Kompleksna analiza

Grafikon kola boja funkcije f(z) = (z² − 1)(z + 2 − i)² / (z² + 2 - 2i).
Nijanse predstavljaju argumente, a osvetljenost magnitude.

Kompleksna analiza, tradicionalno poznata kao teorija funkcija kompleksne promenljive, je grana matematike koja proučava funkcije kompleksnih brojeva. Kompleksna analiza je vrlo korisna u mnogim granama matematike, uključujući teoriju brojeva i primenjenu matematiku.

Kompleksna analiza se posebno fokusira na analitičke funkcije kompleksnih promenljivih, koje se obično dele u dve glavne klase: holomorfne funkcije i meromorfne funkcije. Kako razdvojivi realni i imaginarni delovi svake analitičke funkcije moraju da zadovolje Laplasovu jednačinu, kompleksna analiza je široko primenjiva na dvodimenzione probleme u fizici.

Kompleksne funkcije

Kompleksna funkcija je funkcija u kojoj su nezavisna promenljiva i zavisna promenljiva obe kompleksni brojevi. Preciznije, kompleksna funkcija je funkcija koja preslikava domen, koji je podskup kompleksne ravni takođe u podskup kompleksne ravni.

Kod svake kompleksne funkcije, i nezavisna promenljiva i zavisna promenljiva mogu biti razdvojene na realan i imaginaran deo:

$z=x+iy\,$ i

$w=f(z)=u(z)+iv(z)\,$

gde su $x,y\in \mathbb {R} \,$ i $u(z),v(z)\,$ realne funkcije.

Drugim rečima, komponente funkcije f(z),

$u=u(x,y)\,$ i

$v=v(x,y),\,$

se mogu interpretirati kao realne funkcije dve promenljive, x i y.

Osnovni pojmovi kompleksne analize se često uvode proširivanjem elementarnih realnih funkcija (eksponenata, logaritama i trigonometrijskih funkcija) u kompleksan domen.

Izvodi i Koši-Rimanove jednačine

Kao i u realnoj analizi, glatka kompleksna funkcija w = f(z) može da ima izvod u pojedinačnoj tački svog domena Ω. U stvari, definicija izvoda

$f^{\prime }(z)={\frac {dw}{dz}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\,$

je analogna onoj u realnoj analizi, uz jednu vrlo bitnu razliku. U realnoj analizi, limesu se može prići samo duž jednodimenzione prave. U kompleksnoj analizi, limesu se može prići iz bilo kog pravca duž dvodimenzione kompleksne ravni.

Ako ovaj limes, izvod, postoji u svakoj tački z iz Ω, onda se kaže da je f(z) diferencijabilna na Ω. Može se pokazati da je svaka diferencijabilna funkcija f(z) analitička. Ovo je mnogo moćniji rezultat nego kod analogne teoreme koja se može dokazati za realne funkcije. U realnoj analizi možemo da konstruišemo funkciju f(x) koja ima prvi izvod na celom domenu, ali čiji drugi izvod ne postoji u jednoj ili više tačaka domena. Međutim, u kompleksnoj ravni, ako je funkcija f(z) diferencijabilna u nekoj okolini, ona mora biti beskonačno diferencijabilna na toj okolini.

Primenom metoda vektorske analize za izračunavanje parcijalnih izvoda dve realne funkcije u(x, y) i v(x, y) u koje se funkcija f(z) može rastaviti, i razmatranjem dve putanje koje vode do tačke z iz Ω, može se pokazati da izvod postoji ako i samo ako

$f^{\prime }(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}.\,$

Izračunavanjem realnih i imaginarnih delova ova dva izraza, dobijamo tradicionalnu formulaciju Koši-Rimanovih jednačina:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,$ ili zapisano na drugi način, $u_{x}=v_{y}\qquad u_{y}=-v_{x}.\,$

Diferenciranjem ovog sistema dve parcijalne diferencijalne jednačine prvo u odnosu na x, a onda u odnosu na y, lako se može pokazati da

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0\,$ ili zapisano na drugi način, $u_{xx}+u_{yy}=v_{xx}+v_{yy}=0.\,$

Drugim rečima, realni i imaginarni delovi diferencijabilne funkcije kompleksne promenljive su harmoničke funkcije jer zadovoljavaju Laplasovu jednačinu.

Holomorfne funkcije

Glavni članak: Holomorfne funkcije

Holomorfne funkcije su kompleksne funkcije definisane na otvorenom podskupu kompleksne ravni koje su diferencijabilne. Kompleksna diferencijabilnost ima mnogo jače posledice nego uobičajena (realna) diferencijabilnost. Na primer, holomorfne funkcije su beskonačno diferencijabilne, što nikako ne važi za realno diferencijabilne funkcije. Većina elementarnih funkcija, uključujući eksponencijalnu funkciju, trigonometrijske funkcije, i sve polinomijalne funkcije, su holomorfne.

Literatura

• Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4. 
• Ahlfors, L., Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
• Stephen D. Fisher, Complex Variables, 2 ed. (Dover, 1999).
• Carathéodory, C., Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, New York). [2 volumes.]
• Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 10 ed., Ch. 13–18 (Wiley, 2011).
• Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
• Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. 3 ed. (Freeman, 1999).
• Needham, T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
• Rudin, W., Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).
• Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
• Spiegel, Murray R. Theory and Problems of Complex Variables – with an introduction to Conformal Mapping and its applications (McGraw-Hill, 1964).
• Stein & Shakarchi, Complex Analysis (Princeton, 2003).
• Ablowitz & Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).
• Blakey, Joseph (1958). University Mathematics (2nd izd.). London: Blackie and Sons. OCLC 2370110. 
• McKeague, Charles P. (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. str. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9. 
• Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). „Chapter P”. College Algebra and Trigonometry (6 izd.). Cengage Learning. str. 66. ISBN 978-0-618-82515-8. 
• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6. 
• Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6. 
• Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Section 5.5 Complex Arithmetic”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd izd.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Arhivirano iz originala 13. 03. 2020. g. Pristupljeno 27. 06. 2023. 
• Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd izd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9. 
• Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2. 
• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. 
• H.D. Ebbinghaus; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover izd.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. 
• The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, by Roger Penrose; Alfred A. Knopf. 2005. ISBN 978-0-679-45443-4. Chapters 4–7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
• Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, by John Derbyshire; Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7. (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.
• Visual Complex Analysis, by Tristan Needham; Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1. (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.
• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I. (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 2 edition (12 September 2005). ISBN 978-0-387-90328-6. 
• d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné.  Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.
• Chanson, H. (2007). „Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange” [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 93 (5): 127—131. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050. doi:10.1051/lhb:2007072 . 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2. 
• Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1. 
• Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. str. 32. 
• Gray, J. D.; Morris, S. A. (april 1978). „When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic?”. The American Mathematical Monthly. 85 (4): 246—256. JSTOR 2321164. doi:10.2307/2321164. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Looman, H. (1923). „Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen”. Göttinger Nachrichten (na jeziku: nemački): 97—108. 
• Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis (3rd izd.). McGraw Hill (objavljeno 1987). ISBN 0-07-054234-1. 
• Ahlfors, Lars (1953). Complex analysis (3rd izd.). McGraw Hill (objavljeno 1979). ISBN 0-07-000657-1. 
• Solomentsev, E.D. (2001). „Cauchy–Riemann conditions”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Stewart, Ian; Tall, David (1983). Complex Analysis (1st izd.). CUP (objavljeno 1984). ISBN 0-521-28763-4. 

Spoljašnje veze

• Wolfram Research's MathWorld Complex Analysis Page
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Analytic function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.