Гама-функција

Гама-функција на интервалу реалне осе.

У математици, гама-функција је функција дефинисана несвојственим интегралом:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,dt.$

Из парцијалне интеграције и израчунавања интеграла за $z=1$, добија се израз

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n!$

који проширује појам факторијелa на комплексне бројеве.

Дефиниција

Гама-функција $\Gamma (z)\,$ дефинисана је несвојственим интегралом за комплексне бројеве $z\,$ за које је $\Re (z)>0$ на следећи начин:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,dt.$

Другим речима, гама-функција је Мелинова трансформација функције $e^{-t}\,$. Парцијалним интеграљењем се показује следеће њено основно својство:

$\,\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).$

Како је $\Gamma (1)=1\,$, комбиновањем ове и претходне релације добија се:

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)\Gamma (n-1)=\cdots =n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\cdot \Gamma (1)=n!,$

за све природне бројеве n.

Са друге стране, формулисана у облику

$\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z\,$,

она даје аналитичко продужење почетно дефинисаној $\Gamma \,$-функцији до полуравни $\Re (z)>-1$, са полом у $z=0\,$, затим до полуравни $\Re (z)>-2$, са још једним полом у $z=-1\,$, итд. Тако се $\Gamma \,$-функција продужује до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве $z\,$ осим полова у непозитивним целим бројевима $z=0,-1,-2,\ldots \$ Под $\Gamma \,$-функцијом се, по правилу, подразумева овако дефинисано продужење.

Основна својства

Гама-функција није елементарна функција, али су њена својства веома добро истражена због њене повезаности са факторијелом и примене у теорији бројева. Међу најважнијима особинама Гама-функције су функционална једначина

$\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}$

и Лежандрова дупликациона формула

$\Gamma (2z)={\frac {2^{2z-1}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right).$

Гама-функција нема нула. У тачкама $z=-n\,$, где је $n\,$ ненегативан цео број, гама-функција има пол реда 1 са остатком $(-1)^{n}/n!\,$; њено понашање у околини полова одређено је функционалном једначином.

За велике $|z|\,$, вредности $\Gamma (z)\,$ даје са великом прецизношћу Стирлингова апроксимациона формула:

$\Gamma (z)=z^{z-1/2}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}+\mathrm {O} \left({\frac {1}{z^{3}}}\right)\right)$

За све z где је гама-функција дефинисана, важи и следећи бесконачан производ

Модул гама-функције комплексног аргумента

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},$

где је γ Ојлерова константа, који се добија као Вајерштрасов производ функције $1/\Gamma (z)\,$, која је цела јер гама-функција нема нула, и реда 1 према Стрилинговој формули. Некад се заправо за дефиницију гама-функције узима овај производ, или неки од еквивалентних облика

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{k}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{z(z+1)\cdots (z+n)}}.$

Ваљда најпознатија вредност гама-функције за нецелобројне вредности аргумента је $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$, што се може видети нпр. коришћењем дупликационе формуле. Овај резултат даје и вредност такозваног интеграла вероватноће

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},$

који је од изузетне важности у вероватноћи и статистици. Тако једноставне формуле нису познате већ нпр. за $\Gamma (1/n)\,$ ($n>2\,$). За $\Gamma (1/3)\,$ и $\Gamma (1/4)\,$ је познато да су трансцендентни, као и $\Gamma (1/2)\,$. Такође, $\Gamma '(1)=-\gamma \,$.

Веома ретко користе се и алтернативне ознаке $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,$ и $\pi (z)=1/\Pi (z)\,$. Тако је $\Pi (n)=n!\,$, док је функција π цела.

Према Бор-Молеруповој теореми, гама-функција је једина логаритамски конвексна функција која проширује факторијел на све позитивне бројеве.

Дупликациона формула је специјални случај следеће Гаусове теореме о производу:

$\Gamma (nz)={\frac {n^{nz-{\frac {1}{2}}}}{(2\pi )^{\frac {n-1}{2}}}}\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right).$

Гама-функција је од изузетног значаја у математичкој анализи, вероватноћи и статистици, теорији бројева, комбинаторици и другим областима математике, те у физици, техници и другим областима.

Историјат

Гама-функцију први је посматрао и изучавао Леонард Ојлер, који је доказао и функционалну једначину. Неки је називају и Ојлеровим интегралом друге врсте. Ознаку $\Gamma (z)\,$ је увео Адријан-Мари Лежандр, коме дугујемо дупликациону формулу.

Индијски математичар Рамануџан доказао је низ фасцинантних идентитета са гама-функцијом.

Уопштења и везе са другим функцијама

У интегралу којим се дефинише $\Gamma \,$-функција, границе интеграције су фиксиране. Често је пожељно посматрати такав интеграл у којем је доња или горња граница променљива (често у зависности од z), тако се добија непотпуна гама-функција. Логаритамски извод понекад се назива и дигама-функцијом. У статистици и другде је од значаја вишедимензиона гама-функција.

Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише гама-функција представља конволуцију мултипликативног карактера поља реалних бројева ${\mathbb {R} }$ са једним фиксираним адитивним карактером тог поља. На тај начин своју гама-функцију има, на пример, свако алгебарско бројно поље, нормирано локално поље, итд. У теорији бројева, такве гама-функције део су функционалних једначина Л-функција. Види још Риманова зета-функција.

Апроксимације

Упоређивање гама функције (плава линија) са факторијелом (плаве тачке) и Стирлинговом апроксимацијом (црвена линија)

Комплексне вредности гама функције могу се израчунати нумерички са произвољном прецизношћу користећи Стирлингову апроксимацију или Ланцошову апроксимацију.

Гама функција се може израчунати са фиксном прецизношћу за $\operatorname {Re} (z)\in [1,2]$ применом парцијалне интеграције у Ојлеровом интегралу. За било који позитивни број x може се написати гама функција

${\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}$

Кад је Re(z) ∈ [1,2] и $x\geq 1$, апсолутна вредност задњег интеграла је мања од $(x+1)e^{-x}$. Одабиром довољно великог $x$, овај последњи израз може се учинити мањим од $2^{-N}$ за било коју жељену вредност $N$. Тако се гама функција може проценити на $N$ бита прецизности са горенаведеном серијом.

Е.А. Каратсуба је конструисао брз алгоритам за израчунавање Ојлерове гама функције за било који алгебарски аргумент (укључујући и рационални).

За аргументе који су целобројни умношци од 1/24, гама функција се такође може брзо проценити коришћењем аритметичко-геометријских средњих вредности итерација (погледајте посебне вредности гама функције и Borwein & Zucker (1992)).

Апликације

Један аутор описује гама функцију као „Аргументирано, најчешћу специјалну функцију, или најмање 'посебну' од њих. Друге трансценденталне функције […] називају се 'посебне', јер бисте неке од њих могли избећи држањем подаље од многих специјализованих математичких тема. Са друге стране, гама функцију y = Γ(x) је најтеже избећи.”

Види још

• бета-функција
• хипергеометријска функција.

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ур. (1972). „Chapter 6”. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 
• Andrews, G. E.; Askey, R.; Roy, R. (1999). „Chapter 1 (Gamma and Beta functions)”. Special Functions. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2. 
• Artin, Emil (2006). „The Gamma Function”. Ур.: Rosen, Michael. Exposition by Emil Artin: a selection. History of Mathematics. 30. Providence, RI: American Mathematical Society. 
• Askey, R.; Roy, R. (2010), „Гама-функција”, Ур.: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• Birkhoff, George D. (1913). „Note on the gamma function”. Bull. Amer. Math. Soc. 20 (1): 1—10. MR 1559418. doi:10.1090/s0002-9904-1913-02429-7. 
• Böhmer, P. E. (1939). Differenzengleichungen und bestimmte Integrale [Differential Equations and Definite Integrals]. Leipzig: Köhler Verlag. 
• Davis, Philip J. (1959). „Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function”. American Mathematical Monthly. 66: 849—869. doi:10.2307/2309786. 
• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007). „Section 6.1. Gamma Function”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивирано из оригинала 27. 10. 2021. г. Приступљено 16. 12. 2018. 
• Rocktäschel, O. R. (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [Methods for Calculating the Gamma Function for Complex Arguments]. Dresden: Technical University of Dresden. 
• Temme, Nico M. (1996). Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-11313-3. 
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2. 
• Amdeberhan, T.; Coffey, Mark W.; Espinosa, Olivier; Koutschan, Christoph; Manna, Dante V.; Moll, Victor H. (2011). „Integrals of powers of loggamma”. Proc. Amer. Math. Soc. 139 (2): 535—545. doi:10.1090/S0002-9939-2010-10589-0 . 
• Borwein, J.; Bailey, D. H.; Girgensohn, R. (2003). Experimentation in Mathematics. A. K. Peters. стр. 133. ISBN 978-1-56881-136-9. 
• Davis, P. J. (1959). „Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function”. American Mathematical Monthly. 66 (10): 849—869. JSTOR 2309786. doi:10.2307/2309786. Архивирано из оригинала 07. 11. 2012. г. Приступљено 3. 12. 2016. 
• Remmert, R. (2006). Classical Topics in Complex Function Theory. Превод: Kay, L. D. Springer. ISBN 978-0-387-98221-2. 
• Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1 (Fundamental Algorithms). Addison-Wesley. 

Спољашње везе

• NIST Digital Library of Mathematical Functions:Gamma function
• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
• C++ reference for std::tgamma
• Examples of problems involving the gamma function can be found at Exampleproblems.com.
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Gamma function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
• „Gamma”. Wolfram Functions Site. 
• Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages