Laplasova raspodela

Laplasova raspodela

Funkcija gustine verovatnoće
Funkcija kumulativne raspodele
Parametri	$\mu$ lokacija (realne) $b>0$ skale (realne)
Nositelj	$\mathbb {R}$
PDF	${\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)$
CDF	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{ако је }}x\leq \mu \\[8pt]1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{ако је }}x\geq \mu \end{cases}}$
Kvantil	${\begin{cases}\mu +b\ln \left(2F\right)&{\text{ако је }}F\leq {\frac {1}{2}}\\[8pt]\mu -b\ln \left(2-2F\right)&{\text{ако је }}F\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}$
Prosek	$\mu$
Medijana	$\mu$
Modus	$\mu$
Varijansa	$2b^{2}$
Koef. asimetrije	$0$
Kurtoza	$3$
Entropija	$\ln(2be)$
MGF	${\frac {\exp(\mu t)}{1-b^{2}t^{2}}}{\text{ for }}|t|<1/b$
CF	${\frac {\exp(\mu it)}{1+b^{2}t^{2}}}$

U teoriji verovatnoće i statistici, Laplasova raspodela ( distribucija ) predstavlja neprekidnu raspodelu verovatnoće koja je nazvana po Pjer-Simonu Laplasu . Takođe, ponekad se naziva i kao dvostruka eksponencijalna raspodela, zato što se može smatrati dvema eksponencijalnim raspodelama (sa dodatnim parametrom lokacije) koje su spojene duž apscise, iako se taj termin ponekad koristi i za Gambelovu raspodelu . Razlika između dve nezavisne identično raspoređene eksponencijalne slučajne promenljive je regulisana Laplasovom raspodelom, isto kao što je i Braunovo kretanje procenjeno u eksponencijalno raspoređenom slučajnom vremenu. Povećanje Laplasovog kretanja ili varijansni gama proces koji su procenjeni tokom vremenske skale takođe imaju Laplasovu raspodelu.

Definicije

Funkcija gustine verovatnoće

Slučajna promenljiva će imati ${\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ raspodelu ako je njena funkcija gustine verovatnoće jednaka :

$f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!$

ovde, parametar $\mu$ predstavlja parametar lokacije i $b>0$, koji se ponekad naziva i "različitost", je parametar skale . Ako su parametri dalje jednaki $\mu =0$ i $b=1$, pozitivna poluprava predstavlja upravo eksponencijalna raspodela koja je skalirana za 1/2 .

Funkcija gustine verovatnoće Laplasove raspodele takođe podseća na normalnu raspodelu ; međutim, dok je normalna distribucija izražena kao kvadratna razlika od srednje vrednosti $\mu$, Laplasova gustina će biti izražena kao apsolutna razlika srednje vrednosti navedenih parametara. Iz toga sledi da, Laplasova raspodela ima deblje repove od normalne distribucije.

Kumulativna funkcija raspodele

Laplasovu raspodelu je lako integraliti (ukoliko se dva simetrična slučaja razlikuju) zbog upotrebe funkcije apsolutne vrednosti . Njegova kumulativna funkcija raspodele je sledeća:

${\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}$

Inverzna kumulativna funkcija raspodele je data sa

$F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).$

Svojstva

Trenuci

$\mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}.$

Povezane raspodele

• Ako je $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ onda važi da je$kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)$.
• Ako je $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$ onda važi da je $bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)$.
• Ako je $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)$ onda važi da je$\left|X\right|\sim {\textrm {Exponential}}\left(b^{-1}\right)$ (Eksponencijalna raspodela).
• Ako je $X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ onda važi da je $X-Y\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)$．
• Ako je $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ onda važi da je$\left|X-\mu \right|\sim {\textrm {Exponential}}(b^{-1})$.
• Ako je $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ onda važi da je$X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,1)$ (eksponencijalna raspodela snage).
• Ako je $X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)$ (Normalna raspodela) onda važi da je $X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$.
• Ako je $X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ onda važi da je ${\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)$ (Hi-kvadratna raspodela).
• Ako je $X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ onda važi da je${\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)$. (F-raspodela)
• Ako je $X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)$ (Uniformna raspodela) onda važi da je $\log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$.
• Ako su $X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ i $Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)$ (Bernulijeva raspodela) nezavisne od $X$, onda $X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)$.
• Ako su $X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ i $Y\sim {\textrm {Exponential}}(\nu )$ nezavisne od $X$, onda $\lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)$．
• Ako $X$ ima Rademacher-ova raspodela i$Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ onda važi da $XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )$.
• Ako su $V\sim {\textrm {Exponential}}(1)$ i $Z\sim N(0,1)$ nezavisne od $V$, onda $X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)$.
• Ako je $X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)$ (geometrijski stabilna raspodela) onda važi $X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )$.
• Laplasova raspodela predstavlja slučaj ograničenja za Hiperboličnu raspodelu.
• Ako $X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,Y^{2})$ sa $Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)$ (Rayleigh-ovaraspodela) onda važi $X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$.
• Dat je ceo broj gde je $n\geq 1$, ako je$X_{i},Y_{i}\sim \Gamma \left({\frac {1}{n}},b\right)$ (Gama raspodela, koristeći $k,\theta$ karakterizaciju), zatim primenjujemo$\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mu }{n}}+X_{i}-Y_{i}\right)\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)$ (beskrajna deljivost)
• Ako X ima Laplasovu raspodelu, onda Y = e^X ima logaritamsku Laplasovu raspodelu; s druge strane, ako X ima logaritamsku Laplasovu raspodelu, onda njegovlogaritam ima Laplasovu raspodelu.

Odnos prema eksponencijalnoj raspodeli

Laplasova slučajna promenljiva može biti predstavljena kao razlika dve nezavisne i jednako raspoređene ( eng. independent and identically distributed , iid) eksponencijalne slučajne promenljive. Jedan od načina da se to pokaže je korišćenje pristupa karakteristične funkcije . Za bilo koji skup nezavisnih kontinuiranih slučajnih promenljivih, za bilo koju linearnu kombinaciju tih promenljivih, njegova karakteristična funkcija (koja jedinstveno određuje raspodelu) može se dobiti množenjem odgovarajućih karakterističnih funkcija.

Razmotrite dve i.i.d slučajne promenljive ( Independent identically-distributed random variables )$X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )$ . Karakteristične funkcije za $X,-Y$ su na sledeći način

${\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}$

redom postavljene. Množenjem ovih karakterističnih funkcija (ekvivalentno karakterističnoj funkciji zbira slučajnih promenljivih $X+(-Y)$ ), rezultat je :

${\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Ovaj izraz predstavlja isto što i karakteristična funkcija za $Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )$, koja je jednaka sledećem izrazu:

${\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.$

Sarganove raspodele

Sarganove raspodele predstavljaju sistem raspodela čiji je osnovni član Laplasova raspodela. A $p$-ti red Sarganove raspodela ima gustinu :

$f_{p}(x)={\tfrac {1}{2}}\exp(-\alpha |x|){\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\alpha ^{j}|x|^{j}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}j!\beta _{j}}},$

za parametre $\alpha \geq 0,\beta _{j}\geq 0$ . Rezultati Laplasove raspodele za $p=0$ .

Statistički zaključak

Za dato $n$ , nezavisni i identično raspoređeni uzorci $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, predstavljaju procena maksimalne verovatnoće (MLE), dok $\mu$ predstavlja medijanu uzorka,

${\hat {\mu }}=\mathrm {med} (x).$

MLE procenjivač $b$ je srednje apsolutno odstupanje od medijane,

${\hat {b}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\hat {\mu }}|.$

koji otkriva vezu između Laplasove raspodele i minimalnih apsolutnih odstupanja . Korekcija za male uzorke može primeniti na sledeći način :

${\hat {b}}^{*}={\hat {b}}\cdot n/(n-2)$

(pogledajte: eksponencijalna distribucija#Procena parametara ).

Pojava i primena

Laplasova raspodela je često korišćena u prepoznavanju govora za modeliranje prioriteta na DFT koeficijentima i u kompresiji JPEG slike za modeliranje AC koeficijenata koje su generisane od strane DCT .

Prilagođena Laplasova raspodela maksimalnih jednodnevnih padavina

• U regresionoj analizi, procena najmanjih apsolutnih odstupanja se nastaje kao procena najveće verovatnoće ako greške imaju Laplasovu raspodelu.
• Laso se može smatrati Bajesovom regresijom sa Laplasovim priorom za koeficijente.
• U hidrologiji se Laplasova raspodela primenjuje na ekstremne događaje kao što su godišnje maksimalne jednodnevne padavine i proticaji reke. Plava slika, napravljena sa CumFreq-om, ilustruje primer prilagođavanja Laplasove raspodele rangiranim godišnjim maksimalnim jednodnevnim padavinama, pokazujući takođe pojas pouzdanosti od 90% zasnovan na binomnoj raspodeli . Podaci o padavinama su predstavljeni iscrtavanjem pozicija kao deo analize kumulativne frekvencije .
• Laplasova distribucija ima primenu u finansijama. Na primer, S.G. Kou je razvio model za cene finansijskih instrumenata koji uključuje Laplasovu raspodelu (u nekim slučajevima asimetričnu Laplasovu raspodelu ) da bi se pozabavio problemima nagnutosti, kurtozisa i nestabilnog osmeha koji se često javljaju kada se koristi normalna distribucija za određivanje cena ovih instrumenata.

Laplasova raspodela, budući da je kompozitna ili dvostruka raspodela, primenljiva je u situacijama kada niže vrednosti nastaju pod različitim spoljnim uslovima od viših tako da slede drugačiji obrazac.

Generisanje slučajnih varijacija

Slučajna promenljiva $U$ koja je zadata, izvučena je iz ravnomerne raspodele u intervalu $\left(-1/2,1/2\right)$. slučajna promenljiva

$X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)$

ima Laplasovu raspodelu sa parametrima $\mu$ i $b$ . Ovo je sledilo iz iznad date funkcije inverzne kumulativne raspodele.

${\textrm {Laplace}}(0,b)$ varijanta se takođe može generisati kao razlika dva i.i.d. ( Independent identically-distributed ) ${\textrm {Exponential}}(1/b)$ nasumične promenljive . Jednako prvoj, ${\textrm {Laplace}}(0,1)$ se takođe može generisati kao logaritam odnosa dve i.i.d. uniformne slučajne promenljive.

Istorija

Ova raspodela se često naziva "Laplasov prvi zakon grešaka". Objavljen je 1774. godine, ada je primetio da se učestalost greške može izraziti kao eksponencijalnom funkcijom njene veličine kada se njen znak zanemari. Laplas će kasnije ovaj model zameniti svojim „drugim zakonom grešaka“, zasnovanim na normalnoj raspodeli, nakon otkrića centralne granične teoreme

Kejns je svoj rad objavio 1911. godine. Rad je zasnovan na njegovoj tezi od ranije, u kojoj je pokazao da je Laplasova raspodela umanjila apsolutno odstupanje od medijane.

Vidi još

• Generalizovana normalna distribucija#Simetrična verzija
• Multivariate Laplace distribution
• Besov measure, generalizacija Laplasove raspodele na funkcionalne prostore
• Košijeva raspodela
• <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)" rel="mw:ExtLink" title="Characteristic function (probability theory)" class="cx-link" data-linkid="282">Characteristic function (probability theory)</a>

Spoljašnje veze

• Hazewinkel, Michiel, ur. (2001) [1994], „Laplace distribution”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4