Planimetrija

Planimetrija (lat. planum - ravan, grč. μετρεω - merim) je deo elementarne geometrije u kojem se izučavaju svojstva figura koje leže u ravni.

U srednjoj školi, u nastavi matematike, obično se nakon planimetrije prelazi na izučavanje drugog dela elementarne geometrije - stereometrije, koja izučava svojstva figura u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru. Metodika nastave matematike, kada se oba dela elementarne geometrije izučavaju istovremeno, naziva se fuzionizam. Najpotpunije, sistematizovano izlaganje planimetrije prvi put je bilo sprovedeno u knjizi Elementi starogrčkog naučnika Euklida.

Zbog velikog obima teme, u nastavku izlažemo samo osnovne pojmove, likove i rezultate, a detalje i dokaze potražite u linkovima, tokom priloga.

Mnogougao (poligon)

Mnogougao je zatvorena izlomljena linija. Segmenti izlomljene linije nazivaju se stranice mnogougla, a krajevi segmenata - temena.

Zbir unutrašnjih uglova mnogougla, n-to ugla je 180°(n-2), gde je n = 3, 4, 5, ... .
Zbir spoljnih uglova je 360°.
Površinu određujemo tako da mnogougao rastavimo na trouglove.
Mnogougao je pravilan ako su mu sve stranice i svi uglovi međusobno jednaki. Druga definicija, mnogougao je pravilan, ako se oko njega i u njega može upisati kružnica. Za pravilne mnogouglove sa n stranica važi:
- centralni ugao α=360°/n;
- spoljni ugao β=360°/n;
- unutrašnji ugao γ=180°-β;
- ako je R poluprečnik opisane i r poluprečnik upisane kružnice (apotema), onda je stranica

a=2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}=2R\sin {\frac {\alpha }{2}}=2r\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}.

- Površina pravilnog n-to ugla je

P={\frac {1}{2}}nar=nr^{2}\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin \alpha ={\frac {1}{4}}na^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\alpha }{2}}.

Elementi pravilnih mnogouglova

U sledećoj tabeli, n je broj stranica pravilnog mnogougla (poligona), P je površina pravilnog mnogougla, a je stranica, R je poluprečnik opisanog kruga, r je apotema (poluprečnik upisanog kruga).

*Elementi pravilnih poligona*
n	${\frac {P}{a^{2}}}$	${\frac {P}{R^{2}}}$	${\frac {P}{r^{2}}}$	${\frac {R}{a}}$	${\frac {R}{r}}$
3	0,4330	1,2990	5,1962	0,5774	2,0000
4	1,0000	2,0000	4,0000	0,7071	1,4142
5	1,7205	2,3776	3,6327	0,8507	1,2361
6	2,5981	25981	3,4641	1,0000	1,1547
7	3,6339	2,7364	3,3710	1,1524	1,1099
8	4,8284	2,8284	3,3137	1,3066	1,0824
9	6,1818	2,8925	3,2757	1,4619	1,0642
10	7,6942	2,9389	3,2492	1,6180	1,0515
12	11,196	3,0000	3,2154	1,9319	1,0353
15	17,642	3,0505	3,1883	2,4049	1,0223
16	20,109	3,0615	3,1826	2,5629	1,0196
20	31,569	3,0902	3,1677	3,1962	1,0125
24	45,575	3,1058	3,1597	3,8306	1,0086
32	81,225	3,1214	3,1517	5,1012	1,0048
48	183,08	3,1326	3,1461	7,6449	1,0021
64	325,69	3,1366	3,1441	10,190	1,0012
...	...	...	...	...	...
∞	∞	Pi	Pi	∞	1

Trougao

Detaljnije o formulama uz pojmove koji slede potražite u ravninska trigonometrija (rešavanje trougla).

Nejednakost trougla: zbir dve stranice trougla uvek je veći od treće stranice, $b+c>a.\,$
Zbir uglova u trouglu jednak je ispruženom uglu, $\alpha +\beta +\gamma =180^{o}.\,$

Trougao je potpuno određen ako je zadato (v. podudarnost trouglova):

sve tri stranice;
dve stranice i ugao među njima;
stranica i dva ugla na njoj;
ako su zadate dve stranice i ugao nasuprot jednoj od tih stranica, onda su određena dva, jedan ili nijedan trougao, kao što se vidi na slici (1) desno.

Težišnica (medijana) trougla je duž (prava) koja spaja vrh sa sredinom suprotne stranice trougla. Težište je tačka u kojoj se seku težišnice. Težište deli težišnicu u odnosu 2:1 počev od vrha. Dužina težišnice na stranicu a je $t_{a}={\frac {\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}{2}}.$
Simetrala ugla trougla je duž (prava) koja polovi unutrašnji ugao trougla. Simetrale uglova seku se u jednoj tački koja je centar upisane kružnice trougla. Dužina simetrale ugla alfa je $s_{\alpha }={\frac {\sqrt {bc[(b+c)^{2}-a^{2}]}}{b+c}}.$ Ako simetrala ugla deli stranicu a na odsečke m i n, onda je $m:n=c:b.\,$
Visina trougla je okomica spuštena iz vrha trougla na suprotnu stranicu. Ortocentar je tačka u kojoj se seku visine trougla.
Centar opisane kružnice trougla je tačka preseka simetrala stranica trougla.
Težišnica, visina i simetrala ugla, ka istoj strani trougla, podudaraju se ako su druge dve stranice trougla jednake, tj. ako imamo jednakokraki trougao. Obrnuto, ako se dva od tih pravaca podudaraju, trougao će biti jednakokrak.
Jednakostranični trougao je onaj kod kojeg su sve tri stranice jednake (a=b=c). Sva tri njegova ugla su po 60°. U njemu se podudaraju sve četiri značajne tačke trougla: težište, ortocentar, centar upisane kružnice, centar opisane kružnice.
Srednja linija trougla (središnjica) je duž (prava) koja spaja sredine dve stranice trougla. Ona je paralelna sa trećom stranicom trougla i jednaka polovini njene dužine.
Površina trougla: $P_{\Delta }={\frac {ah_{a}}{2}}={\frac {ab\sin \gamma }{2}}=rp={\frac {abc}{4R}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$ gde je $p={\frac {a+b+c}{2}}$ poluobim, r poluprečnik upisane, R poluprečnik opisane kružnice datog trougla.
Trouglovi (a takođe i višeuglovi, tj. mnogouglovi, sa jednakim brojem stranica) su slični ako su im odgovarajući uglovi jednaki i odgovarajuće stranice proporcionalne. Za sličnost trouglova dovoljno je da su ispunjena dva od ovih uslova: (1) tri stranice jednog trougla proporcionalne su trima stranicama drugog trougla; (2) dva ugla jednog trougla jednaki su sa dva ugla drugog trougla; (3) dve stranice jednog trougla proporcionalne su sa dve stranice drugog trougla, a uglovi među njima su jednaki.
Površine sličnih likova proporcionalne su kvadratima odgovarajućih linearnih elemenata (stranica, visina, dijagonala itd.).

Pravougli trougao

Na slici (3) desno, s je hipotenuza, a i b su katete pravouglog trougla ABC.

a^{2}+b^{2}=c^{2},\,

Pitagorina teorema.

h^{2}=pq,\;a^{2}=pc,\;b^{2}=qc.

Površina pravouglog trougla je:

P={\frac {1}{2}}ab={\frac {1}{2}}b^{2}\operatorname {tg} \alpha ={\frac {1}{4}}c^{2}\sin 2\alpha .

Četvorougao

Zbir (unutrašnjih) uglova svakog konveksnog četvorougla je 360°.
Ako je $m={\overline {MN}}$ odsečak koji spaja sredine dijagonala, slika 4 levo, tada je:

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+4m^{2}.

Površina četvorougla je $P={\frac {1}{2}}d_{1}d_{2}\sin \alpha .$
Tangentni četvorougao je onaj u kojeg možemo upisati kružnicu.
U četvorougao možemo upisati kružnicu ako i samo ako je $a+b=c+d.$
Tetivni četvorougao je onaj oko kojeg se može opisati kružnica.
Oko četvorougla možemo opisati kružnicu tada i samo tada ako je $\alpha +\beta =\gamma +\delta =180^{o},$ tj. ako su mu naspramni uglovi suplementni.
Za upisani četvorougao je $ac+bd=d_{1}d_{2}.$ (Ptolemejeva teorema)
Površina upisanog četvorougla je $P={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},$ gde je $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ poluobim četvorougla.

Paralelogram

Definicije paralelograma. Paralelogram je četvorougao koji ima jednu od sledećih osobina; on tada ima i sve ostale nabrojane osobine:

suprotne stranice su paralelne;
suprotne stranice su jednake;
jedan par suprotnih stranica je paralelan i jednak;
dijagonale se polove (seku se u tački koja je sredina svake od njih posebno);
suprotni uglovi su jednaki.

Dijagonale i stranice (sl.4.) paralelograma su u relaciji: $d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).$
Površina paralelograma je: $P=ah.\,$

Pravougaonik i kvadrat

Paralelogram je pravougaonik ako ima:

sve uglove jednake;
jednake dijagonale.

Svaka od dve navedene osobine je posledica one druge.

Površina pravougaonika (sl.6.) je: $P=ab,\,$ gde su $a,\;b\,$ susedne stranice.

Pravougaonik je kvadrat, ako su mu susedne stranice jednake. Osobine kvadrata su:

a=b,\;d={\sqrt {2}}a\approx 1,414a,\;a={\frac {\sqrt {2}}{2}}d\approx 0,707d.

Površina kvadrata je $P=a^{2}={\frac {1}{2}}d^{2}.$

Romb

Paralelogram je romb ako ima:

sve stranice jednake;
dijagonale međusobno okomite;
dijagonale su simetrale uglova.

Kada je ispunjeno jedno od ovih osobina onda su kao posledica ispunjena i ostala dva.

d_{1}=2a\sin {\frac {\alpha }{2}},\;d_{2}=2a\cos {\frac {\alpha }{2}},\;d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=4a^{2}.

Površina romba je $P=ah=a^{2}\sin \alpha ={\frac {1}{2}}d_{1}d_{2}.$

Trapez

Trapez je četvorougao koji ima jedan par paralelnih strana.

Paralelne strane trapeza nazivaju se osnovice, a neparalelne su kraci trapeza. Na slici (8) levo, a i b su osnovice trapeza, h je visina, m je srednja linija (središnjica), tj. duž (ponekad se definiše i kao prava) koja spaja sredine neparalelnih stranica. Ona je paralelna sa osnovicama i jednaka njihovom poluzbiru, $m={\frac {a+b}{2}}.$

Površina trapeza je $P={\frac {a+b}{2}}h=mh.$ Trapez je jednakokrak ako je d = c. U tom slučaju je $P=(a-c\cos \gamma )c\sin \gamma =(b+c\cos \gamma )c\sin \gamma .\,$

Kružnica

Kružnica $k,\,$ na slici (9) desno, ima poluprečnik (radijus) $r=CA=CB=CP,\,$ i prečnik (dijametar) $d=2r=AP.\,$
Tetiva je duž koja spaja dve tačke na kružnici (AB).
Centralni ugao ACB dvostruko je veći od perifernog APB nad istom tetivom AB, tj. $\angle ACB=2\phi .$
Tangenta je prava t koja dodiruje kružnicu u (jednoj) tački A.
Ugao između tangente i tetive u istoj tački jednak je perifernom uglu nad istom tetivom $\angle tAB=\angle APB=\phi .$
Sečica (sekanta) je prava koja seče kružnicu; sečica je prava na kojoj leži tetiva.
Ugao između tetiva jednak je poluzbiru centralnih uglova nad krajevima tih tetiva.
Za tetive AB i CD koje se seku u tački E važi $EA\cdot EB=EC\cdot ED=r^{2}-m^{2},$ gde je r poluprečnik kružnce, a m je udaljenost od centra kruga do tačke preseka tetiva E.
Ugao između sečica jednak je polurazlici centralnih uglova nad krajevima pridruženih tetiva.
Ugao između tangente i sečice jednak je polurazlici centralnih uglova nad krajevima pridružene tetive i dodorne tačke tangente.
Ugao između tangenti jednak je polurazlici centralnih uglova nad dodirnim tačkama tangenti.

Moć tačke u odnosu na krug, slika levo (sl.10), je broj jednak proizvodu dužina odsečaka $MA\cdot MB$ svake sečice koja prolazi kroz tačku M i preseca kružnicu u tačkama A i B. Moć tačke se naziva i potencija tačke u odnosu na krug.
Moć tačke M je konstanta datog kruga (sl.10) i važi

MA\cdot MB=MC\cdot MD=MT^{2}=m^{2}-r^{2},

gde je r poluprečnik kružnice, a m je udaljenost od centra kruga do tačke M.

Za obim kruga s i površinu kruga P (r je poluprečnik, d je prečnik) važi:
broj pi je odnos obima i prečnika kruga, tj. $\pi ={\frac {s}{d}}=3,141592653589793...;$
$s=2\pi r\approx 6,283r;\;s=\pi d\approx 3,142d;\;s=2{\sqrt {\pi P}}\approx 3,545{\sqrt {P}};$
$P=\pi r^{2}\approx 3,142r^{2};\;P={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0,785d^{2};\;P={\frac {sd}{4}}=0,25sd;$
$r={\frac {s}{2\pi }}\approx 0,159s;\;d=2{\sqrt {\frac {P}{\pi }}}\approx 1,128{\sqrt {P}}.$

Odsečak (segment) i isečak (sektor) kruga

Na slici (11) desno prikazan je odsečak kruga, segment, tj. gornji deo počev od tetive a, i isečak kruga, sektor, tj. cela figura na slici. Za poluprečnik r kruga, dužinu luka l, tetivu a, centralni ugao α u stepenima i visinu segmenta h važe izrazi:

a=2{\sqrt {2hr-h^{2}}}=2r\sin {\frac {\alpha }{2}};

h=r-{\sqrt {r^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}=r\left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {a}{2}}\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{4}};

l={\frac {2\pi r\alpha }{360}}\approx 0,01745r\alpha .

Približno je $l={\frac {8b-a}{3}},$ ili $l={\sqrt {a^{2}+{\frac {16}{3}}h^{2}}}.$

Površina isečka (sektora): $P_{I}={\frac {\pi r^{2}\alpha }{360}}\approx 0,00873r^{2}\alpha .$

Površina odsečka (segmenta): $P_{O}={\frac {r^{2}}{2}}\left({\frac {\pi \alpha }{180}}-\sin \alpha \right)={\frac {lr-a(r-h)}{2}}.$

Približno je $P_{O}={\frac {h}{15}}(6a+8b).$

Kružni prsten

Na slici (12) desno, prikazan je kružni prsten. Prečnik većeg kruga je $D=2R,$ prečnik manjeg kruga $d=2r,$ srednji poluprečnik $\rho ={\frac {R+r}{2}},$ širina prstena $b=R-r.$