Пређи на садржај

Хармонијска анализа

С Википедије, слободне енциклопедије
Хармоници боја. График хармонијске анализе показује како различите таласне дужине формирају интеракције са црвеним светлом. На растојању од λ/2 (половини таласне дужине), црвена је савршено синхронизована са својим другим хармоником у ултраљубичастој светлости. Све остале таласне дужине у визуелном спектру имају мању разлику од λ/2 међу собом, формирајући хармонијске осцилације у комбинованим таласима. Код λ/14, осцилације круже сваког 14. таласа, док на λ/8 оне круже сваког 8. таласа. Осцилације су најбрже на λ/4, кад круже на сваком четвртом таласу, док на λ/3 круже на сваком 7. таласу, а на λ/2,5 круже на сваком 13-том. У доњој секцији је приказано како λ/4 хармоника делује у видљиву светлости (зелено и црвено), фотографисано на у оптичкој равни.

Хармонијска анализа је грана математике која се бави репрезентацијом функција или сигнала као суперпозиције основних таласа, као и студирањем и генерализацијом нотације Фуријеових редова и Фуријеових трасформација (и.е. проширена форма Фуријеове анализе). Током задња два века, то је постала значајна тема са применама у разним областима као што су теорија бројева, теорија репрезентације, обрада сигнала, квантна механика, анализа плиме и неуронаука.

Термин „хармоници” потиче од старогрчке речи harmonikos, са значењем „вешт у музици”.[1] У физичким проблемима сопствених вредности, овај термин је почео да означава таласе чије су фреквенције целобројни умношци један другог, као што су фреквенције хармоника музичких нота, мада је тај појам генерализован изван почетног значења.

Класична Фуријеова трансформација на Rn је још увек област текућих истраживања, посебно у погледу Фуријеове трансформације на генералнијим објектима као што су модификоване расподеле. На пример, ако се услове извесни захтеви на дистрибуцију f, може се покушати да се они транслирају у смислу Фуријеове трансформације f. Пример тога је Пали-Винерова теорема. Она непосредно подразумева да ако је f ненулта расподела компактних носаћих функција, онда њена Фуријеова трансформација никада није компактно подржана. Ово је врло елементарни облик принципа неодређености у окружењу хармонијске анализе. Такође погледајте: конвергенцију Фуријеове серије.

Фуријеове серије могу се погодно проучавати у контексту Хилбертових простора, што пружа везу између хармонијске анализе и функционалне анализе.

Примењена хармонијска анализа

[уреди | уреди извор]
Временски сигнал бас гитаре А ноте отворене жице (55 Hz)
Фуријева трансформација временског сигнала бас гитаре А ноте отворене жице (55 Hz)[2]

Многе примене хармонијске анализе у науци и инжењерству почињу идејом или хипотезом да је феномен или сигнал састављен од суме појединачних осцилаторних компоненти. Океанска плима и вибрирајуће струне уобичајени су и једноставни примери. Уобичајен теоретски приступ је да покуша да се опише систем диференцијалном једначином или системом једначина да би се предвиделе суштинске карактеристике, укључујући амплитуду, фреквенцију и фазе осцилационих компоненти. Специфичне једначине зависе од поља, мада теорије углавном покушавају да одаберу једначине које представљају главне применљиве принципе.

Експериментални приступ се обично састоји од прикупљања података који тачно квантификују феномен. На пример, у истраживању плима, експерименталиста би прибавио податке о дубини воде као функције времена у довољно блиско размакнутим интервалима да се види свака осцилација и током довољно дугог периода да су обухваћени вишеструки осцилациони периоди. У изучавању вибрирајућих струна, уобичајено је да експерименталиста прибави узорке звучних таласних форми узорковане брзином која је најмање двоструко већа од највише очекиване фреквенције и у трајању много пута већем од очекиване најниже фреквенције.

На пример, горњи сигнал приказан са десне стране је звучни таласни облик бас-гитаре која је свирана отвореном жицом и која одговара А ноти са основном фреквенцијом од 55 Hz. Таласни облик изгледа осцилаторно, али је сложенији од једноставног синусног таласа, што указује на присуство додатних таласа. Различите таласне компоненте које доприносе звуку могу се открити применом технике математичке анализе познате као Фуријеова трансформација, чији је резултат приказан на доњој слици. Уочљиво је да постоји истакнути пик на 55 Hz, као и да постоје и други пикови на 110 Hz, 165 Hz и на другим фреквенцијама које одговарају целобројним умношцима од 55 Hz. У овом случају је 55 Hz идентификовано као основна фреквенција вибрације низа, а целобројни умношци су познати као хармоници.

Апстрактна хармонијска анализа

[уреди | уреди извор]
Лорд Келвинов хармонијски аналатор из 1876. годиен, Хунтеријански музеј, Глазгов

Једна од најмодернијих грана хармонијске анализе, који корени су формирани средином 20. века, јесте анализа тополошких група. Основне мотивишуће идеје су разне Фуријеове трансформације, које се могу генерализовати до трансформације функција дефинисаних на Хаусдорфовим локално компактним тополошким групама.

Теорија за абелове локално компактне групе назива се Понтрјагинова дуалност. Хармонијска анализа проучава својства те дуалности и Фуријеове трансформације и покушава да прошири те карактеристике на различита подешавања, на пример на случај неабеловских Лијевих група.

За опште неабеловске локално компактне групе, хармонијска анализа је уско повезана са теоријом репрезентација унитарних група. За компактне групе, Петер-Вајлова теорема објашњава како се могу добити хармоници одабиром једног нередуцибилног приказа из сваке еквивалентне класе репрезентација. Овај избор хармоника има нека од корисних својстава класичне Фуријеове трансформације у смислу преношења конволуција до тачно одређених производа, или на неки други начин показује одређено разумевање исходишне структуре група. Такође погледајте некомутативну хармонијску анализу.

Ако група није ни абеловска, ни компактна, за сада није позната опште задовољавајућа теорија („задовољавајућа” у смислу да је барем јака, колико и Планшерелова теорема). Међутим, анализирани су многи конкретни случајеви, на пример SLn. У овом случају репрезентације у бесконачним димензијама играју пресудну улогу.

Друге гране

[уреди | уреди извор]

Референце

[уреди | уреди извор]

Литература

[уреди | уреди извор]

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]