Pređi na sadržaj

Slučajna promenljiva

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Ovaj grafikon pokazuje kako je slučajna promenljiva funkcija svih mogućih ishoda do numeričkih veličina i kako se ona koristi za definisanje funkcije verovatnoće.

Slučajna promenljiva, takođe poznata kao randomna promenljiva, randomni kvantitet ili stokastička promenljiva je funkcija definisana na ansamblu mogućih ishoda slučajnog procesa.[1] Formalni matematički tretman randomne promenljive je tema teorije verovatnoće. U tom kontekstu, slučajna promenljiva se shvata kao merljiva funkcija definisana na prostoru elementarnih ishoda čiji ishodi su tipično realni brojevi.[2]

Postoje dva osnovna tipa slučajnih promenljivih: diskretne i neprekidne. Diskretne slučajne promenljive preslikavaju ishode iz prebrojivog skupa ishoda u skup verovatnoća (većih od ili jednakih 0). Neprekidne slučajne promenljive preslikavaju neprebrojivi skup ishoda u funkciju definisanu na nekom beskonačnom domenu (obično na skupu realnih brojeva). Najčešće je verovatnoća svakog pojedinačnog ishoda neprekidne slučajne promenljive 0, dok je verovatnoća da promenljiva uzme vrednost iz nekog intervala pozitivna. Moguća je i kombinacija ova dva tipa.

Slučajna promenljiva može imati vektorsku vrednost ili , i u tom slučaju govorimo o vektoru ishoda: ili . Ako slučajna promenljiva uzima vrednosti iz skupa funkcija definisanih u vremenskom domenu (na primer, šum radio-signala, sekvenca loto brojeva) govorimo o stohastičkom procesu.[3][4][5]

Igre na sreću su blisko povezane sa slučajnim ishodima (rezultat bacanja kocke, ishod bacanja novčića, okretanja ruleta...). Odnos između slučajnog ishoda i dobitka u igrama na sreću se zasniva na funkcijama teorije verovatnoće. Slučajnim promenljivima se pridružuje veličina (metrika).

Neka je prostor elementarnih ishoda i metrički prostor. Slučajna promenljiva je svaka metrička funkcija argumenta koja daje rezultat u prostoru .

Uslov „merljivosti“ obezbeđuje da slika svakog elementa skupa ima pridruženu verovatnoću i dozvoljava definisanje mere verovatnoće, koja se definiše izrazom:

Funkcija se naziva raspodelom verovatnoće slučajne promenljive .

Definicija

[uredi | uredi izvor]

Slučajna promenljiva je merljiva funkcija iz skupa mogućih ishoda do merljivog prostora . Tehnička aksiomatska definicija zahteva da bude prostor mogućih ishoda trostruke verovatnoće (pogledajte teoretsku definiciju mere). Obično ima realnu vrednost (tj. ).

Verovatnoća da poprima vrednost u merljivom skupu se zapisuje kao:

,

gde je mera verovatnoće unutar .

Standardni slučaj

[uredi | uredi izvor]

U mnogim slučajevima, . U nekom kontekstima, termin randomni element (pogledajte nastavke) se koristi za označavanje slučajne promenljive koja nije ovog oblika.

Kad je imidž (ili opseg) od konačan ili prebrojiv skup, slučajna promeljiva se naziva diskretnom slučajnom promeljivom[6]:399 a njena distribucija se može opisati pomoću funkcije verovatnoće koja pripisuje verovatnoću svakoj vrednosti u imidžu od . Ako je imidž neprebrojivo beskonačan onda se naziva kontinuiranom slučajnom promeljivom.[7][8] U specijalnom slučaju da je ona apsolutno kontinuirana, njena raspodela se opisuje funkcijom gustine verovatnoće, koja pripisuje verovatnoće intervalima; konkretno, svaka pojedinačna tačka mora nužno imati nultu verovatnoću za apsolutno neprekidnu slučajnu promenljivu. Nisu sve kontinuirane slučajne promenljive apsolutno kontinuirane,[9] na primer distribucija smeše. Takve slučajne promenljive se ne mogu opisati gustinom verovatnoće ili funkcijom verovatnoće.

Svaka slučajna promenljiva može se opisati njenom kumulativnom raspodelom verovatnoće,[10][11][12] koja opisuje verovatnoću da će slučajna promeljiva biti manja ili jednaka od određene vrednosti.

Reference

[uredi | uredi izvor]
  1. ^ Blitzstein & Hwang 2014
  2. ^ Steigerwald, Douglas G. „Economics 245A – Introduction to Measure Theory” (PDF). University of California, Santa Barbara. Pristupljeno 26. 4. 2013. 
  3. ^ Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. str. 46, 47. 
  4. ^ Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. str. 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8. 
  5. ^ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. str. 1. ISBN 978-0-486-69387-3. 
  6. ^ Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (2nd izd.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Arhivirano iz originala 9. 02. 2005. g. 
  7. ^ „Random Variables”. www.stat.yale.edu. Pristupljeno 2020-08-21. 
  8. ^ Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). „A Modern Introduction to Probability and Statistics”. Springer Texts in Statistics (na jeziku: engleski). ISBN 978-1-85233-896-1. ISSN 1431-875X. doi:10.1007/1-84628-168-7. 
  9. ^ Castañeda, L.; V. Arunachalam & Dharmaraja, S. (2012). Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications. Wiley. str. 67. 
  10. ^ Deisenroth, Marc Peter; Faisal, A. Aldo; Ong, Cheng Soon (2020). Mathematics for Machine Learning. Cambridge University Press. str. 181. ISBN 9781108455145. 
  11. ^ Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3. 
  12. ^ Montgomery, Douglas C.; Runger, George C. (2003). Applied Statistics and Probability for Engineers (PDF). John Wiley & Sons, Inc. str. 104. ISBN 0-471-20454-4. Arhivirano (PDF) iz originala 2012-07-30. g. 

Literatura

[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze

[uredi | uredi izvor]