Риманова геометрија

Риманова геометрија је грана диференцијалне геометрије која проучава Риманове многострукости, глатке многострукости са Римановим метрицима, и.е. са унутрашњим производом на тангентном простору у свакој тачки која глатко варира од тачке до тачке. Ово даје специфичне локалне појмове угла, дужине лука, површине и запремине. Интегрисањем њихових локалних доприноса могу се извести неке друге глобалне величине.

Риманова геометрија је настала визијом Бернхарда Римана израженом у уводном предавању с наловом „О хипотезама на којима се заснива геометрија”. Ради се о врло широкој и апстрактној генерализацији диференцијалне геометрије површина у R³. Развој Риманове геометрије произашао је из синтезе различитих резултата који се тичу геометрије површина и понашања геодезика на њима, техникама које се могу применити у истраживању диференцијабилних многострукости већих димензија. Она је омогућила формулисање Ајнштајнове опште теорије релативности, дубоко је утицала на теорију група и теорију репрезентација, као и на анализу, и подстакла развој алгебарске и диференцијалне топологије.

Увод

Бернхард Риман

Риманову геометрију први је генерално представио Бернхард Риман у 19. веку. Она се бави широким опсегом геометрија чија се метричка својства разликују од тачке до тачке, укључујући стандардне типове нееуклидске геометрије.

Риманова метрика је применљива на сваку глатку многострукост, што често помаже у решавању проблема диференцијалне топологије. Она служи и као улазни ниво за компликованију структуру псеудо-Риманових многострукости, које су (у четири димензије) главни објекти теорије опште релативности. Остале генерализације Риманове геометрије укључују Финслерову геометрију.

Постоји блиска аналогија диференцијалне геометрије са математичком структуром дефеката у правилним кристалима. Дислокације и дисклинације производе торзије и закривљености.

Сљедећи чланци пружају корисне уводне материјале:

• Метрички тензор
• Риманова многострукост
• Веза Леви-Цивита
• Закривљеност
• Тензор закривљености
• Списак тема диференцијалне геометрије
• Речник Риманове и метричке геометрије

Класичне теореме

Следи непотпуна листа најкласичнијих теорема из Риманове геометрије. Избор је извршен на бази њихове важности и елеганције формулације. Већина резултата може се наћи у класичној монографији Џефа Чегера и D. Ебина (погледајте испод). Дате формулације нису далеко од врло прецизних или најгенералнијих. Ова листа је оријентисана на оне који већ познају основне дефиниције и желе да сазнају о чему се ради у овим дефиницијама.

Опште теореме

1. Гаус-Бонеова теорема. Интеграл Гаусове закривљености на компактној дводимензионалној Римановој многострукости је једнак 2πχ(M), где χ(M) означава Ојлерову карактеристику од M. Ова теорема садржи генерализацију за било коју компактну парно-димензионалну Риманову многострукост, погледајте генерализовану Гаус-Бонетову теорему.
2. Нашова теорема уграђивања или фундаменталне теореме Риманове геометрије. Оне наводе да свака Риманова многострукост може да буде изометрички уграђена у Еуклидов простор Rⁿ.

Геометрија у целини

У свим следећим теоремима су претпостављена нека локална понашања простора (обично формулисана претпоставком закривљености) да би се извеле неке од информација о глобалној структури простора, укључујући било информације о тополошком типу многострукости или о понашању тачака на „довољно великим” растојањима.

Ограничена секцијска закривљеност

1. Сферна теорема. Ако је M једноставно повезана компактна n-димензионална Риманова многострукост са секцијском закривљеноти строго ограниченом између 1/4 и 1, онда је M дифиоморфна на сферу.
2. Чигерова теорема ограничености. Полазећи од константи C, D и V, постоји само коначан број (до дифеоморфизма) компактних n-димензионалних Риманових многострукости са секцијском закривљености |K| ≤ C, пречником ≤ D и запремином ≥ V.
3. Громова скоро равна многострукост. Постоји ε_n > 0 такво да ако n-димензиона Риманова многострукост има метрику са секцијском закривљености |K| ≤ ε_n и пречником ≤ 1 онда је њен коначни покривач дифеоморфан до нулте многострукости.

Секцијска закривљеност ограничена доле

1. Чигер–Громолова теорема душе. Ако је M некомпактна комплетна ненегативно закривљена n-димензиона Риманова многострукост, онда M садржи компактну, потпуно геодезијску подмногострукост S такву да је M дифеоморфно на нормалном свежњу од S (S се назива душа многострукости M). Конкретно, ако M има свуда строго позитивну закривљеност, тада је она дифеоморфна на Rⁿ. Г. Перељман је 1994. године дао запањујуће елегантан/кратак доказ претпоставке душе: M је дифеоморфно на Rⁿ ако има позитивну закривљеност у само једној тачки.
2. Громова теорема Бетијевог броја. Постоји константа C = C(n) таква да ако је M компактно повезана n-димензионална Риманова многострукост са позитивном секционом закривљености онда је сума њених Бетијевих бројева највише C.
3. Гроув–Петерсенова теорема ограничености. Полазећи од константи C, D и V, постоји само коначно много хомотопних типова компактних n-димензионих Риманових многострукости са секционом закривљености K ≥ C, пречником ≤ D и запремином ≥ V.

Секцијска закривљеност ограничена горе

1. Картан-Хадамардова теорема наводи да је комплетно једноставно повезана Риманова многострукост M са непозитивном секцијском закривљености дифеоморфна на Еуклидовом простору Rⁿ са n = dim M путем експоненцијалне мапе у било којој тачки. То имплицира да су било које две тачке једноставно спојене комплетне Риманове многострукости са непозитивном секционом закривљености спојене јединственим геодезиком.
2. Геодезијски проток било које компактне Риманове многострукости са негативном секцијском закривљености је ергодичан.
3. Ако је M комплетна Риманова многострукост са секционом закривљености ограниченом горе путем стриктно негативне константе k онда је то CAT(k) простор. Консеквентно, њена фундаментална група Γ = π₁(M) је Громов хиперболик. То има мноштво импликација за структуру фундаменталне групе:

• она је коначно представљена;
• проблем речи за Γ има позитивно решење;
• група Γ има коначну виртуалну кохомолошку димензију;
• она садржи само коначно много класа конјугације елемената коначног реда;
• Абелове подгрупе од Γ су виртуално цикличне, тако да она не садржи подгрупу која је изоморфна на Z×Z.

Ричијева закривљеност ограничена доле

1. Мајерсова теорема. Ако компактна Риманова многострукост има позитивну Ричијеву закривљености, онда је њена фундаментална група коначна.
2. Бохнерова формула. Ако компактна Риманова n-многострукост има ненегативну Ричијеву закривљености, онда је њен приви Бетијев број највише n, са једнакошћу ако и само ако је Риманова многострукост раван торус.
3. Теорема расцепљења. Ако комплетна n-димензиона Риманова многострукост има ненегативну Ричијеву закривљеност и праву линију (и.е. геодезија која минимизује удаљеност на сваком интервалу) онда је она изометријска на директан производ реалне линије и комплетна (n-1)-димензиона Риманова многострукост која има ненегативну Ричијеву закривљеност.
4. Бишоп-Громова неједнакост. Запремина метричке лопте радијуса r у комплетној n-димензионој Римановој многострукости са позитивном Ричијевом закривљености има запремину која не превазилази запремину лопте исторг радијуса r у Еуклидовом простору.
5. Громова теорема компактности. Сет свих Риманових многострукости са позитивном Ричијевом закривљености и пречником од највише D је прекомпактан у Громов-Хаусдорфовом метрику.

Негативна Ричијева закривљеност

1. Изометријска група компактне Риманове многострукости са негативном Ричијевом закривљености је дискретна.
2. Свака глатка многострукост димензија n ≥ 3 подлеже Римановом метрику са негативном Ричијевом закривљености. (Ово не важи за површине.)

Позитивна скаларна закривљеност

1. n-димензиони торус не подлеже метрику са позитивном скаларном закривљености.
2. Ако је радијус ињективности компактне n-димензионе Риманове многострукости ≥ π онда је просечна скаларна закривљеност највише n(n-1).

Види још

• Облик универзума
• Увод у математику опште релативности
• Нормалне координате
• Систолична геометрија
• Риман–Картан геометрија у Ајнштајн–Картановој теорији (мотивација)
• Риманова минимална површина

Литература

• Бергер, Марцел (2000), Риеманниан Геометрy Дуринг тхе Сецонд Халф оф тхе Тwентиетх Центурy, Университy Лецтуре Сериес, 17, Рходе Исланд: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 0-8218-2052-4 . (Провидес а хисторицал ревиеw анд сурвеy, инцлудинг хундредс оф референцес.)
• Цхеегер, Јефф; Ебин, Давид Г. (2008), Цомпарисон тхеоремс ин Риеманниан геометрy, Провиденце, РИ: АМС Цхелсеа Публисхинг ; Ревисед репринт оф тхе 1975 оригинал.
• Галлот, Сyлвестре; Хулин, Доминиqуе; Лафонтаине, Јацqуес (2004), Риеманниан геометрy, Университеxт (3рд изд.), Берлин: Спрингер-Верлаг .
• Јост, Јüрген (2002), Риеманниан Геометрy анд Геометриц Аналyсис, Берлин: Спрингер-Верлаг, ИСБН 3-540-42627-2 .
• Петерсен, Петер (2006), Риеманниан Геометрy, Берлин: Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-98212-4 
• Фром Риеманн то Дифферентиал Геометрy анд Релативитy (Лизхен Ји, Атханасе Пападопоулос, анд Сумио Yамада, Едс.) Спрингер, 2017, XXXIV, 647 п. ISBN 978-3-319-60039-0
• Брендле, Симон; Сцхоен, Рицхард M. (2007), Цлассифицатион оф манифолдс wитх wеаклy 1/4-пинцхед цурватурес, Бибцоде:2007арXив0705.3963Б, арXив:0705.3963  
• до Цармо, Манфредо (1992). Риеманниан геометрy. Басел: Биркхäусер. ИСБН 978-0-8176-3490-2. 
• Гуиллемин, Вицтор анд Поллацк, Алан (1974) Дифферентиал Топологy. Прентице-Халл. ISBN 0-13-212605-2.
• Хирсцх, Моррис, (1997) Дифферентиал Топологy. Спрингер Верлаг. ISBN 0-387-90148-5.
• Кирбy, Робион C. анд Сиебенманн, Лауренце C. (1977) Фоундатионал Ессаyс он Топологицал Манифолдс. Смоотхингс, анд Триангулатионс. Принцетон Университy Пресс. ISBN 0-691-08190-5.
• Лее, Јохн M. (2000) Интродуцтион то Топологицал Манифолдс. Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-98759-2.
• Лее, Јохн M. (2003) Интродуцтион то Смоотх Манифолдс. Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-95495-3.
• Массеy, Wиллиам С. (1977) Алгебраиц Топологy: Ан Интродуцтион. Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90271-6.
• Милнор, Јохн (1997) Топологy фром тхе Дифферентиабле Виеwпоинт. Принцетон Университy Пресс. ISBN 0-691-04833-9.
• Мункрес, Јамес Р. (1991) Аналyсис он Манифолдс. Аддисон-Wеслеy (репринтед бy Wествиеw Пресс) ISBN 0-201-51035-9.
• Мункрес, Јамес Р. (2000) Топологy. Прентице Халл. ISBN 0-13-181629-2.
• Неуwиртх, L. П., ед. (1975) Кнотс, Гроупс, анд 3-Манифолдс. Паперс Дедицатед то тхе Меморy оф Р. Х. Фоx. Принцетон Университy Пресс. ISBN 978-0-691-08170-0.
• Риеманн, Бернхард, Гесаммелте матхематисцхе Wерке унд wиссенсцхафтлицхер Нацхласс, Сäндиг Репринт. ISBN 3-253-03059-8.
  • Грундлаген фüр еине аллгемеине Тхеорие дер Фунцтионен еинер верäндерлицхен цомплеxен Грöссе. Тхе 1851 доцторал тхесис ин wхицх "манифолд" (Маннигфалтигкеит) фирст аппеарс.
  • Уебер дие Хyпотхесен, wелцхе дер Геометрие зу Грунде лиеген. Тхе 1854 Гöттинген инаугурал лецтуре (Хабилитатионссцхрифт).
• Спивак, Мицхаел (1965) Цалцулус он Манифолдс: А Модерн Аппроацх то Цлассицал Тхеоремс оф Адванцед Цалцулус. W.А. Бењамин Инц. (репринтед бy Аддисон-Wеслеy анд Wествиеw Пресс). ISBN 0-8053-9021-9.
• Спивак, Мицхаел (1999) А Цомпрехенсиве Интродуцтион то Дифферентиал Геометрy (3рд едитион) Публисх ор Перисх Инц.
• Ту, Лоринг W. (2011). Ан Интродуцтион то Манифолдс (2нд изд.). Неw Yорк: Спрингер. ИСБН 978-1-4419-7399-3. .

Спољашње везе

• Riemannian geometry by V. A. Toponogov at the Encyclopedia of Mathematics
• Wеисстеин, Ериц W. „Риеманниан Геометрy”. МатхWорлд.