Алгебарска топологија

Торус, један од најчешће проучаваних објеката у алгебарској топологији

Алгебарска топологија је грана математике која се користи алатима апстрактне алгебре у проучавању тополошких простора. Основни циљ је проналажење алгебарских инваријанти које класификују тополошке просторе до на хомеоморфизам. У многим ситуацијама је ово исувише амбициозно, па је разумније поставити скромнији циљ, класификација до на хомотопску еквиваленцију.

Мада алгебарска топологија обично користи алгебру за проучавање тополошких проблема, обратан случај, коришћење топологије за решавање алгебарских проблема, је такође понекад могућ. Алгебарска топологија на пример, омогућава згодан доказ да је свака подгрупа слободне групе такође слободна група.

Главне гране алгебарске топологије

Испод су неке од главних области које се проучавају у алгебарској топологији:

Хомотопске групе

Главни чланак: Хомотопске групе

У математици се хомотопијске групе користе у алгебарској топологији за класификацију тополошких простора. Прва и најједноставнија хомотопска група је основна група, која бележи информације о петљама у простору. Интуитивно, хомотопске групе бележе информације о основном облику, или рупама, тополошког простора.

Хомологија

Главни чланак: Хомологија

У алгебарској топологији и апстрактној алгебри, хомологија (делимично од грчког ὁμός homos „идентичан“) је одређена општа процедура за повезивање низа абелових група или модула са датим математичким објектом као што је тополошки простор или група.

Кохомологија

Главни чланак: Кохомологија

У теорији хомологије и алгебарској топологији, кохомологија је општи термин за низ абелових група дефинисаних из коланчаног комплекса. То јест, кохомологија је дефинисана као апстрактно проучавање коланаца, коциклуса и кограница. Кохомологија се може посматрати као метод додељивања алгебарских инваријанти тополошком простору који има префињенију алгебарску структуру од хомологије. Кохомологија произилази из алгебарске дуализације конструкције хомологије. У мање апстрактном језику, коланци у фундаменталном смислу треба да приписују 'количине' ланцима теорије хомологије.

Многострукост

Главни чланак: Многострукост

Многострукост је тополошки простор који у близини сваке тачке подсећа на Еуклидов простор. Примери укључују раван, сферу и торус, који се сви могу реализовати у три димензије, али и Клајнова боца и реална пројективна раван која се не може уградити у три димензије, али се може уградити у четири димензије. Типично, резултати у алгебарској топологији се фокусирају на глобалне, недиференцирајуће аспекте многострукости; на пример Поенкареов дуалитет.

Теорија чворова

Главни чланак: Теорија чворова

Теорија чворова је проучавање математичких чворова. Док је инспирисан чворовима који се појављују у свакодневном животу у пертлама и конопцу, математички чвор се разликује по томе што су крајеви спојени тако да се не може расплести. Прецизним математичким језиком, чвор је уграђивање круга у 3-димензионални еуклидски простор, $\mathbb {R} ^{3}$. Два математичка чвора су еквивалентна ако се један може трансформисати у други путем деформације $\mathbb {R} ^{3}$ на себи (познато као амбијентална изотопија); ове трансформације одговарају манипулацијама везаним низом које не укључују пресецање нити или провлачење низа кроз себе.

Комплекси

Главни чланци: Симплицијални комплекс и CW комплекс

Симплицијални 3-комплекс.

Симплицијални комплекс је тополошки простор одређене врсте, конструисан „лепљењем“ тачака, сегмената правих, троуглова и њихових n-димензионалних парњака (види илустрацију). Симплициалне комплексе не треба мешати са апстрактнијим појмом симплицијалног скупа који се појављује у савременој теорији симплицијске хомотопије. Чисто комбинаторни пандан симплицијалном комплексу је апстрактни симплицијски комплекс.

CW комплекс је тип тополошког простора који је увео Џ. Х. К. Вајтхед да би задовољио потребе теорије хомотопије. Ова класа простора је шира и има нека боља категоричка својства од симплицијских комплекса, али и даље задржава комбинаторну природу која омогућава рачунање (често са много мањим комплексом).

Метода алгебарских инваријанти

Старији назив за предмет био је комбинаторна топологија, што је подразумевало нагласак на томе како је простор X конструисан од једноставнијих (савремени стандардни алат за такву конструкцију је CW комплекс). Током 1920-их и 1930-их, све је већи нагласак на истраживању тополошких простора проналажењем кореспонденције између њих са алгебарским групама, што је довело до промене имена у алгебарску топологију. Назив комбинаторне топологије се још увек понекад користи да би се нагласио алгоритамски приступ заснован на декомпозицији простора.

У алгебарском приступу проналази се кореспонденција између простора и група која поштује однос хомеоморфизма (или општије хомотопије) простора. Ово омогућава да се изјаве о тополошким просторима преобликују у исказе о групама, које имају велику структуру којом се може управљати, што често чини ове изјаве лакшима за доказивање. Два главна начина на која се то може урадити су кроз фундаменталне групе, или уопштеније хомотопијске теорије, и кроз хомолошке и кохомолошке групе. Фундаменталне групе дају основне информације о структури тополошког простора, али су често неабеловске и може бити тешко радити са њима. Основна група (коначног) симплицијског комплекса има коначну презентацију.

Хомолошке и кохомолошке групе, с друге стране, су абелове и у многим важним случајевима коначно генерисане. Коначно генерисане абелове групе су потпуно класификоване и са њима је посебно лако радити.

Литература

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-002655-1. .
• Allegretti, Dylan G. L. (2008), Simplicial Sets and van Kampen's Theorem  (Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).
• Bredon, Glen E. (1993), Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 139, Springer, ISBN 0-387-97926-3 .
• Brown, R. (2007), Higher dimensional group theory, Архивирано из оригинала 14. 05. 2016. г., Приступљено 17. 07. 2022 CS1 одржавање: Неподобан URL (веза) (Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids).
• Brown, R.; Razak, A. (1984), „A van Kampen theorem for unions of non-connected spaces”, Arch. Math., 42: 85—88, S2CID 122228464, doi:10.1007/BF01198133 . "Gives a general theorem on the fundamental groupoid with a set of base points of a space which is the union of open sets."
• Brown, R.; Hardie, K.; Kamps, H.; Porter, T. (2002), „The homotopy double groupoid of a Hausdorff space”, Theory Appl. Categories, 10 (2): 71—93 .
• Brown, R.; Higgins, P.J. (1978), „On the connection between the second relative homotopy groups of some related spaces”, Proc. London Math. Soc., S3-36 (2): 193—212, doi:10.1112/plms/s3-36.2.193 . "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem."
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011), Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, 15, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-083-8, arXiv:math/0407275 , Архивирано из оригинала 2009-06-04. г.  This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in singular homology, or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on crossed modules.
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Greenberg, Marvin J.; Harper, John R. (1981), Algebraic Topology: A First Course, Revised edition, Mathematics Lecture Note Series, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576 . A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 . A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
• Higgins, Philip J. (1971), Notes on categories and groupoids, Van Nostrand Reinhold, ISBN 9780442034061 
• Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4 .
• tom Dieck, Tammo (2008), Algebraic Topology, EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-048-7 
• van Kampen, Egbert (1933), „On the connection between the fundamental groups of some related spaces”, American Journal of Mathematics, 55 (1): 261—7, JSTOR 51000091 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Algebraic topology”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• May, J. Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). University of Chicago Press. Приступљено 2008-09-27.  Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids.
• Ronald Brown, `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', Homology, Homotopy and Applications, 1 (1999) 1–78.
• Čech, Eduard (1932), „Höherdimensionale Homotopiegruppen”, Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich .
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Homotopy group”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Mathematische Annalen, 104 (1): 637—665, doi:10.1007/BF01457962 .
• Kamps, Klaus H.; Porter, Timothy (1997). Abstract homotopy and simple homotopy theory. River Edge, NJ: World Scientific Publishing. ISBN 981-02-1602-5. MR 1464944. doi:10.1142/9789812831989. 
• Toda, Hiroshi (1962). Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. MR 0143217. 
• Whitehead, George William (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. 61 (3rd изд.). New York-Berlin: Springer-Verlag. стр. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508. 
• van den Berg, J.B.; Ghrist, R.; Vandervorst, R.C.; Wójcik, W. (2015). „Braid Floer homology” (PDF). Journal of Differential Equations. 259 (5): 1663—1721. Bibcode:2015JDE...259.1663V. S2CID 16865053. doi:10.1016/j.jde.2015.03.022 . 
• Pellikka, M; S. Suuriniemi; L. Kettunen; C. Geuzaine (2013). „Homology and Cohomology Computation in Finite Element Modeling” (PDF). SIAM J. Sci. Comput. 35 (5): B1195—B1214. CiteSeerX 10.1.1.716.3210 . doi:10.1137/130906556. 
• Arnold, Douglas N.; Richard S. Falk; Ragnar Winther (16. 5. 2006). „Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications”. Acta Numerica. 15: 1—155. Bibcode:2006AcNum..15....1A. S2CID 122763537. doi:10.1017/S0962492906210018. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Cartan, Henri Paul; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. Princeton mathematical series. 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779. OCLC 529171. 
• Eilenberg, Samuel; Moore, J.C. (1965). Foundations of relative homological algebra. Memoirs of the American Mathematical Society number. 55. American Mathematical Society. ISBN 9780821812556. OCLC 1361982. 
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ур. (2010), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 9781400830398 .
• Hatcher, A. (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 . Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
• Hilton, Peter (1988), „A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century”, Mathematics Magazine, Mathematical Association of America, 60 (5): 282—291, JSTOR 2689545, doi:10.1080/0025570X.1988.11977391 
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University .
• Spanier, Edwin H. (1966), Algebraic Topology, Springer, стр. 155, ISBN 0-387-90646-0 .
• Stillwell, John (1993), Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Springer, ISBN 978-0-387-97970-0, doi:10.1007/978-1-4612-4372-4_6 .
• Teicher, M., ур. (1999), The Heritage of Emmy Noether, Israel Mathematical Conference Proceedings, Bar-Ilan University/American Mathematical Society/Oxford University Press, ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC 223099225 
• Weibel, Charles A. (1999), „28. History of Homological Algebra” (PDF), Ур.: James, I. M., History of Topology, Elsevier, ISBN 9780080534077 .
• Dieudonné, Jean (1989), History of Algebraic and Differential Topology, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3388-X, MR 0995842 
• Dold, Albrecht (1972), Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58660-9, MR 0415602 
• Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (1952), Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, ISBN 9780691627236, MR 0050886 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90244-9, MR 0463157 
• Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Cohomology”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
• May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology (PDF), University of Chicago Press, ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278 
• Switzer, Robert (1975), Algebraic Topology — Homology and Homotopy, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42750-3, MR 0385836 
• Thom, René (1954), „Quelques propriétés globales des variétés différentiables”, Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17—86, MR 0061823, doi:10.1007/BF02566923 

Спољашње везе

• [1] N.J. Windberger intro to algebraic topology, last six lectures with an easy intro to homology
• [2] Algebraic topology Allen Hatcher - Chapter 2 on homology
• Homology group at Encyclopaedia of Mathematics