Toplotna provodljivost

Toplotna provodljivost je u fizici skalarna veličina, k, koja opisuje sposobnost supstancije da provodi toplotu. Što je toplotna provodljivost veća, to se veća količina toplote može preneti kroz isti poprečni presek u istom vremenu.

Definicija

Toplotna provodljivost je količina toplote, Q, koja se za vreme t sprovede kroz supstancu na rastojanju L, u pravcu normalnom na poprečni presek površine S, usled temperaturne razlike ΔT, u stacionarnim uslovima i kada je prenos toplote uzrokovan isključivo temperaturnom razlikom.

toplotna provodljivost = količina provedene toplote × rastojanje / (površina × temperaturna razlika)

$k={\frac {Q}{t}}\times {\frac {L}{S\times \Delta T}}$

Toplotna provodljivost materijala zavisi od njegovog hemijskog sastava, građe, agregatnog stanja kao i temperature. Količina toplote koja se prenese u jedinici vremena je zavisna od toplotne provodljivosti i u diferencijalnom obliku se može predstaviti

${\frac {dQ}{dt}}=kS{\frac {dT}{dx}}$

gde je:

• dT/dx je gradijant temperature
• S površina kroz koju prolazi toplota
• k je konstanta toplotne provodljivosti.

Jedinica za toplotnu provodljivost u SI sistemu je - W/(m K) = W m⁻¹ K⁻¹ (vat kroz metar-kelvin).

Jednostavna definicija

Neka je čvrsti materijal postavljen između dve sredine različitih temperatura. Neka je $T_{1}$ temperatura pri $x=0$ i $T_{2}$ temperatura pri $x=L$, i pretpostavimo da je $T_{2}>T_{1}$. Moguća realizacija ovog scenarija je zgrada u hladnom zimskom danu: čvrsti materijal u ovom slučaju bi bio zid zgrade, koji odvaja hladno spoljašnje okruženje od toplog unutrašnjeg okruženja.

Prema drugom zakonu termodinamike, toplota će teći iz tople sredine u hladnu jer se temperaturna razlika izjednačava difuzijom. Ovo se kvantifikuje u smislu toplotnog toka $q$, koji daje brzinu, po jedinici površine, kojom toplota teče u datom pravcu (u ovom slučaju minus x-smer). U mnogim materijalima, primećeno je da je $q$ direktno proporcionalno temperaturnoj razlici i obrnuto proporcionalno rastojanju odvajanja $L$:

$q=-k\cdot {\frac {T_{2}-T_{1}}{L}}.$

Konstanta proporcionalnosti $k$ je toplotna provodljivost; to je fizičko svojstvo materijala. U sadašnjem scenariju, pošto je $T_{2}>T_{1}$ toplota teče u minus x-smeru i $q$ je negativno, što zauzvrat znači da je $k>0$. Generalno, $k$ je uvek definisano kao pozitivno. Ista definicija $k$ takođe se može proširiti na gasove i tečnosti, pod uslovom da su drugi načini transporta energije, kao što su konvekcija i zračenje, eliminisani ili uzeti u obzir.

Prethodno izvođenje pretpostavlja da se $k$ ne menja značajno kako temperatura varira od $T_{1}$ do $T_{2}$. Slučajevi u kojima temperaturna varijacija $k$ nije zanemarljiva moraju se razmotriti korišćenjem opštije definicije $k$ o kojoj se govori u nastavku.

Opšta definicija

Toplotna provodljivost se definiše kao transport energije usled nasumičnog kretanja molekula preko temperaturnog gradijenta. Razlikuje se od transporta energije konvekcijom i molekularnim radom po tome što ne uključuje makroskopske tokove ili unutrašnje napone koji obavljaju rad.

Protok energije usled toplotne provodljivosti klasifikovan je kao toplota i kvantifikovan je vektorom $\mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)$, koji daje toplotni tok na poziciji $\mathbf {r}$ i vremenu $t$. Prema drugom zakonu termodinamike, toplota teče od visoke do niske temperature. Stoga je razumno pretpostaviti da je $\mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)$ proporcionalno gradijentu temperaturnog polja $T(\mathbf {r} ,t)$, i.e.

$\mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-k\nabla T(\mathbf {r} ,t),$

gde je konstanta proporcionalnosti, $k>0$, toplotna provodljivost. Ovo se zove Furijeov zakon provodljivosti toplote. Uprkos svom imenu, to nije zakon već definicija toplotne provodljivosti u smislu nezavisnih fizičkih veličina $\mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)$ i $T(\mathbf {r} ,t)$. Kao takav, njegova korisnost zavisi od sposobnosti da se odredi $k$ za dati materijal pod datim uslovima. Sama konstanta $k$ obično zavisi od $T(\mathbf {r} ,t)$ i time implicitno od prostora i vremena. Eksplicitna zavisnost od prostora i vremena takođe može da se javi ako je materijal nehomogen ili se menja tokom vremena.

U nekim čvrstim telima, toplotna provodljivost je anizotropna, tj. toplotni tok nije uvek paralelan sa temperaturnim gradijentom. Da bi se objasnilo takvo ponašanje, mora se koristiti tenzorski oblik Furijeovog zakona:

$\mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-{\boldsymbol {\kappa }}\cdot \nabla T(\mathbf {r} ,t)$

gde je ${\boldsymbol {\kappa }}$ simetričan tenzor drugog ranga koji se naziva tenzor toplotne provodljivosti.

Implicitna pretpostavka u gornjem opisu je prisustvo lokalne termodinamičke ravnoteže, koja omogućava definisanje temperaturnog polja $T(\mathbf {r} ,t)$. Ova pretpostavka bi mogla biti narušena u sistemima koji nisu u stanju da postignu lokalnu ravnotežu, što se može dogoditi u prisustvu jakih neravnotežnih trendova ili dugotrajnih interakcija.

Ostale količine

U inženjerskoj praksi, uobičajeno je raditi u smislu veličina koje su derivati toplotne provodljivosti i implicitno uzimaju u obzir karakteristike specifične za dizajn kao što su dimenzije komponenti.

Na primer, toplotna provodljivost se definiše kao količina toplote koja prolazi u jedinici vremena kroz ploču određene površine i debljine kada se njene suprotne strane razlikuje u temperaturi za jedan kelvin. Za ploču toplotne provodljivosti $k$, površine $A$ i debljine $L$, provodljivost je $kA/L$, merena u W⋅K⁻¹. Odnos između toplotne provodljivosti i provodnosti je analogan odnosu između električne provodljivosti i električne provodnosti.

Toplotni otpor je inverzan toplotnoj provodljivosti. To je pogodna mera za korišćenje u višekomponentnom dizajnu pošto su toplotni otpori aditivni kada se javljaju u seriji.

Takođe postoji mera poznata kao koeficijent prenosa toplote: količina toplote koja prođe u jedinici vremena kroz jedinicu površine ploče određene debljine kada se njene suprotne strane razlikuju u temperaturi za jedan kelvin. U ASTM C168-15, ova veličina nezavisna od površine se naziva „toplotna provodljivost“. Recipročna vrednost koeficijenta prenosa toplote je toplotna izolacija. Ukratko, za ploču toplotne provodljivosti $k$, površine $A$ i debljine $L$, važi da je

• toplotna provodljivost = $kA/L$, mereno u W⋅K⁻¹.
  • toplotni otpor = $L/(kA)$, mereno u K⋅W⁻¹.
• koeficijent prenosa toplote = $k/L$, mereno u W⋅K⁻¹⋅m⁻².
  • toplotna izolacija = $L/k$, mereno u K⋅m²⋅W⁻¹.

Koeficijent prenosa toplote je takođe poznat kao toplotna propustljivost u smislu da se materijal može posmatrati kao da propušta toplotu da protiče.

Dodatni izraz, toplotna propusnost, kvantifikuje toplotnu provodljivost strukture zajedno sa prenosom toplote usled konvekcije i zračenja. To se meri u istim jedinicama kao toplotna provodljivost i ponekad je poznata kao kompozitna toplotna provodljivost. Takođe se koristi i termin U-vrednost.

Konačno, toplotna difuzivnost $\alpha$ kombinuje toplotnu provodljivost sa gustinom i specifičnom toplotom:

$\alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}$.

Kao takav, ona kvantifikuje toplotnu inerciju materijala, odnosno relativnu poteškoću u zagrevanju materijala na datu temperaturu korišćenjem izvora toplote primenjenih na granici.

Videman-Francov zakon

Na osnovu Videman-Francovog zakona (engl. Wiedemann-Franz law), dobri električni provodnici su i dobri toplotni provodnici. Za metale specifična električna provodljivost je uporediva sa toplotnom provodljivošću:

$\sigma \sim k$

zbog toga što su slobodni elektroni koji se nalaze u velikom broju u nekim metalima zaslužni kako za električni, tako i za toplotni transport.

Povezanost sa toplotnim kapacitetom

Na osnovu kinetičke teorije gasova, toplotna provodljivost je povezana sa toplotnim kapacitetom preko zakonitosti:

$k={\frac {1}{3}}C_{v}\lambda v$,

gde je $C_{v}$volumetrijski toplotni kapacitet (toplotni kapacitet po jedinici zapremine), $\lambda$ je srednji slobodni put nosioca toplote, a $v$je njihova brzina.

Elektronski transport

U slučajevima kada su elektroni nosioci toplotne energije, toplotni kapacitet je linearan sa temperaturom, a srednji slobodni put je približno konstantan, tako da se dobija da toplotna provodljivost linearno raste sa temperaturom:

$k\sim T$

Fononski transport

Kada su nosioci toplotne energije fononi, toplotni kapacitet raste kubno sa temperaturom, a srednji slobodni put je približno konstantan, tako da toplotna provodljivost raste sa temperaturom po kubnom zakonu:

$k\sim T^{3}$

Spisak toplotnih provodljivosti

Približna vrednost toplotne provodljivosti nekih materijala je dat u sledećoj tabeli:

materijal	Toplotna provodljivost W·m−1·K−1
Dijamant	1000-2600
Srebro	406
Bakar	385
Zlato	320
Aluminijum	205
Mesing	109
Platina	70
Čelik	50.2
Olovo	34.7
Živa	8.3
Kvarc	8
Led	1.6
Staklo	0.8
Voda	0.6
Drvo	0.04-0.12
Vuna	0.05
Stiropor	0.038
Vazduh (300 K, 100 kPa)	0.026
Vakuum (svemir)	0

Vidi još

• Električna provodljivost

Literatura

• Callister, William (2003). „Appendix B”. Materials Science and Engineering - An Introduction. John Wiley & Sons, INC. str. 757. ISBN 978-0-471-22471-6. 
• Halliday, David; Resnick, Robert; & Walker, Jearl. Fundamentals of Physics . John Wiley and Sons, INC., NY. (5th изд.). 1997. ISBN 978-0-471-10558-9.  .
• Srivastava G. P (1990), "The Physics of Phonons." Adam Hilger, IOP Publishing Ltd, Bristol.
• TM 5-852-6 AFR 88-19, Volume 6 (Army Corp of Engineers publication)
• Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007), Transport Phenomena (2nd izd.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-11539-8 . A standard, modern reference.
• Incropera, Frank P.; DeWitt, David P. (1996), Fundamentals of heat and mass transfer (4th izd.), Wiley, ISBN 0-471-30460-3 
• Bejan, Adrian (1993), Heat Transfer, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50290-1 
• Holman, J.P. (1997), Heat Transfer (8th izd.), McGraw Hill, ISBN 0-07-844785-2 
• Callister, William D. (2003), „Appendix B”, Materials Science and Engineering - An Introduction, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-22471-6 
• Halliday, David; Resnick, Robert; & Walker, Jearl. Fundamentals of Physics . John Wiley and Sons, New York. (5th izd.). 1997. ISBN 978-0-471-10558-9.  . An elementary treatment.
• Schroeder, Daniel V. (1999), An Introduction to Thermal Physics, Addison Wesley, ISBN 978-0-201-38027-9 . A brief, intermediate-level treatment.
• Reif, F. (1965), Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill . An advanced treatment.
• Balescu, Radu (1975), Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-04600-4 
• Chapman, Sydney; Cowling, T.G. (1970), The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases (3rd izd.), Cambridge University Press . A very advanced but classic text on the theory of transport processes in gases.
• Reid, C. R., Prausnitz, J. M., Poling B. E., Properties of gases and liquids, IV edition, Mc Graw-Hill, 1987
• Srivastava G. P (1990), The Physics of Phonons. Adam Hilger, IOP Publishing Ltd, Bristol

Spoljašnje veze

• Топлотна проводљивост за различите материале.
• Thermopedia THERMAL CONDUCTIVITY
• Contribution of Interionic Forces to the Thermal Conductivity of Dilute Electrolyte Solutions The Journal of Chemical Physics 41, 3924 (1964)
• The importance of Soil Thermal Conductivity for power companies
• Thermal Conductivity of Gas Mixtures in Chemical Equilibrium. II The Journal of Chemical Physics 32, 1005 (1960)