Tejlorov polinom

Kako stepen Tejlorovog polinoma raste, on se sve više približava funkciji koju aproksimira. Slika pokazuje funkciju $\sin x$ i Tejlorove aproksimacije polinomom razvijenog do sledećih redova stepenima 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13.

Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih n+1 članova njenog Tejlorovog reda u 0 (crveno).

Tejlorovi redovi se koriste u analizi da se predstavi data funkcija u okolini neke tačke po izboru kao beskonačna suma članova koji se izračunavaju iz vrednosti izvoda funkcije u toj tačci. Ovi redovi su dobili ime po matematičaru Bruku Tejloru. Srodne tema je naravno Tejlorova formula, kojom se služimo da funkciju predstavimo kao beskonačan red.

Definicija

Tejlorov red za neku stalnu funkciju $f(x)$ sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku $a$ jeste definisan ovako:

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Tejlorovim ostatkom $R_{n}^{a}(x)$ polinoma nazivamo deo za koji se razlikuje funkcija i Tejlorov polinom, tj. grešku koja se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi, i on iznosi:

$R_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt$

Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku $a$ koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:

$f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$

Kada funkcija ima više argumenata, primenjujemo:

$T(x_{1},\cdots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}$

U slučaju da dobijemo višedimenzionalnu funkciju, koristimo se sledećom metodom:

$T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )^{T}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots$

gde je $\nabla f(\mathbf {a} )$ gradijent, a $\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )$ Hesova matrica.

Izvod nultog reda od f se definiše kao sama f i (x − a)⁰ i 0! su po definiciji jednaki 1. Kad je a = 0, serija se isto tako naziva Maklorenov red.

Konvergentnost

Tejlorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve $x$. U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak, $R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)$, konvergira prema 0.

Kada je $f(x)$ sama stepeni red oko tačke $a$, onda je Tejlorov red identičan sa njim.

Primeri

Maklorenov red za bilo koji polinom je ponovo polinom. Maklorenov red za (1 − x)⁻¹ je geometrijski red

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!$

tako da Tejlorov red za x⁻¹ u a = 1

$1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!$

Integracijom gornjeg Maklorenovogreda pronalazi se Maklorenov red za −log(1  − x), gde log označava prirodni logaritam:

$x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!$

a odgovarajući Tejlorov red za log(x) u a = 1 je

$(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!$

Tejlorov red za eksponencijalnu funkciju $e^{x}$ u $a=0$ je

$1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \qquad =\qquad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!$

Gornji izraz važi zato što je derivacija od e^x takođe e^x, a e⁰ jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)ⁿ u brojiocu, a n! ostaju u imeniocu za svaki član u beskonačnoj sumi.

Primer funkcije koja se ne da aproksimirati uz pomoć Tejlorovih redova

Tejlorov red ne konvergira uvek ka funkciji. U sledećem primeru Tejlorov red ne odgovara funkciji ni u jednoj tački:

$f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{kada }}x\leq 0\\\mathrm {e} ^{-1/x}&{\mbox{kada }}x>0\end{cases}}$

Za vrednosti $x\leq 0$ izvod gornje funkcije je 0. To znači da za svako izabrano $a\leq 0$ dobijamo Tejlorov polinom koji je uvek nula. Za slučaj $a>0$ dobijamo red koji konvergira samo u intervalu $[0,2a]$.

Tejlorov red sa radijusom konvergencije većim od nule

Mnoge funkcije možemo predstaviti kao stepene redove, koji su istovremeno i Tejlorov red te iste funkcije.

Eksponencijalna funkcija i logaritam

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

$\log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}},\ \ \ \ -1<x\leq +1$

U praksi ovaj red konvergira često presporo, te se zato koristi sledeća varijanta:

$\log \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}},\ \ \ \ -1<x<+1$

Kada izaberemo $x:={\frac {y-1}{y+1}}$ za neko $y>0$, ovaj red konvergira ka $\log(y)$.

Trigonometrijske funkcije

Za $a=0$ dobijamo sledeće redove:

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

$\tan(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$, pritom je $B_{2n}$ $2n$ po redu Bernulijev broj.

$\sec(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$, gde je $E_{2n}$ $2n$ po redu Ojlerov broj.

Spisak Tejlorovih redova nekih uobičajenih funkcija

Takođe pogledajte: Spisak matematičkih redova

Kosinusna funkcija u kompleksnoj ravni.

Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u kompleksnoj ravni.

Dve gornje krive postavljene zajedno.

Sledi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente $x\!$.

Eksponencijalna funkcija:

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!$

Prirodni logaritam:

$\ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ za }}|x|\leq 1,\,x\not =1$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ za }}|x|\leq 1,\,x\not =-1$

Konačan geometrijski red:

${\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ za }}x\not =1{\text{ i }}m\in \mathbb {N} _{0}\!$

Beskonačan geometrijski red:

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ za }}|x|<1\!$

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

${\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ za }}|x|<1{\text{ i }}m\in \mathbb {N} _{0}\!$

${\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ za }}|x|<1\!$

Kvadratni koren:

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}{\text{ za }}|x|<1\!$

Binomni red (uključujući kvadratni koren za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ za sve }}|x|<1{\text{ i sve kompleksne }}\alpha \!$

sa opštim binomnim koeficijentima

${\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.\!$

Trigonometrijske funkcije:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad =x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ za sve }}x\!$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad =1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ za sve }}x\!$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Gde je B Bernulijev broj.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|<1\!$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|\leq 1\!$

Hiperbolička funkcija:

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {2}{15}}z^{5}-{\frac {17}{315}}z^{7}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|<1\!$

$\mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ za }}|x|<1\!$

Lambertova W funkcija:

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}{\text{ za }}|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}\!$

Brojevi B_k, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernulijev broj. E_k u razvijanju sec(x) je Ojlerov broj.

Vidi još

• Tejlorova formula
• Maklorenova formula
• Loranov red
• Dokaz da su holomorfske funkcije analitičke
• Njutnov polinom
• Diferencijalna mašina
• Lagranžova teorema

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing 
• Thomas, George B., Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th izd.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-53174-9 
• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd izd.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-321431-4 
• Lewis, David W. (1991). Matrix Theory. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0689-5. 
• de Bondt, Michiel; Essen, Arno van den (1. 01. 2005). „Hesse and the Jacobian conjecture”. Affine Algebraic Geometry: Special Session on Affine Algebraic Geometry at the First Joint AMS-RSME Meeting, Seville, Spain, June 18-21, 2003. Contemporary Mathematics. 369. str. 63—76. ISBN 978-0-8218-3476-3. ISSN 1098-3627. doi:10.1090/conm/369/06804. 
• de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2004). „Singular Hessians”. Journal of Algebra. 282 (1): 195—204. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.08.026. 
• Apostol, Tom (1967), Calculus, Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Apostol, Tom (1974), Mathematical analysis, Addison–Wesley 
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011), Introduction to Real Analysis (4th izd.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6 
• Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6 
• Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 2, Oxford University Press 
• Kline, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach, Dover, ISBN 978-0-486-40453-0 
• Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis, Springer, ISBN 978-0-387-94108-0 
• Stromberg, Karl (1981), Introduction to classical real analysis, Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2 
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd izd.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1 
• Tao, Terence (2014), Analysis, Volume I (3rd izd.), Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-64-9 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Taylor series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Taylor Series”. MathWorld. 
• Taylor polynomial - practical introduction
• Madhava of Sangamagramma
• Discussion of the Parker-Sochacki Method Архивирано на сајту Wayback Machine (2. децембар 2005)
• Another Taylor visualisation — where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate
• Cinderella 2: Taylor expansion
• Taylor series
• Inverse trigonometric functions Taylor series
• „Essence of Calculus: Taylor series” — preko YouTube.