Хилбертов простор

Хилбертов простор је математички концепт који генерализује еуклидски простор. У њему се методе векторске алгебре и анализе из еуклидске равни и тродимензионалног простора проширују на простор са коначним или бесконачним бројем димензија. Добио је име по Давиду Хилберту.

Хилбертов простор се често појављује у математици, физици и инжињерству, типично као пресликавања бесконачног броја димензија.

Геометријске аналогије имају велики значај у разумевању теорије Хилбертових простора. За њих постоји еквивалентна Питагорина теорема и закон паралелограма.

Дефиниција и илустрација

Уводни пример: еуклидски простор

Један од најјаснијих примера Хилбертових простора је еуклидски простор који се састоји из тродимензионалних вектора, означавамо га са R³, у коме је дефинисан оператор производа. Овај производ узима два вектора x и y као аргументе и као резултат даје реалан број x·y. Ако су x и y представљени у Декартовим координатама, онда се оператор производа дефинише као:

$(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.$

Оператор производа задовољава следеће услове:

1. Симетричан је у односу на x и y: x·y = y·x.
2. Линеаран је у односу на први аргумент: (ax₁ + bx₂)·y = ax₁·y + bx₂·y за било које скаларе a, b и векторе x₁, x₂ и y.
3. То је позитивна билинеарна форма: за све векторе x, x·x ≥ 0, где знак једнакости важи ако и само ако је x = 0.

Операција над паром вектора која задовољава ова три услова се назива векторски производ. Сваки векторски простор са коначним бројем димензија у коме је дефинисан векторски производ представља Хилбертов простор. Карактеристика горедефинисаног оператора множења која га повезује са еуклидском геометријом је што зависи и од дужине (или интензитета) вектора, који се означава са ||x||, и од угла θ између вектора x и y. Та зависност се изражава формулом:

$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.$

Математички низ

$\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n$

који се састоји из вектора у R³ апсолутно конвергира под условом да сума дужина конвергира (као у случају низа реалних бројева):

$\sum_{k=0}^\infty \|\mathbf{x}_k\| < \infty.$

Слично низу скалара, низ вектора који апсолутно конвергира истовремено конвергира ка неком вектору L у еуклидском простору, и то тако да:

$\left\|\mathbf{L}-\sum_{k=0}^N\mathbf{x}_k\right\|\to 0\quad\text{када }N\to\infty.$

Дефиниција

Хилбертов простор H је реалан или комплексан векторски простор који је истовремено и Кошијев метрички простор у односу на метричку функцију векторског производа. Какда кажемо да је H комплексни векторски простор, то значи да у H постоји производ 〈x,y〉 који пару елемената x,y из H, придружује комплексну вредност, при чему је:

• 〈y,x〉 је конјугован комплексан број од 〈x,y〉:

$\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.$

• 〈x,y〉 је линеарна по првом аргументу. За све комплексне бројеве a и b,

$\langle ax_1+bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle.$

• Производ је позитивна билинеарна форма:

$\langle x,x\rangle \ge 0$

где знак једнакости важи за x = 0.

Реални векторски простор се дефинише на исти начин, осим што векторски производ има реалне вредности.

Интензитет вектора дефинише се као производ 〈•,•〉 у облику реалне функције:

$\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle},$

а растојање између тачака x,y у H дефинише се помоћу интензитета на следећи начин:

$d(x,y)=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}.$

Ово је функција метрике, што значи да (1) да је симетрична по x и y, (2) да је растојање између x и x нула, а да су остала растојања између x и y позитивна, (3) да важи неједнакост троугла, што значи да дужина странице a у троуглу xyz не може бити дужа од збира преостале две странице:

$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).$

Последња особина је последица Коши-Шварцове неједнакости која тврди да:

$|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|$

где знак једнакости важи када су x и y линеарно зависни.

Када се функција удаљености дефинише на овај начин, као функција метрике, онда векторски простор постаје пре-Хилбертов простор. Сваки копмплетан пре-Хилбертов простор је Хилбертов простор. Комплетност се дефинише условом: ако за низ вектора важи $\textstyle{\sum_{k=0}^\infty u_k}$ апсолутно конвергира тако да

$\sum_{k=0}^\infty\|u_k\| < \infty,$

тада низ конвергира у H, у смислу да парцијалне суме теже неком елементу H.

Као Кошијеви нормирани простори, Хилбертови простори су по дефиницији и Банахови простори. Они су и тополошки векторски простори у којима су дефинисаани тополошки појмови отворених и затворених подскупова.

Спољашње везе

• Хилбертов простор на Mathworld