Granična vrednost

Granična vrednost je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize. Pomoću pojma granične vrednosti definišu se neprekidnost, matematički izvodi i integrali. Razlikuju se granična vrednost niza i granična vrednost funkcije. Granična vrednost opisuje broj kome teži vrednost funkcije ili vrednost člana matematičkog niza, kada se argument funkcije ili indeks niza približe nekoj vrednosti.

U matematičkim formulama granična vrednost se obično označava sa lim, kao na primer lim(a_n) = a, ili strelicom (→), kao na primer a_n → a.

Matematičari su intuitivno poznavali koncept granične vrednosti već u drugoj polovini XVII veka, što se vidi u radovima Isaka Njutna. To je slučaj i sa radovima Ojlera i Lagranža iz XVIII veka. Prvu strogo naučnu definiciju granične vrednosti dali su Bolcano 1816. i Koši 1821. godine.

Koncept granice niza je dalje generalizovan na koncept granice topološke mreže, i usko je povezan sa granicom i direktnom granicom u teoriji kategorija.

U formulama, granica funkcije se obično piše kao

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

(iako nekoliko autora koristi „Lt“ umesto „lim“) i čita se kao „granica f od x kako se x približava c jednaka je L. Činjenica da se funkcija f približava granici L dok se x približava c se ponekad označava sa strelicom nadesno (→ ili $\rightarrow$), kao u

$f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,$

koje se čita: „$f$ od $x$ teži ka $L$ kad $x$ teži ka $c$”.

Granična vrednost funkcije

Kad god se tačka x nalazi na rastojanju δ od c, vrednost f(x) je unutar udaljenosti ε od L.

Funkcije grafike pokazuju da kada argument teži beskonačnosti, vrednost funkcije teži vrednosti $L$.

Glavni članak: Granična vrednost funkcije

Funkcija $f(x)$ ima graničnu vrednost $L$ u tački $x_{0}$, ako je za sve vrednosti $x$, dovoljno bliske tački $x_{0}$, vrednost $f(x)$ dovoljno bliska vrednosti $L$. Danas se najčešće koristi definicija granične vrednosti funkcije koju je Karl Vajerštras formalizovao u 19. veku. Ona glasi: Neka je ƒ funkcija definisana na otvorenom intervalu koji sadrži vrednost c (osim možda u samoj tački c) i neka je L realan broj. Onda formula

$\lim _{x\to c}f(x)=L\,$

znači da za svako realno ε > 0 postoji realna vrednost δ > 0 takva da je za svako x koje ispunjava uslov 0 < |x − c| < δ, imamo da je |ƒ(x) − L| < ε.

To se u matematičkoj notaciji zapisuje kao:

$\forall \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0:\forall x\quad (0<|x-c|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-L|<\varepsilon ).$

Ogisten Luj Koši je 1821. godine, praćen Karlom Vajerštrasom, formalizovao definiciju granice funkcije koja je postala poznata kao (ε, δ)-definicija granice. Definicija koristi ε (malo grčko slovo epsilon) da predstavi bilo koji mali pozitivan broj, tako da „f(x) postaje proizvoljno blizu L“ što znači da f(x) na kraju leži u intervalu (L − ε, L + ε), koji se takođe može napisati korišćenjem apsolutne vrednosti kao |f(x) − L| < ε. Fraza „kako se x približava c“ onda ukazuje da se odnosi na vrednosti x, čija je udaljenost od c manja od nekog pozitivnog broja δ (malo grčko slovo delta)—to jest, vrednosti x unutar bilo koje (c − δ, c) ili (c, c + δ), što se može izraziti sa 0 < |x − c| < δ. Prva nejednakost znači da je x ≠ c, dok druga ukazuje da je x unutar udaljenosti δ od c.

Gornja definicija granice je tačna čak i ako je f(c) ≠ L. Zaista, funkcija f ne mora biti ni definisana na c.

Na primer, ako

$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

tada f(1) nije definisano (vidi neodređeni oblik), ali kako se x kreće proizvoljno blizu 1, f(x) se na odgovarajući način približava 2:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	nedefinisano	2.001	2.010	2.100

Dakle, f(x) se može proizvoljno približiti granici od 2 - samo tako što se x učini dovoljno blizu 1.

Drugim rečima,

$$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.$$

Ovo se takođe može izračunati algebarski, kao ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$ za sve realne brojeve x ≠ 1.

Sada, pošto je x + 1 kontinuirano u x na 1, može se uneti 1 za x, što dovodi do jednačine

$$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.$$

Pored limita na konačnim vrednostima, funkcije mogu imati i limite u beskonačnosti. Na primer, razmotrite funkciju

$$f(x)={\frac {2x-1}{x}}$$

gde je:

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.9999

Kako x postaje izuzetno veliko, vrednost f(x) se približava 2, a vrednost f(x) se može učiniti što bliže 2 koliko se može poželeti – tako što će x učiniti dovoljno velikim. Dakle, u ovom slučaju, limit f(x) kako se x približava beskonačnosti je 2, ili u matematičkoj notaciji,

$$\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.$$

Granična vrednost niza

Glavni članak: Granična vrednost niza

Razmotrite sledeći niz: 1,79, 1,799, 1,7999, … Može se primetiti da se brojevi „približavaju“ 1,8, granici niza.

Formalno, pretpostavimo da je a₁, a₂, … niz realnih brojeva. Može se reći da je realni broj L granica ovog niza, naime:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$

koji se čita kao

„Granica a_n kada se n približava beskonačnosti jednaka je L”

ako i samo ako

za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N, postoji |a_n − L| < ε.

Intuitivno, to znači da se na kraju svi elementi niza proizvoljno približavaju granici, pošto je apsolutna vrednost |a_n − L| rastojanje između a_n i L. Nema svaki niz limit; ako ima, onda se naziva konvergentnim, a ako ne, onda je divergentan. Može se pokazati da konvergentni niz ima samo jednu granicu.

Granica niza i granica funkcije su usko povezani. S jedne strane, granica kada se n približava beskonačnosti niza {a_n} je jednostavno limit u beskonačnosti funkcije a(n)—definisane na prirodnim brojevima {n}. S druge strane, ako je X domen funkcije f(x) i ako se limit n približava beskonačnosti funkcije f(x_n) kao L za svaki proizvoljni niz tačaka {x_n} u {X – {x₀}} koji konvergira na x₀, tada je limit funkcije f(x) kako se x približava x₀ jedna L. Jedan takav niz bi bio {x₀ + 1/n}.

Konvergencija i fiksna tačka

Formalna definicija konvergencije može se dati na sledeći način. Pretpostavimo da $p_{n}$ kao $n$ ide od $0$ do $\infty$ jeste niz koji konvergira u $p$, sa $p_{n}\neq p$ za svako $n$. Ako pozitivne konstante $\lambda$ i $\alpha$ postoje sa

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\left|p_{n+1}-p\right|}{\left|p_{n}-p\right|^{\alpha }}}=\lambda$

onda $p_{n}$ kao $n$ ide od $0$ do $\infty$ i konvergira u $p$ reda $\alpha$, sa konstantom asimptotske greške $\lambda$.

Za datu funkciju $f$ sa fiksnom tačkom $p$, postoji kontrolna lista za proveru konvergencije niza $p_{n}$.

1. Prvo treba proveriti da li je p zaista fiksna tačka:

   $f(p)=p$

2. Treba proveriti linearnu konvergenciju. Počninje se tako što se pronalazi $\left|f'(p)\right|$. Ako …

$\left|f'(p)\right|\in (0,1)$	onda postoji linearna konvergencija
$\left|f'(p)\right|>1$	serija divergira
$\left|f'(p)\right|=0$	onda postoji barem linearna konvergencija i možda nešto bolje, izraz treba proveriti za kvadratnu konvergenciju

3. Ako se utvrdi da postoji nešto bolje od linearnog, izraz treba proveriti na kvadratnu konvergenciju. Počinje se tako što se pronalazi $\left|f''(p)\right|$ ako…

$\left|f''(p)\right|\neq 0$	onda postoji kvadratna konvergencija pod uslovom da je $f''(p)$ kontinuirana
$\left|f''(p)\right|=0$	onda postoji nešto čak i bolje od kvadratne konvergencije
$\left|f''(p)\right|$ ne postoji	onda postoji konvergencija koja je bolja od linearne, ali još uvek nije kvadratna

Izračunljivost granice

Ograničenja mogu biti teško izračunljiva. Postoje granični izrazi čiji je modul konvergencije neodlučiv. U teoriji rekurzije, granična lema dokazuje da je moguće kodirati neodlučive probleme koristeći limite.

Literatura

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd izd.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473 
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 izd.), Addison–Wesley, ISBN 0-201-00288-4 
• Bartle, Robert (1967), The elements of real analysis, Wiley 
• Courant, Richard (1924), Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Springer Verlag 
• Hardy, G.H. (1921), A course in pure mathematics, Cambridge University Press 
• Hubbard, John H. (2015), Vector calculus, linear algebra, and differential forms: A unified approach (Fifth izd.), Matrix Editions 
• Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; et al., ur. (2002), „Media Highlights”, The College Mathematics, 33 (2): 147—154, JSTOR 2687124 .
• Rudin, Walter (1964), Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill 
• Sutherland, W. A. (1975), Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-853161-3 
• Sherbert, Robert (2000), Introduction to real analysis, Wiley 
• Whittaker; Watson (1904), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press 
• Felscher, Walter (2000), „Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 844—862, JSTOR 2695743, doi:10.2307/2695743 
• Grabiner, Judith V. (1983), „Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus”, American Mathematical Monthly, 90 (3): 185—194, JSTOR 2975545, doi:10.2307/2975545 , collected in Who Gave You the Epsilon? Arhivirano na sajtu Wayback Machine (4. октобар 2012), ISBN 978-0-88385-569-0
• Sinkevich, G. I. (2017). „Historia epsylontyki” (PDF). Antiquitates Mathematicae. Cornell University. 10. arXiv:1502.06942 . doi:10.14708/am.v10i0.805. Pristupljeno 19. 10. 2021. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (Third izd.), New York: McGraw–Hill, str. 558—559, ISBN 978-0-07-009465-9 
• Miller, Jeff (1. 12. 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, Pristupljeno 2008-12-18 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18. 
• Weisstein, Eric W. „Limit”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18. 

Spoljašnje veze

• MacTutor History of Weierstrass.
• MacTutor History of Bolzano
• Visual Calculus by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001)