С Википедије, слободне енциклопедије
Аркус тангенс Основне особине Парност непарна Домен (-∞,∞) Кодомен (-π/2,π/2) Специфичне вредности Нуле 0 Вредност у +∞ π/2 Вредност у -∞ -π/2 Специфичне особине Асимптоте y = ± π/2 Превоји (0,0) Улазак у нулу под углом π/4
Аркус тангенс је функција инверзна функцији тангенса на интервалу њеног домена (-π/2,π/2). Користи се за одређивање величине угла када је позната вредност његовог тангенса. Може се дефинисати следећом формулом:
arctg
x
=
tan
−
1
x
=
i
2
(
log
(
1
−
i
x
)
−
log
(
i
x
+
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;x=\tan ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log(1-ix)-\log(ix+1)\right)}
Следе неке од формула које се везују за аркус тангенс:
arctg
x
=
π
2
−
arcctg
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x}
arctg
(
−
x
)
=
−
arctg
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} \;x\!}
arctg
1
x
=
π
2
−
arctg
x
=
arcctg
x
,
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \;x=\operatorname {arcctg} \;x,\ }
x
>
0
{\displaystyle x>0}
arctg
1
x
=
−
π
2
−
arctg
x
=
−
π
+
arcctg
x
,
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;{\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \;x=-\pi +\operatorname {arcctg} \;x,\ }
x
<
0
{\displaystyle x<0}
Преко формуле за половину угла се добија и:
arctg
x
=
2
arctg
x
1
+
1
+
x
2
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;x=2\operatorname {arctg} \;{\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
Извод:
d
d
x
arctg
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arctg} \;x{}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
Представљање у форми интеграла:
arctg
x
=
∫
0
x
1
x
2
+
1
d
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx}
Представљање у форми бесконачне суме:
arctg
x
=
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
x
|
≤
1
x
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctg} x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}}
