. ИСБН 978-0-19-851791-7. Архивирано из оригинала 29. 06. 2011. г. Приступљено 14. 01. 2014. 
• Феyнман, Рицхард П.; Леигхтон, Роберт Б.; Сандс, Маттхеw (2006). Тхе Феyнман Лецтурес он Пхyсицс. 2. ISBN 0-8053-9045-6. 
• Hiebert, W; Ballentine, G; Freeman, M (2002). „Comparison of experimental and numerical micromagnetic dynamics in coherent precessional switching and modal oscillations”. Physical Review B. 65 (14). стр. 140404. doi:10.1103/PhysRevB.65.140404. 
• Principles of Electric Circuits, 7th edition, Thomas I. Floyd, Prentice Hall. ISBN 978-0-13-098576-7. стр. 386-387.
• Хон, Гиора; Голдстеин, Бернард Р, "Сyмметрy анд асyмметрy ин елецтродyнамицс фром Роwланд то Еинстеин", Студиес ин Хисторy анд Пхилосопхy оф Модерн Пхyсицс, вол. 37, исс. 4, пп. 635-660, Елсевиер Децембер 2006.
• Хопкинсон, Јохн, "Магнетисатион оф ирон", Пхилосопхицал Трансацтионс оф тхе Роyал Социетy, вол. 176, пп. 455-469, 1885.
• Ламберт, Матхиеу; Махсередјиан, Јеан; Мартíнез-Дурó, Мануел; Сироис, Фрéдéриц, "Магнетиц цирцуитс wитхин елецтриц цирцуитс: цритицал ревиеw оф еxистинг метходс анд неw мутатор имплементатионс", ИЕЕЕ Трансацтионс он Поwер Деливерy, вол. 30, исс. 6, пп. 2427-2434, Децембер 2015.
• Роwланд, Хенрy А, "Он магнетиц пермеабилитy анд тхе маxимум магнетисм оф ирон, стеел, анд ницкел", Пхилосопхицал Магазине, сериес 4, вол. 46, но. 304, пп. 140-159, Аугуст 1873.
• Роwланд, Хенрy А, "Он тхе генерал еqуатионс оф елецтро-магнетиц ацтион, wитх апплицатион то а неw тхеорy оф магнетиц аттрацтионс, анд то тхе тхеорy оф тхе магнетиц ротатион оф тхе плане оф поларизатион оф лигхт" (парт 2), Америцан Јоурнал оф Матхематицс, вол. 3, нос. 1-2, пп. 89–113, Марцх 1880.
• Сцхмидт, Роберт Мунниг; Сцхиттер, Георг, "Елецтромецханицал ацтуаторс", цх. 5 ин Сцхмидт, Роберт Мунниг; Сцхиттер, Георг; Ранкерс, Адриан; ван Еијк, Јан, Тхе Десигн оф Хигх Перформанце Мецхатроницс, ИОС Пресс, 2014 ISBN 1614993688.
• Тхомпсон, Силванус Пхиллипс, Тхе Елецтромагнет анд Елецтромагнетиц Мецханисм, Цамбридге Университy Пресс, 2011 (фирст публисхед 1891) ISBN 1108029213.
• Смитх, Р.Ј. (1966), Цирцуитс, Девицес анд Сyстемс, Цхаптер 15, Wилеy Интернатионал Едитион, Неw Yорк. Либрарy оф Цонгресс Цаталог Цард Но. 66-17612
• Wаyгоод, Адриан, Ан Интродуцтион то Елецтрицал Сциенце, Роутледге, 2013 ISBN 1135071136.
• Тхе Пенгуин Дицтионарy оф Пхyсицс, 1977, ISBN 0-14-051071-0
• А Теxтбоок оф Елецтрицал Тецхнологy, 2008, ISBN 81-219-2440-5
• Rowland, H. A. (1878). „On the magnetic effect of electric convection”. American Journal of Science. 3rd series. 15: 30—38 — преко hathitrust.org. 
• Rowland, H. A. (1879). „Note on the magnetic effect of electric convection”. Philosophical Magazine. 5th series. 7: 442—443 — преко hathitrust.org. 
• Rowland, Henry A. (1878). „Research on the absolute unit of electrical resistance”. American Journal of Science. 3rd series. 15 (88): 281—291, 325—336, 430—439. Bibcode:1878AmJS...15..281R. S2CID 219243060. doi:10.2475/ajs.s3-15.88.281 — преко hathitrust.org. 
• Lawrence M Lerner (1997). Physics for scientists and engineers. Jones & Bartlett Publishers. стр. 724—727. ISBN 978-0-7637-0460-5. 
• „Electrolytic Cells”. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Приступљено 17. 5. 2018. 
• „Electrochemical Cells”. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Приступљено 17. 5. 2018. „Electrochemical cells which generate an electric current are called voltaic cells or galvanic cells, and common batteries consist of one or more such cells. In other electrochemical cells an externally supplied electric current is used to drive a chemical reaction which would not occur spontaneously. Such cells are called electrolytic cells.” 
• Brittain, J.E. (март 1990). „Thevenin's theorem”. IEEE Spectrum. 27 (3): 42. doi:10.1109/6.48845. Приступљено 1. 2. 2013. 
• Dorf, Richard C.; Svoboda, James A. (2010). „Chapter 5 - Circuit Theorems”. Introduction to Electric Circuits (8th изд.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons. стр. 162—207. ISBN 978-0-470-52157-1. Архивирано из оригинала 30. 4. 2012. г. Приступљено 16. 6. 2019. 
• Imaeda, K. (1995), „Biquaternionic Formulation of Maxwell's Equations and their Solutions”, Ур.: Ablamowicz, Rafał; Lounesto, Pertti, Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer, стр. 265—280, ISBN 978-90-481-4525-6, doi:10.1007/978-94-015-8422-7_16 
• On Faraday's Lines of Force – 1855/56. Maxwell's first paper (Part 1 & 2) – Compiled by Blaze Labs Research (PDF).
• On Physical Lines of Force – 1861. Maxwell's 1861 paper describing magnetic lines of force – Predecessor to 1873 Treatise.
• Larmor Joseph (1897). „On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium. Part 3, Relations with material media”. Phil. Trans. R. Soc. 190: 205—300. 
• Lorentz Hendrik (1899). „Simplified theory of electrical and optical phenomena in moving systems”. Proc. Acad. Science Amsterdam. I: 427—443. 
• Lorentz Hendrik (1904). „Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity less than that of light”. Proc. Acad. Science Amsterdam. IV: 669—678. 
• Henri Poincaré (1905) "Sur la dynamique de l'électron", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 140, 1504–1508.
• Catt, Walton and Davidson. "The History of Displacement Current" Архивирано 2008-05-06 на сајту Wayback Machine. Wирелесс Wорлд, Марцх 1979.