Инверзне тригонометријске функције

С Википедије, слободне енциклопедије

Инверзне тригонометријске функције су arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс).[1][2][3][4][5] Оне су инверзне тригонометријским функцијама sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс).[6][7][8][9] Префикс аркус им долази од латинске речи arcus - лук, угао. Називају се и циклометријске функције. У неким земљама пишу их на уобичајен, општи начин за инверзне функције: sin-1x, cos-1x, tg-1x, ctg-1x.[10][11]

Поред ових постоје и инверзне тригонометријске функције аркус секанс (arcsec x) и аркус косеканс (arccsc x). Оне су инверзне тригонометријским функцијама секанс (sec x) и косеканс (csc x), које се мало ређе употребљавају. Њихове особине су детаљије описане уз појам: Равнинска тригонометрија.

Нотација[уреди | уреди извор]

Постоји неколико записа за инверзне тригонометријске функције. Најчешћа конвенција је да се инверзне тригонометријске функције именују помоћу префикса arc: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), etc.[10][6] (Ова конвенција се користи у целом овом чланку.) Ова ознака произлази из следећих геометријских односа: при мерењу у радијанима, угао од θ радијана ће одговарати луку чија је дужина , где је r полупречник круга. Тако је у јединичном кругу „лук чији је косинус x“ исти као „угао чији косинус је x“, јер је дужина лука круга у радијусима иста као и мерење угла у радијанима.[12] У програмским језицима за рачунаре, инверзне тригонометријске функције често се називају скраћеним облицима asin, acos, atan.[13]

Ознаке sin−1(x), cos−1(x), tan−1(x), etc, које је увео Џон Хершел 1813. године,[14][15] често се користе и у изворима на енглеском језику[6] - конвенције конзистентне са записом инверзне функције. Ово би могло изгледати логички у супротности са уобичајеном семантиком израза као што је sin2(x), који се односе на нумеричку моћ, а не на састав функције, те стога може довести до забуне између мултипликативне инверзне или реципрочне и композиционо инверзне.[16] Забуну донекле ублажава чињеница да свака од реципрочних тригонометријских функција има своје име - на пример, (cos(x))−1 = sec(x). Ипак, неки аутори не саветују да се користи због њене двосмислености.[6][17] Још једна конвенција коју користи неколико аутора је да се користи велико прво слово, заједно са −1 суперскриптом: Sin−1(x), Cos−1(x), Tan−1(x), etc.[18] Ово потенцијално избегава забуну са мултипликативном инверзијом, која би требало да буде представљена са sin−1(x), cos−1(x), etc.

Од 2009. године стандард ISO 80000-2 наводи само префикс „arc” за инверзне функције.

Основни концепти[уреди | уреди извор]

Главне вредности[уреди | уреди извор]

Тригонометријске функција нису узајамно инјективне, и стога се морају ограничити да би имале инверзне функције. Према томе, распони резултата инверзних функција су прави подскупови домена изворних функција.

На пример, коришћење функције у смислу вишезначних функција, баш као што би се могла дефинисати функција квадратног корена од , функција је дефинисанa тако да је За дати реални број са постоји више (заправо, пребројива бесконачност) бројева таквих да је ; на пример, али је и итд. Када се жели само једна вредност, функција може бити ограничена на њену главну грану. Са овим ограничењем, за свако у домену, израз ће се проценити само на једну вредност, која се назива његова главна вредност. Ова својства се примењују на све инверзне тригонометријске функције.

Главне инверзне вредности су наведене у следећој табели.

Назив Уобичајена ознака Дефиниција Домен од за реалан резултат Опсег уобичајене главне вредности
(radians)
Опсег уобичајене главне вредности
(степени)
arcsine x = sin(y)
arccosine x = cos(y)
arctangent x = tan(y) сви реални бројеви
arccotangent x = cot(y) сви реални бројеви
arcsecant x = sec(y)
arccosecant x = csc(y)

(Напомена: Неки аутори дефинишу опсег arcsecant да је (), јер је тангентна функција на овом домену неонегативна. Ово чини неке прорачуне доследнијим. На пример, користећи овај опсег, док је у опсегу (), се записује као јер је тангента ненегативна на али непозитивна на Из слично разлога, исти аутори дефинишу опсег функције arccosecant као или )

Ако је комплексан број, онда је опсег применљив само на њен реални део.

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Taczanowski, Stefan (1978-10-01). „On the optimization of some geometric parameters in 14 MeV neutron activation analysis”. Nuclear Instruments and Methods. ScienceDirect. 155 (3): 543—546. Bibcode:1978NucIM.155..543T. doi:10.1016/0029-554X(78)90541-4. 
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (1994) [1987]. Encyclopaedia of Mathematics (unabridged reprint изд.). Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media. ISBN 978-155608010-4. 
  3. ^ Ebner, Dieter (2005-07-25). Preparatory Course in Mathematics (PDF) (6 изд.). Department of Physics, University of Konstanz. Архивирано (PDF) из оригинала на датум 2017-07-26. Приступљено 2017-07-26. 
  4. ^ Mejlbro, Leif (2010-11-11). Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory (PDF) (1 изд.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-702-2. Архивирано из оригинала (PDF) на датум 2017-07-26. Приступљено 2017-07-26. 
  5. ^ Durán, Mario (2012). Mathematical methods for wave propagation in science and engineering. 1: Fundamentals (1 изд.). Ediciones UC. стр. 88. ISBN 978-956141314-6. 
  6. ^ а б в г Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (јануар 1909). „Chapter II. The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions”. Написано на Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. стр. 15. Приступљено 2017-08-12. »[…] α = arcsin m: It is frequently read "arc-sine m" or "anti-sine m," since two mutually inverse functions are said each to be the anti-function of the other. […] A similar symbolic relation holds for the other trigonometric functions. […] This notation is universally used in Europe and is fast gaining ground in this country. A less desirable symbol, α = sin-1m, is still found in English and American texts. The notation α = inv sin m is perhaps better still on account of its general applicability. […]« 
  7. ^ Klein, Christian Felix (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (на језику: немачки). 1 (3rd изд.). Berlin: J. Springer. 
  8. ^ Klein, Christian Felix (2004) [1932]. Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Превод: Hedrick, E. R.; Noble, C. A. (Translation of 3rd German изд.). Dover Publications, Inc. / The Macmillan Company. ISBN 978-0-48643480-3. Приступљено 2017-08-13. 
  9. ^ Dörrie, Heinrich (1965). Triumph der Mathematik. Превод: Antin, David. Dover Publications. стр. 69. ISBN 978-0-486-61348-2. 
  10. ^ а б „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault (на језику: енглески). 2020-03-25. Приступљено 2020-08-29. 
  11. ^ Weisstein, Eric W. „Inverse Trigonometric Functions”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-29. 
  12. ^ Beach, Frederick Converse; Rines, George Edwin, ур. (1912). „Inverse trigonometric functions”. The Americana: a universal reference library. 21. 
  13. ^ John D. Cook (2021-02-11). „Trig functions across programming languages”. Приступљено 2021-03-10. 
  14. ^ Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2 изд.). New York, NY: The Macmillan Company. стр. 272. 
  15. ^ Herschel, John Frederick William (1813). „On a remarkable Application of Cotes's Theorem”. Philosophical Transactions. Royal Society, London. 103 (1): 8. doi:10.1098/rstl.1813.0005Слободан приступ. 
  16. ^ „Inverse Trigonometric Functions | Brilliant Math & Science Wiki”. brilliant.org (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-29. 
  17. ^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. „21.2.-4. Inverse Trigonometric Functions”. Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and reviewСлободан приступ ограничен дужином пробне верзије, иначе неопходна претплата (3 изд.). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. стр. 811. ISBN 978-0-486-41147-7. 
  18. ^ Bhatti, Sanaullah; Nawab-ud-Din; Ahmed, Bashir; Yousuf, S. M.; Taheem, Allah Bukhsh (1999). „Differentiation of Trigonometric, Logarithmic and Exponential Functions”. Ур.: Ellahi, Mohammad Maqbool; Dar, Karamat Hussain; Hussain, Faheem. Calculus and Analytic Geometry (на језику: енглески) (1 изд.). Lahore: Punjab Textbook Board. стр. 140. 

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]