Реалан број

За другу употребу, погледајте чланак Број (вишезначна одредница).

Симбол скупа реалних бројева

Реални бројеви су сви рационални и ирационалани бројеви. Скуп реалних бројева се означава са R или са $\mathbb {R} .$ Скуп реалних бројева је бесконачан и непребројив, а број елемената, тзв. кардинални број скупа реалних бројева називамо континуум. Реални бројеви образују поље. Термин реалан стоји насупрот чистим имагинарним (комплексним имагинарним) бројевима. The adjective real in this context was introduced in the 17th century by René Descartes, who distinguished between real and imaginary roots of polynomials. The real numbers include all the rational numbers, such as the integer −5 and the fraction 4/3, and all the irrational numbers, such as √2 (1.41421356..., the square root of 2, an irrational algebraic number). Included within the irrationals are the transcendental numbers, such as π (3.14159265...). In addition to measuring distance, real numbers can be used to measure quantities such as time, mass, energy, velocity, and many more.

Real numbers can be thought of as points on an infinitely long line called the number line or real line, where the points corresponding to integers are equally spaced. Any real number can be determined by a possibly infinite decimal representation, such as that of 8.632, where each consecutive digit is measured in units one tenth the size of the previous one. The real line can be thought of as a part of the complex plane, and complex numbers include real numbers.

Децимални бројеви

Децимални бројеви су настајали стотинама година, напорима генерација математичара, чији је врхунац остварио Стевин у 16. веку, употребом децималних разломака, тј. разломака чији је именилац степен броја десет: 1, 10, 100, итд. Дељењем неке јединице:

на десет једнаких делова добијемо десети део, тј. ${\frac {1}{10}};$

на сто једнаких делова добијемо стоти део, тј. ${\frac {1}{100}};$

на хиљаду једнаких делова добијамо хиљадити део, тј. ${\frac {1}{1000}}.$

Даље добијамо десетохиљадити, стохиљадити, милионити, итд. део. Да бисмо сабрали (или одузели) децималне бројеве потребно је да их поставимо тако да се њихове запете подударе. Почињемо од најмањих делова, крајња десна колона. Ако је збир у датој колони већи од десет (4+8=12), остављамо вишак (2), и додајемо 1 колони лево.

Сабирање		Одузимање
2,34		2,34
1,28 / +		1,28 / -
3,62		1,06

У случају одузимања, када је доњи број (онај који одузимамо) већи од горњег у тој колони, онда позајмљујемо јединицу из прве леве колоне и додајемо десет броју (горњем) од којег одузимамо.

На слици десно, видимо специјалну посуду у коју можемо сипати течност несметано, све док ниво течности не пређе подељак девет. Након тога посуда ће се сама испразнити до нуле. Аналогно сабирању децималних бројева потписаних по колонама.

Да бисмо помножили децимални број целим бројем један за којим следи неколико нула, треба да померимо запету удесно за по једно место за сваку нулу. Ако више нема децималних места, на десној страни треба дописати потребан број нула. На пример: 23,45х1000 = 23450.

Када множимо два децимална броја, множимо их као да су цели, а затим у добијеном резултату стављамо онолико децималних цифара колико их имају оба фактора заједно. На пример, множимо 2,3 са 4,5. Прво 23х45=1035; затим, имамо укупно два децимална места; резултат 2,3х4,5 = 10,35.

Да бисмо поделили децимални број целим бројем један за којим следи неколико нула, треба померити запету улево, за по једно место за сваку нулу. Ако више нема цифара тог броја, на левој страни ћемо дописати преостале нуле. На пример 23,45:1000 = 0,02345.

Апроксимација реалних бројева

За прецизније дефинисање апроксимације реалних бројева децималним бројевима и децималног записа реалног броја треба нам:

1. Принцип најмањег целог броја: Сваки скуп целих бројева који је ограничен одоздо има најмањи број;
2. Архимедова аксиома: За свака два цела броја a, b'' од којих је први позитиван, постоји природан број n, такав да је $n\cdot a>b.$

Принцип најмањег целог броја важи и када доња граница није цео број; она може бити било који реалан број. Архимедов принцип важи и у случају када су a и b реални бројеви (a>0).

Теорема 1

Ако је a позитиван реалан број, тада постоји јединствен број $n_{0}\in \{0,1,2,...\},$ такав да је $n_{0}\leq x<n_{0}+1.$

Доказ

Према Архимедовој аксиоми, за b=x и a=1, постоји природан број n такав да је x<n·1=n. Међу свим таквим бројевима n, према аксиоми 2, постоји најмањи. Означимо га са n'. Дакле важи 0<x<n' (*). Због тога је n'-1≤x<n'. Наиме, ако би било n'-1>x, онда n' не би био најмањи број који испуњава претходни услов (*). Означимо ли n'-1=n₀, добијамо тврђење теорема.

Децимални запис реалног броја

Дефиниција 1

Број који се може записати у облику

$n_{0}+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {d_{n}}{10^{n}}}\quad (n_{0}\in \{0,1,...,9\},n\in \mathbb {N} ,$

или њему супротан број (негативан), зове се децимални број.

Дефиниција 2

Бесконачан низ целих бројева $n_{0},d_{1},d_{2},...$ који одређује број $x$ записује се у облику $x=n_{0},d_{1}d_{2}...,$ и зове се децимални запис броја $x.$

Био је то поступак којим се сваки периодични децимални број може превести у разломак са целобројним бројником и називником. Међутим, знамо да је скуп свих разломака бесконачан, пребројив, алеф нула. Знамо да је скуп реалних бројева бесконачан, непребројив, континуум. Према томе је скуп свих непериодичних децималних бројева континуум.

Мерење дужи, бројевна права

Дефиниција 3

Нека је свакој дужи AB придружен позитиван реалан број d(A,B), при чему су испуњени следећи услови:

• За неку дуж OE важи d(O,E)=1.
• Ако је AB=CD, тада је d(A,B)=d(C,D).
• Ако је тачка C између тачака A и B, онда је d(A,B)=d(A,C)+d(C,B).

Тада се број d(A,B) зове дужина дужи AB.

Ако се у дефиницији дода услов да је d(A,A)=0, за сваку тачку А, онда се број d(A,B) зове растојање између тачака A и B.

Уређено поље реалних бројева

Дефиниција 4

За скуп $S\subset \mathbb {R} ,$ кажемо да је ограничен одозго ако постоји бар један реалан број $M,$ такав да је, за сваки $x\in S,\;x\leq M.$ Број М се у том случају зове мајоранта скупа S, или горња међа скупа S.

На пример скуп $S=\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},...,{\frac {n}{n+1}},...\right\}$ има мајоранту број 1, али је и сваки други реалан број који је већи од 1 такође мајоранта овог скупа. Скуп $S=\{2,4,6,...,2n,...\}$ нема мајоранту, јер према Архимедовој аксиоми за било који $r\in \mathbb {R}$ постоји природан број n такав да је $2\cdot n>r.$. Скуп непозитивних реалних бројева има најмању мајоранту нулу.

Дефиниција 5

Ако постоји реалан број s, такав да је он најмања мајоранта скупа S, тј. ако из $r\in \mathbb {R} ,\;r<s,$ следи да постоји бар један елеменат $x\in S$ такав да је $r<x$, онда се s назива супремумом скупа S, или тачном доњом међом скупа S. Супремум скупа S означавамо sup S.

Један скуп не може имати два супремума, нпр. $s_{1},s_{2},$ јер би тада по дефиницији (5) било $s_{1}\leq s_{2}\wedge s_{2}\leq s_{1},$ што због антисиметричности релације мање-једнако повлачи $s_{1}=s_{2}.$

Дефиниција 6

Нека су у скупу $\mathbb {R} =\{x,y,z,...\}$ дефинисани сабирање + и множење ·, бинарна релација ≤ и нека за све x,y,z,... из R важе услови:

(R1) $(x+y)+z=z+(y+z),\,$

(R2) $(\exists 0\in \mathbb {R} )(\forall x\in \mathbb {R} )\,x+0=x,$

(R3) $(\forall x\in \mathbb {R} )(\exists (-x)\in \mathbb {R} )\,x+(-x)=0,$

(R4) $x+y=y+x,\,$

(R5) $x(yz)=(xy)z,\,$

(R6) $x(y+z)=xy+xz,\,$

(R7) $(\exists 1\in \mathbb {R} \setminus \{0\})(\forall x\in \mathbb {R} )\;x\cdot 1=x,$

(R8) $(\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\})(\exists x^{-1}\in \mathbb {R} )\;x\cdot x^{-1}=1,$

(R9) $xy=yx,\,$

(R10) $(x\leq y)\vee (y\leq x),\,$

(R11) $(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y,$

(R12) $(x\leq y\wedge y\leq z)\Rightarrow (x\leq z),$

(R13) $(x\leq y)\Rightarrow (x+z\leq y+z),$

(R14) $(x\leq y\wedge z>0)\Rightarrow (xz\leq yz),$

и најзад, најважније

(CR) сваки одозго ограничен непразан скуп у $\mathbb {R}$ има супремум у $\mathbb {R} .$

CR заправо оствара реалне бројеве, јер сви остали аксиоми могли би се узети и за опис рационалних бројева, док онај задњи не би.

Тада уређену четворку (R, +, ·, ≤) зовемо уређено комплетно поље или поље реалних бројева. Често га означавамо само са R. Услови (R1)-(R15) зову се аксиоми реалних бројева. Из теорије група и из претходне дефиниције, види се да у пољу R постоје једниствена нула (R2) и јединствена јединица (R7), да сваки елеменат х скупа R, осим нуле, има (R3) јединствен супротни елеменат -х, и да сваки има (R8) јединствен инверзни елеменат $x^{-1}\equiv {\frac {1}{x}}.$

Операције сабирања и множења индукују алгебарску структуру у скупу R реалних бројева, а релација уређења индукује у R структуру талног уређења.

Аксиоме 1-9 односе се на алгебарску структуру скупа реалних бројева, а аксиоме 10-12 на његову структуру поретка. Аксиоме 13-14 повезују те две структуре на скупу реалних бројева, тј. показују да је релација поретка "≤ " у сагласности са сабирањем и множењем у R. Зову се редом монотонија сабирања и множења.

Аксиома R15 изражава важну особину скупа реалних бројева коју зовемо комплетност скупа R. Постоји више еквивалентних облика тог аксиома.

Подскупови

Неколико важних подскупова реалних бројева имају своја посебна имена, то су:

• Рационални бројеви (у које спадају природни и цели бројеви)
• Ирационалан број

Види још

• Апсолутна вредност
• Приближна вредност броја
• Заокругљивање децималних бројева
• Операције са приближним бројевима

Литература

• Др Павле Миличић, Мр Владимир Стојановић, Др Зоран Каделбург, Др Бранислав Боричић: МАТЕМАТИКА, За I разред средње школе, Програми са четири часа наставе математике недељно, Друго издање, Завод за издавање уџбеника, Нови Сад, 1992.
• Cantor, Georg (1874). "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, volume 77, pp. 258–62.
• Feferman, Solomon (1989). The Number Systems: Foundations of Algebra and Analysis, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-2915-7.
• Katz, Robert (1964). Axiomatic Analysis, D.C. Heath and Company.
• Landau, Edmund (2001). Foundations of Analysis. American Mathematical Society,ISBN 0-8218-2693-X.
• Howie, John M. Real Analysis. Springer, 2005, ISBN 1-85233-314-6.
• Schumacher, Carol (1996), ChapterZero / Fundamental Notions of Abstract Mathematics BV, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1 
• Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ур. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 
• Matvievskaya, Galina (1987), „The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics”, Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x 
• Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 
• Beckmann, Petr (1993), A History of Pi, Dorset Classic Reprints, Barnes & Noble Publishing, стр. 170, ISBN 978-0-88029-418-8, Архивирано из оригинала 2016-05-04. г., Приступљено 2015-11-15 .
• Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, стр. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, Архивирано из оригинала 2016-05-21. г., Приступљено 2015-11-15 
• Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, стр. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, Архивирано из оригинала 2015-05-14. г., Приступљено 2015-02-17, „Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work” 
• Hurwitz, Adolf (1893). „Beweis der Transendenz der Zahl e”. Mathematische Annalen (43): 134—35. 
• Gordan, Paul (1893). „Transcendenz von e und π”. Mathematische Annalen. 43 (2–3): 222—24. doi:10.1007/bf01443647. 

Спољашње везе

• Hazewinkel, Michiel, ур. (2001) [1994], „Real number”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• The real numbers: Pythagoras to Stevin
• The real numbers: Stevin to Hilbert
• The real numbers: Attempts to understand
• What are the "real numbers," really?