Нацрт:Платонова тела (правилни полиедри)

Платонова тела су правилни, конвексни полиедри у тродимензионом простору. Полиедар је геометријско тело омеђено са четири или више многоуглова који се називају стране, или пљосни полиедра. Пљосни су равни које у овом случају имају форму полигонских површи, а ивице и темена тих пљосни чине ивице и темена полиедра.

Тетраедар, хексаедар (коцка), октаедар, икосаедар и додекаедар чине групу пет правилних, конвексних полиедара. Ова тела се називају и Платонова тела, по старогрчком филозофу Платону, због њихове употребе у његовом делу “Тимају” где су појавама четири елемента додељивани облици геометријских тела. Тетраедар је био повезан са ватром, октаедар ваздухом, икосаедар водом, а хексаедар земљом, док је додекаедар “Бог употребио за Свемир осликавајући на њему ликове Зодијака”.

У природи се тетраедар, хексаедар и октаедар јављају приликом кристализације минерала, док је за стварање додекаедра и икосаедра неопходна људска рука.

Историја Платонових тела[уреди | уреди извор]

Платонова тела су позната од давнина. Орнаменти који подсећају на њих пронађени су на исклесаним каменим лоптама насталим крајем неолита у Шкотској најмање 1000 година пре Платона. Стари Грци су интензивно проучавали Платонова тела. Прокл је сматрао да је за њихово откриће заслужан Питагора. Други докази упућују на то да су Питагори били познати тетраедар, коцка и додекаедар, а да откриће октаедра и икосаедра припадају Тетусу, Платоновом савременику. У сваком случају, Тетус је дао математички опис свих пет полиедара и вероватно је одговоран за први познати доказ да не постоје други конвексни правилни полиедри. Многе од ових информација, које се налазе у књизи, су преузете из Тетусових дела.

Еуклид је у потпуности математички описао Платонове равни у тринаестом (последњем) тому свог дела "Елементи". Дело се састоји од осамнаест ставова, од којих је првих дванаест о правилним полигонима: једнакостраничном троуглу, квадрату и правилном петоуглу, док је последњих шест о правилним полиедрима, при чему је првих дванаест неопходно за доказивање последњих шест.^[1] Све конструкције су дате тако да је сваки од полиедара "уписан у сферу" што подразумева конструисање описане сфере и укључује одређивање односа између ивице полиедра и полупречника сфере. Већина информација у овој књизи преузето је од Тетуса и његових идеја.

За време ренесансе уметници су постали заинтересовани за перспективу и полиедри су постали изазов и за сликаре и за цртаче. Прве комплетне илустрације пет Платонових тела дао је Леонардо да Винчи који је илустровао књигу свог пријатеља Луке Пачолија о Божанској пропорцији 1509. године.

Интересантно је да је Јохан Кеплер фасциниран правилним полиедрима представио модел Соларног система у којем је свако од пет Платонових тела уметнуто у сферу.^[3] Груписањем тих тела, свако обложено сфером, једно унутар другог, добијено је шест слојева који одговарају познатим планетама:
Меркуру, Венери, Земљи, Марсу, Јупитеру и Сатурну.

Кеплеров модел соларног ситема који користи Платонова тела

Карактеристике Платонових тела[уреди | уреди извор]

Пљосни Платонових тела су подударни правилни многоуглови, а рогљеви су медђусобно подударни и конвексни. То значи да су све пљосни једног полиедра правилни многоуглови са истим бројем $q$ међусобно једнаких пљосни и у темену сваког рогља се сустиче исти број $p$ тих многоуглова. На овај начин сваком Платоновом телу можемо придружити уређени пар $(p,q)$ .

Табела карактеристика

Нека су $T$ , $I$ и $P$ редом бројеви темена, ивица и пљосни полиедра, и притом важи:

$T-I+P=2$ (1) .

Свака пљосан је полигон са $q$ ивица, па када број пљосни помножимо са бројем ивица, али два пута зато што је свака ивица заједничка за две пљосни, добијамо:

$Pq=2I$ (2)

У сваком темену се сустиче $p$ ивица, па број темена помножен са $p$ даје двоструки број ивица, јер је свака ивица одређена двама теменима. Важи:

$Tp=2I$ (3)

Заменимо ли релације (2) и (3) у почетну релацију (1) и поделимо све са $2I$ добијамо:

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{I}}>{\frac {1}{2}}$

Једина целобројна решења $(p,q)$ за $p,q>2$ , те неједначине су:

$(3,3)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(3,5)$ , $(5,3)$ .^[4]

Дуални полиедри[уреди | уреди извор]

У геометрији полиедри се посматрају у паровима.^[5] Сваком полиедру одговара дуални полиедар који настаје метаморфозом датог полиедра у којој:

сваком темену полазног полиедра одговара пљосан новог полиедра;
свакој пљосни полазног полиедра одговара теме новог полиедра;
свакој ивици полазног полиедра одговара ивица новог полиедра.

Тетраедар[уреди | уреди извор]

Тетраедар (грч. tetráedron) је полиедар састављен од шест ивица и четири троугаоне пљосни, при чему се три пљосни срећу у једном темену или рогљу. Назив се углавном користи за правилни тетраедар код кога су ове пљосни идентични једнакостранични троуглови. Најједноставнији је од свих правилних полиедара и једини који има мање од пет пљосни. Код тетраедра заједничка нормала двеју наспрамних ивица је права која спаја њихова средишта. Тетраедар је дуалан самом себи. Стелациони октаедар је сложена фигура која се добија од два дуална тетраедра.

Својства правилног тетраедра[уреди | уреди извор]

$a$ - дужина ивице

Површина: $P=a^{2}{\sqrt {3}}$

Запремина: $V={\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{12}}$

Полупречник описане сфере: $R={\frac {a{\sqrt {6}}}{4}}$

Полупречник уписане сфере: $r={\frac {a{\sqrt {6}}}{12}}$

Висина: $H=R+r={\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\sqrt {\frac {2}{3}}}a$

Угао између ивице и површи: $\arctan {\sqrt {2}}\approx 55^{\circ }$

Угао између две површи: $\arccos {\frac {1}{3}}=\arctan 2{\sqrt {2}}\approx 71^{\circ }$

Приметимо да је висина пљосни ( $2{\sqrt {2}}$ ) два пута већа од ивице ( ${\sqrt {2}}$ ) , што одговара чињеници да је хоризонтална раздаљина, која иде од базе ка врху дуж ивице, двоструко дужа од медијане странице.

Хексаедар[уреди | уреди извор]

Правилни хексаедар (грч. hexáedron) познат је и под називом коцка. То је тродимензионо тело сачињено од шест квадрата, при чему се три квадрата налазе у истом темену. Коцка је паралелопипед, правилни ромбоид и једнакостранични кубоид. Она је једини правилни хексаедар, дуална је са октаедром и поседује октаедарску симетрију. Запремина коцке представља дужину пљосни на трећи степен, па се тако по аналогији са квадратом трећи степен назива куб, по енглеском називу Cube.

Коцка у простору $R^{n}$ се може дефинисати помоћу једне тачке $A=(a_{1},a_{2},...a_{n})$ из $R^{n}$ , дужине ивице коцке $a$ , као и са $n$ вектора $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ који чине једну позитивно оријентисану ортонормирану базу $R^{n}$ . Нека је свака ивица коцке паралелна са једним различитим вектором те базе и нека тачка $A$ представља координатни почетак система кога граде ти вектори. Тада се свака тачка $X=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ коцке може представити на следећи начин:
$X:A+\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\cdot v_{k},\alpha _{k}\in [0,a]$

Својства правилног хексаедра[уреди | уреди извор]

$a$ - дужина ивице

Површина: $S=6a^{2}$

Запремина: $V=a^{3}$

Дијагонала странице: $d=a{\sqrt {2}}$

Дијагонала коцке: $D=a{\sqrt {3}}$

Полупречник описане сфере: $R={\frac {D}{2}}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Полупречник уписане сфере: $r={\frac {a}{2}}$

Угао који заклапају странице: $\theta ={\frac {\pi }{2}}$

Правилни октаедар[уреди | уреди извор]

Октаедар(грч. oktáedron) је геометријско тело састављено од осам страница, док правилни полиедар чине осам једнакостраничних троуглова, од којих се по четири сусрећу у једном темену. Дуалан је коцки, и може се назвати још и једнакоивична осмострана бипирамида.
Запремина октаедра је четири пута већа од запремине тетраедра, док је површина два пута већа од површине тетраедра са истом дужином ивице.

Својства правилног октаедра[уреди | уреди извор]

$a$ - дужина ивице

Површина: $P=2a^{2}{\sqrt {3}}$

Запремина: $V={\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{3}}$

Полупречник описане сфере: $R={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}$

Полупречник уписане сфере: $r={\frac {a{\sqrt {6}}}{6}}$

Угао који заклапају странице: $109.47^{\circ }$

Икосаедар[уреди | уреди извор]

Икосаедар (грч. εἰκοσάεδρον) је последња Платонова крива чије су пљосни троуглови. Наиме, ограничен је са двадесет међусобно подударних једнакостраничних троуглова, који су тако распоређени да тело има тридесет ивица и дванаест темена.

Својства правилног икосаедра[уреди | уреди извор]

$a$ - дужина ивице

Површина: $P=5a^{2}{\sqrt {3}}$

Запремина: $V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$

Полупречник описане сфере: $R={\frac {a{\sqrt {3}}}{12}}(3+{\sqrt {5}})$

Полупречник уписане сфере: $r={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$

Угао који заклапају странице: $116.57^{\circ }$

Додекаедар[уреди | уреди извор]

Додекаедром (грч. δωδεκάεδρον) се сматра сваки полиедар који се састоји од дванаест пљосни, међутим, обично се мисли на правилан додекаедар код кога су те пљосни правилни петоуглови, при чему се по три петоугла сусрећу у темену. Састоји се из 30 ивица, 20 темена и 160 дијагонала, а дуални полиедар му је икосаедар.

Својства правилног додекаедра[уреди | уреди извор]

$a$ - дужина ивице

Површина: $P=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}$

Запремина: $V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}$

Полупречник описане сфере: $R={\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})a$

Полупречник уписане сфере: $r={\frac {\sqrt {5}}{20}}{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}a$

Угао који заклапају странице: $138.19^{\circ }$

Референце[уреди | уреди извор]

^ https://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid
^ ^а ^б ^в http://www.maa.org/book/export/html/116816
^ https://sh.wikipeda.org/wiki/Johannes_Kepler
^ T.Šukilović,S.Vukmirović,Geometrija za informatičare,str. 123-124
^ https://sr.wikipedia.org/sr/Полиедар

Литература[уреди | уреди извор]

Daniel R. Radin (2008). The Platonic Solids Book. CreateSpace Publishing.
Тамара Милошевић (2014). Платонова тела, мастер рад. Универзитет у Нишу, Природно-математички факултет.
Татјана Давидовић Густард (2010). Платонова тела у природи, мастер рад. Универзитет у Београду, Математички факултет.
Nicoletta Sala (2004). Art, Mathematics and Architecture for Humanistic Renaissance: the Platonic Solids. University of Italian Switzerland, Academy of Architecture, Switzerland.
Tijana Šukilović, Srđan Vukmirović (2015). Geometrija za informatičare. Matematički fakultet, Beograd.

Спољашње везе[уреди | уреди извор]

[1] ttps://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

[zgitom-2] а ^б ^в http://www.maa.org/book/export/html/116816

[3] ttps://sh.wikipeda.org/wiki/Johannes_Kepler

[4] T.Šukilović,S.Vukmirović,Geometrija za informatičare,str. 123-124

[5] ttps://sr.wikipedia.org/sr/Полиедар

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]