Теорија репрезентације
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/Hexagon_Reflections.png/300px-Hexagon_Reflections.png)
Теорија репрезентације је грана математике која проучава апстрактне алгебарске структуре представљајући њихове елементе као линеарне трансформације векторских простора,[1] и проучава модуле за ове апстрактне алгебарске структуре.[2][3] У суштини, репрезентација чини апстрактни алгебрски објекат конкретнијим описујући његове елементе матрицама и његовим алгебарским операцијама (на пример, сабирање матрица, множење матрица). Теорија матрица и линеарних оператора је добро изучена, тако да репрезентација апстрактнијих објеката у смислу познатих линеарних алгебричних објеката помаже у стицању увида у својстава, а понекад и поједностављује израчунавања на апстрактнијим теоријама.
Алгебрски објекти који се могу описати укључују групе, асоцијативне алгебре и Лијеве алгебре. Најпроминентнија од њих (и историјски прва) је теорија репрезентације група, у којој су елементи групе представљени инвертабилним матрицама на такав начин да је групна операција множење матрица.[4][5]
Теорија репрезентације је корисна метода јер своди проблеме апстрактне алгебре на проблеме линеарне алгебре, област која је добро изучена.[6] Надаље, векторски простор на којем је представљена група (на пример) може бити бесконачно димензионалан, и допуштајући да буде, на пример, Хилбертов простор, методе анализе могу се применити на теорију група.[7][8] Теорија репрезентације је такође важна у физици јер, на пример, она описује како група симетрије физичког система утиче на решења једначина која описују тај систем.[9]
Теорија репрезентације је из два разлога прожимајућа у више области математике. Прво, примене теорије репрезентације су разноврсне,[10] те поред утицаја на алгебру, теорија репрезентације:
- осветљава и генералише Фуријеову анализу путем хармонијске анализе,[11]
- повезана је са геометријом путем инвариантне теорије и Ерлангеновог програма,[12]
- има утицаја на теорију бројева путем аутоморфних форми и програма Лангландса.[13]
Друго, постоје различити приступи теорији репрезентације. Исти се објекти могу проучавати методама из алгебарске геометрије, теорије модула, теорије аналитичких бројева, диференцијалне геометрије, теорије оператора, алгебарске комбинаторике и топологије.[14]
Успех теорије репрезентације довео је до бројних генерализација. Једна од најчешћих је у теорији категорија.[15] Алгебарски објекти на које се односи теорија репрезентације могу се посматрати као посебне врсте категорија, а репрезентације као функтори из категорије објекта у категорију векторских простора.[5] Овај опис указује на две очигледне генерализације: прво, алгебарски објекти се могу заменити општијим категоријама; друго, циљна категорија векторских простора може се заменити другим добро изученим категоријама.
Дефиниције и концепти[уреди | уреди извор]
Нека је V векторски простор над пољем F.[6] На пример, простор V је Rn или Cn, стандардни n-димензионални простор од колонских вектора над реалним или комплексним бројевима, респективно. У том случају, идеја репрезентационе теорије је да се примени апстрактна алгебра конкретно користећи n × n матрице реалних или комплексних бројева.
Постоје три главне врсте алгебарских објеката за које се то може учинити: групе, асоцијативне алгебре и Лијеве алгебре.[16][5]
- Скуп свих инвертабилних n × n матрица је група под матричним множењем, и теорија репрезентације група анализира групу описивањем („репрезентацијом”) њених елемената у смислу инверзибилних матрица.
- Матрично сабирање и множење сачињавају скуп свих n × n матрица у асоцијативној алгебри, и стога постоји кореспондирајућа теорија репрезентације асоцијативних алгебри.
- Ако се замени матрично множење MN са матричним комутатором MN − NM, онда n × n матрице постају уместо тога Лијева алгебра, што доводи со теорије репрезентације Лијевих алгебри.
Ово се генерализује до било ког поља F и било ког векторског простора V над F, при чему линеарне мапе замењују матрице и композиција замењује матрично множење: постоји група GL(V,F) аутоморфизама од V, асоцијативна алгебра EndF(V) свих ендоморфизама од V, и кореспондирајућа Лијева алгебра gl(V,F).
Референце[уреди | уреди извор]
- ^ „Тхе Дефинитиве Глоссарy оф Хигхер Матхематицал Јаргон — Матхематицал Репресентатион”. Матх Ваулт (на језику: енглески). 1. 8. 2019. Приступљено 9. 12. 2019.
- ^ Цлассиц теxтс он репресентатион тхеорy инцлуде Цуртис & Реинер (1962) анд Серре (1977). Отхер еxцеллент соурцес аре Фултон & Харрис (1991) анд Гоодман & Wаллацх (1998)
- ^ „репресентатион тхеорy ин нЛаб”. нцатлаб.орг. Приступљено 9. 12. 2019.
- ^ Фор тхе хисторy оф тхе репресентатион тхеорy оф фините гроупс, сее Лам (1998). Фор алгебраиц анд Лие гроупс, сее Борел (2001)
- ^ а б в Етингоф, Павел; Голберг, Олег; Хенсел, Себастиан; Лиу, Тианкаи; Сцхwенднер, Алеx; Ваинтроб, Дмитрy; Yудовина, Елена (10. 1. 2011). „Интродуцтион то репресентатион тхеорy” (ПДФ). www-матх.мит.еду. Приступљено 9. 12. 2019.
- ^ а б Тхере аре манy теxтбоокс он вецтор спацес анд линеар алгебра. Фор ан адванцед треатмент, сее Кострикин & Манин (1997)
- ^ Саллy & Воган 1989
- ^ Телеман, Цонстантин (2005). „Репресентатион Тхеорy” (ПДФ). матх.беркелеy.еду. Приступљено 9. 12. 2019.
- ^ Стернберг 1994
- ^ Лам 1998, стр. 372
- ^ Фолланд 1995
- ^ Гоодман & Wаллацх 1998, Олвер 1999, Схарпе 1997
- ^ Борел & Цасселман 1979, Гелбарт 1984
- ^ Сее тхе превиоус фоотнотес анд алсо Борел (2001)
- ^ Симсон, Скоwронски & Ассем 2007
- ^ Фултон & Харрис 1991, Симсон, Скоwронски & Ассем 2007, Хумпхреyс 1972
Литература[уреди | уреди извор]
- Алперин, Ј. L. (1986), Лоцал Репресентатион Тхеорy: Модулар Репресентатионс ас ан Интродуцтион то тхе Лоцал Репресентатион Тхеорy оф Фините Гроупс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-44926-7.
- Баргманн, V. (1947), „Ирредуцибле унитарy репресентатионс оф тхе Лоренз гроуп”, Анналс оф Матхематицс, 48 (3): 568—640, ЈСТОР 1969129, дои:10.2307/1969129.
- Борел, Арманд (2001), Ессаyс ин тхе Хисторy оф Лие Гроупс анд Алгебраиц Гроупс, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-0288-5.
- Борел, Арманд; Цасселман, W. (1979), Аутоморпхиц Формс, Репресентатионс, анд L-фунцтионс, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-1435-2.
- Цуртис, Цхарлес W.; Реинер, Ирвинг (1962), Репресентатион Тхеорy оф Фините Гроупс анд Ассоциативе Алгебрас
, Јохн Wилеy & Сонс (Реедитион 2006 бy АМС Бооксторе), ИСБН 978-0-470-18975-7.
- Гелбарт, Степхен (1984), „Ан Елементарy Интродуцтион то тхе Лангландс Програм”, Буллетин оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 10 (2): 177—219, дои:10.1090/С0273-0979-1984-15237-6.
- Фолланд, Гералд Б. (1995), А Цоурсе ин Абстрацт Хармониц Аналyсис, ЦРЦ Пресс, ИСБН 978-0-8493-8490-5.
- Шаблон:Фултон-Харрис.
- Гоодман, Рое; Wаллацх, Нолан Р. (1998), Репресентатионс анд Инвариантс оф тхе Цлассицал Гроупс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-66348-9.
- Гордон, Јамес; Лиебецк, Мартин (1993), Репресентатионс анд Цхарацтерс оф Фините Гроупс, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-44590-0.
- Халл, Бриан C. (2015), Лие Гроупс, Лие Алгебрас, анд Репресентатионс: Ан Елементарy Интродуцтион, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 222 (2нд изд.), Спрингер, ИСБН 978-3319134666
- Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифферентиал Геометрy, Лие гроупс анд Сyмметриц Спацес, Ацадемиц Пресс, ИСБН 978-0-12-338460-7
- Хумпхреyс, Јамес Е. (1972а), Интродуцтион то Лие Алгебрас анд Репресентатион Тхеорy
, Биркхäусер, ИСБН 978-0-387-90053-7.
- Хумпхреyс, Јамес Е. (1972б), Линеар Алгебраиц Гроупс, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 21, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90108-4, МР 0396773
- Јантзен, Јенс Царстен (2003), Репресентатионс оф Алгебраиц Гроупс, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-3527-2.
- Кац, Вицтор Г. (1977), „Лие супералгебрас”, Адванцес ин Матхематицс, 26 (1): 8—96, дои:10.1016/0001-8708(77)90017-2.
- Кац, Вицтор Г. (1990), Инфините Дименсионал Лие Алгебрас (3рд изд.), Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-46693-6.
- Кнапп, Антхонy W. (2001), Репресентатион Тхеорy оф Семисимпле Гроупс: Ан Овервиеw Басед он Еxамплес, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-09089-4.
- Ким, Схоон Кyунг (1999), Гроуп Тхеоретицал Метходс анд Апплицатионс то Молецулес анд Црyсталс: Анд Апплицатионс то Молецулес анд Црyсталс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-64062-6.
- Кострикин, А. I.; Манин, Yури I. (1997), Линеар Алгебра анд Геометрy, Таyлор & Францис, ИСБН 978-90-5699-049-7.
- Лам, Т. Y. (1998), „Репресентатионс оф фините гроупс: а хундред yеарс”, Нотицес оф тхе АМС, 45 (3,4): 361–372 (Парт I), 465–474 (Парт II).
- Yурии I. Лyубицх. Интродуцтион то тхе Тхеорy оф Банацх Репресентатионс оф Гроупс. Транслатед фром тхе 1985 Руссиан-лангуаге едитион (Кхарков, Украине). Биркхäусер Верлаг. 1988.
- Мумфорд, Давид; Фогартy, Ј.; Кирwан, Ф. (1994), Геометриц инвариант тхеорy, Ергебниссе дер Матхематик унд ихрер Грензгебиете (2) [Ресултс ин Матхематицс анд Релатед Ареас (2)], 34 (3рд изд.), Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-3-540-56963-3, МР 0214602; МР0719371 (2нд ед.); МР1304906(3рд ед.)
- Олвер, Петер Ј. (1999), Цлассицал инвариант тхеорy, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-55821-1.
- Петер, Ф.; Wеyл, Херманн (1927), „Дие Воллстäндигкеит дер примитивен Дарстеллунген еинер гесцхлоссенен континуиерлицхен Группе”, Матхематисцхе Аннален, 97 (1): 737—755, дои:10.1007/БФ01447892, Архивирано из оригинала 19. 8. 2014. г..
- Понтрјагин, Лев С. (1934), „Тхе тхеорy оф топологицал цоммутативе гроупс”, Анналс оф Матхематицс, 35 (2): 361—388, ЈСТОР 1968438, дои:10.2307/1968438.
- Саллy, Паул; Воган, Давид А. (1989), Репресентатион Тхеорy анд Хармониц Аналyсис он Семисимпле Лие Гроупс, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-1526-7.
- Серре, Јеан-Пиерре (1977), Линеар Репресентатионс оф Фините Гроупс
, Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0387901909.
- Схарпе, Рицхард W. (1997), Дифферентиал Геометрy: Цартан'с Генерализатион оф Клеин'с Ерланген Програм, Спрингер, ИСБН 978-0-387-94732-7.
- Симсон, Даниел; Скоwронски, Андрзеј; Ассем, Ибрахим (2007), Елементс оф тхе Репресентатион Тхеорy оф Ассоциативе Алгебрас, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-88218-7.
- Стернберг, Схломо (1994), Гроуп Тхеорy анд Пхyсицс
, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-55885-3.
- Тунг, Wу-Ки (1985). Гроуп Тхеорy ин Пхyсицс (1ст изд.). Неw Јерсеy·Лондон·Сингапоре·Хонг Конг: Wорлд Сциентифиц. ИСБН 978-9971966577.
- Wеyл, Херманн (1928), Группентхеорие унд Qуантенмецханик (Тхе Тхеорy оф Гроупс анд Qуантум Мецханицс, транслатед Х.П. Робертсон, 1931 изд.), С. Хирзел, Леипзиг (репринтед 1950, Довер), ИСБН 978-0-486-60269-1.
- Wеyл, Херманн (1946), Тхе Цлассицал Гроупс: Тхеир Инвариантс анд Репресентатионс (2нд изд.), Принцетон Университy Пресс (репринтед 1997), ИСБН 978-0-691-05756-9.
- Wигнер, Еугене П. (1939), „Он унитарy репресентатионс оф тхе инхомогенеоус Лорентз гроуп”, Анналс оф Матхематицс, 40 (1): 149—204, ЈСТОР 1968551, дои:10.2307/1968551.
Спољашње везе[уреди | уреди извор]
- Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Репресентатион тхеорy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104.
- Алеxандер Кириллов Јр., Ан интродуцтион то Лие гроупс анд Лие алгебрас (2008). Теxтбоок, прелиминарy версион пдф доwнлоадабле фром аутхор'с хоме паге.