1 (broj)

1
−2 · −1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4
Kardinalni broj	jedan
Redni broj	prvi
Delioci	1
Faktorizacija	/
Rimski	I
Binarno	1
Oktalno	1
Duodecimalno	1
Heksadecimalno	1
φ(1)	0
σ(1)	1
π(1)	0
μ(1)	1
M(1)	1

1

1 (jedan) je broj, numeral i ime glifa koji predstavlja taj broj. To je prirodni broj koji se javlja posle broja 0, a prethodi broju 2.

Stari Heleni jedan nisu smatrali brojem. To je za njih bila monada, jednota, nerazdeljiva celina. Smatrali su da se jedinica ne može razdeljivati bez gubljenja svojstva jedne celine, jednote. Tek je dva bilo mnoštvo, te je predstavljalo broj.

Broj jedan se ne smatra ni prostim ni složenim brojem, mada postoje mišljenja da bi ga trebalo smatrati prostim brojem. U 20. veku definitivno je uklonjen iz tog spiska, a poslednji matematičar koji ga jeste smatrao prostim je Anri Lebesk (1875—1941).

Broj 1 ne može biti osnova pozicionog brojnog sistema jer su svi stepeni broja 1 i dalje 1.

Kao broj

Jedan, koji se ponekad naziva jedinica, prvi je prirodni broj različit od nule. Dakle, to je ceo broj posle nule.

Svaki broj pomnožen sa jedan ostaje taj broj, jer je jedan identitet za množenje. Kao rezultat, 1 je sopstveni faktorijel, sopstveni kvadrat i kvadratni koren, sopstvena kub i kubni koren, i tako dalje. Jedan je takođe rezultat praznog proizvoda, kao što je svaki broj pomnožen sa jedinicom sam po sebi. To je takođe jedini prirodan broj koji nije ni kompozitan ni prost u odnosu na deljenje, već se umesto toga smatra jedinicom (značenje teorije prstenova).

Evolucija razvoja grafičkog ispisa znaka

Grafički oblik koji se danas koristi za ispis brojke 1, uspravna linija, često sa malim serifom na vrhu i ponekad sa kratkom linijom u podnožju, vuče korene od Brahmana u Indiji koji su pisali 1 sa jednom položenom linijom. U kineskom jeziku i danas se tako piše broj 1. Gupte su ispisivali tu crtu zakrivljeno, a Nagari su ponekad dodavali mali kružić sa leve strane. Ovaj znak, koji malo liči na položenu brojku 9 se danas može naći u Gudžarati i Pendžabi pismu. U nepalskom pismo je crta zaokrenuta nadesno ali sa istim kružićem na vrhu. Ovaj kružić je postao crtica na vrhu uspravne linije, a donja linija koja se ponekad ispisuje je potekla od ispisa rimske brojke I. U nekim jezicima (nemački) se mala kosa crta pretvara u veliku horizontalnu, što ponekad može dovesti do zamene sa brojkom 7 kod drugih naroda. Tamo gde se 1 piše sa velikom horizontalnom crtom 7 se piše sa još jednom horizontalnom linijom preko vertikalne.

U fontovima sa slovima i ciframa, 1 je tipično iste visine kao malo slovo X, na primer, .

U matematici

Za svaki broj x važi:

x·1 = 1·x = x

x/1 = x

x¹ = x, 1^x = 1

x⁰ = 1, ako je x različito od 0

x↑↑1 = x i 1↑↑x = 1

U desetičnom brojnom sistemu važi sledeća tvrdnja:

$1=0.999\dots =0.{\dot {9}}$

gde tačka iznad 9 označava da se 9 ponavlja beskonačan broj puta.

Definicije

Matematički, 1 je:

• u aritmetici (algebri) i računu, prirodni broj koji sledi 0 i multiplikativni element identiteta celih, realnih i kompleksnih brojeva;
• uopštenije, u algebri, multiplikativni identitet (koji se naziva i jedinstvo), obično grupe ili prstena.

Formalizacije prirodnih brojeva imaju svoje reprezentacije 1. U Peanovim aksiomima, 1 je naslednik 0. U Principia Mathematica je definisan kao skup svih singletona (skupova sa jednim elementom), a u Fon Nojmanovom kardinalnom dodeljivanju prirodnih brojeva, definiše se kao skup {0}.

U multiplikativnoj grupi ili monoidu, element identiteta se ponekad označava sa 1, ali e (od nemačkog Einheit, „jedinstvo“) je takođe tradicionalno. Međutim, 1 je posebno uobičajen za multiplikativni identitet prstena, tj. kada su takođe prisutni sabici i 0. Kada takav prsten ima karakteristiku n koja nije jednaka 0, element koji se zvan 1 ima osobinu da je n1 = 1n = 0 (gde je ovo 0 aditivni identitet prstena). Važni primeri su konačna polja.

Po definiciji, 1 je magnituda, apsolutna vrednost ili norma jediničnog kompleksnog broja, jediničnog vektora i jedinične matrice (češće se naziva matrica identiteta). Treba imati na umu da se termin matrica jedinica ponekad koristi da znači nešto sasvim drugo.

Po definiciji, 1 je verovatnoća događaja za koji je apsolutno ili skoro sigurno da će se dogoditi.

U teoriji kategorija, 1 se ponekad koristi za označavanje krajnjeg objekta kategorije.

U teoriji brojeva, 1 je vrednost Ležandrove konstante, koju je 1808. godine uveo Adrijen-Mari Ležandr u izražavanju asimptotičkog ponašanja funkcije brojanja prostih brojeva. Prvobitno se pretpostavljalo da je Ležandrova konstanta približno 1,08366, ali je dokazano da je jednaka tačno jedan 1899. godine.

Svojstva

Brojanje se često naziva „osnovom 1“, pošto je potrebna samo jedna oznaka – sam zbroj. Ovo se formalnije naziva unarnim numeričkim sistemom. Za razliku od baze 2 ili baze 10, ovo nije poziciona notacija.

Pošto je eksponencijalna funkcija baze 1 (1^x) uvek jednaka 1, njena inverzna funkcija ne postoji (koja bi se zvala logaritam baze 1 da postoji).

Postoje dva načina da se pravi broj 1 zapiše kao ponavljajuća decimala: kao 1,000... i kao 0,999.... 1 je prvi figurativni broj svake vrste, kao što su trougaoni broj, petougaoni broj i heksagonalni broj sa središtem, itd.

U mnogim matematičkim i inženjerskim problemima, numeričke vrednosti se obično normalizuju tako da spadaju u jedinični interval od 0 do 1, gde 1 obično predstavlja maksimalnu moguću vrednost u opsegu parametara. Isto tako, vektori se često normalizuju u jedinične vektore (tj. vektori veličine jedan), jer oni često imaju poželjnija svojstva. Funkcije se takođe često normalizuju pod uslovom da imaju integralnu jedinicu, maksimalnu vrednost jedan ili kvadratni integral, u zavisnosti od primene.

Zbog multiplikativnog identiteta, ako je f(x) multiplikativna funkcija, onda f(1) mora biti jednako 1.

Takođe je prvi i drugi broj u Fibonačijevom nizu (0 je nulti) i prvi je broj u mnogim drugim matematičkim nizovima.

Definicija polja zahteva da 1 ne sme biti jednako 0. Dakle, nema polja karakteristike 1. Ipak, apstraktna algebra može da razmatra polje sa jednim elementom, koji nije singleton i uopšte nije skup.

1 je najčešća vodeća cifra u mnogim skupovima podataka, posledica Benfordovog zakona.

1 je jedini poznati Tamagavin broj za jednostavno povezanu algebarsku grupu preko brojevnog polja.

Generišuća funkcija koja ima sve koeficijente 1 je data sa

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots$

Ova stepenska serija konvergira i ima konačnu vrednost ako i samo ako $|x|<1$.

Tabela osnovnih proračuna

Množenje	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20		21	22	23	24	25		50	100	1000
1 × x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20		21	22	23	24	25		50	100	1000

Deljenje	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15
1 ÷ x	1	0.5	0.3	0.25	0.2	0.16	0.142857	0.125	0.1	0.1		0.09	0.083	0.076923	0.0714285	0.06
x ÷ 1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15

Eksponencijacija	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1x	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
x1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

U tehnologiji

1 kao identifikacioni kod smole, koji se koristi u reciklaži

• Identifikacioni kod smole koji se koristi u reciklaži za identifikaciju polietilen tereftalata.
• ITU kod zemlje za oblast Severnoameričkog plana numeracije, koji uključuje Sjedinjene Države, Kanadu i delove Kariba.
• Binarni kod je niz od 1 i 0 koji se koristi u računarima za predstavljanje bilo koje vrste podataka.
• U mnogim fizičkim uređajima, 1 predstavlja vrednost za „uključeno“, što znači da struja teče.
• Numerička vrednost za istinito u mnogim programskim jezicima.
• 1 je ASCII kod „Početak zaglavlja”.

U hemiji

Jedan je redni broj i atomski broj hemijskog elementa vodonika.

U filozofiji

U Plotinovoj filozofiji (i filozofiji drugih neoplatonista), Jedno je krajnja stvarnost i izvor celokupnog postojanja. Filon Aleksandrijski (20. p. n. e. – 50. godine) smatrao je da je broj jedan Božji broj i osnova za sve brojeve („De Allegoriis Legum“, ii.12 [i.66]).

Neopitagorejski filozof Nikomah iz Gerase je potvrdio da jedan nije broj, već izvor broja. Takođe je verovao da je broj dva oličenje porekla drugosti. Njegovu teoriju brojeva obnovio je Boecije u svom latinskom prevodu Nikomahove rasprave Uvod u aritmetiku.

Vidi još

• 1. godina nove ere
• 1. godina pre nove ere

Literatura

• John J O'Connor and Edmund F Robertson (novembar 2000). „Indian numerals”. The MacTutor History of Mathematics archive. Arhivirano iz originala 2015-07-06. g. Pristupljeno 2007-07-24. CS1 održavanje: Format datuma (veza) Arhivirano na sajtu Wayback Machine (6. jul 2015)
• Ifrah, Georges (1998) [first published in French in 1981], The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer, Harvill, ISBN 978-1-860-46324-2 
• Menninger, Karl (2013) [first published by MIT Press in 1969], Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers, Prevod: Paul Broneer, Courier Corporation, ISBN 978-0-486-31977-3 
• Plofker, Kim (2009), Mathematics in India, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12067-6 
• Sarasvati, Svami Satya Prakash; Jyotishmati, Usha (1979), The Bakhshali Manuscript: An Ancient Treatise of Indian Arithmetic (PDF), Allahabad: Dr. Ratna Kumari Svadhyaya Sansthan, Arhivirano iz originala (PDF) 2014-06-20. g., Pristupljeno 2016-01-19  Arhivirano na sajtu Wayback Machine (20. jun 2014)
• Smith, D. E.; Karpinski, L. C. (2013) [first published in Boston, 1911], The Hindu–Arabic Numerals, Dover, ISBN 978-0486155111 
• "The Development of Hindu–Arabic and Traditional Chinese Arithmetic" by Professor Lam Lay Yong, member of the International Academy of the History of Science
• Indian numerals by J J O'Connor and E F Robertson
• Arabic numerals by J J O'Connor and E F Robertson
• Hindu–Arabic numerals
• The Arabic numeral system by: J J O'Connor and E F Robertson Arhivirano na sajtu Wayback Machine (23. februar 2010)
• Filliozat, Pierre-Sylvain (2004), „Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature”, Ur.: Chemla, Karine; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen; et al., History of Science, History of Text (Boston Series in the Philosophy of Science), Dordrecht: Springer Netherlands, 254 pages, стр. 137—157, ISBN 978-1-4020-2320-0, doi:10.1007/1-4020-2321-9_7. 
• Kumar, Raj (2003). Essays on Ancient India. Discovery Publishing House. стр. 196—. ISBN 978-81-7141-682-0. 
• Ifrah, Georges (2000). The universal history of numbers : from prehistory to the invention of the computer. David Bellos. New York: Wiley. ISBN 0-471-37568-3. OCLC 42291138. 
• Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. стр. 26. ISBN 978-0-19-850105-3. 
• Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (2nd изд.). Routledge. стр. 62. ISBN 978-1-136-63662-2. 
• Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. стр. 16. OCLC 6975809. 
• Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. стр. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9. 
• Dudley, Underwood (1978). „Section 2: Unique factorization”. Elementary number theory (2nd изд.). W.H. Freeman and Co. стр. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0. 
• Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (2nd изд.). Elsevier. стр. 113. ISBN 978-0-08-096019-7. 
• Ono, Takashi (1963), „On the Tamagawa number of algebraic tori”, Annals of Mathematics, Second Series, 78 (1): 47—73, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970502, MR 0156851, doi:10.2307/1970502 
• Ono, Takashi (1965), „On the relative theory of Tamagawa numbers”, Annals of Mathematics, Second Series, 82 (1): 88—111, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970563, MR 0177991, doi:10.2307/1970563 
• Tamagawa, Tsuneo (1966), „Adèles”, Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups, Proc. Sympos. Pure Math., IX, Providence, R.I.: American Mathematical Society, стр. 113—121, MR 0212025 
• Weil, André (1959), Exp. No. 186, Adèles et groupes algébriques, Séminaire Bourbaki, 5, стр. 249—257 
• Weil, André (1982) [1961], Adeles and algebraic groups, Progress in Mathematics, 23, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7, MR 670072 
• Lurie, Jacob (2014), Tamagawa Numbers via Nonabelian Poincaré Duality 
• Asok, Aravind; Doran, Brent; Kirwan, Frances (2008). „Yang-Mills theory and Tamagawa numbers: The fascination of unexpected links in mathematics”. Bulletin of the London Mathematical Society. 40 (4): 533—567. S2CID 1994372. arXiv:0801.4733 . doi:10.1112/blms/bdn036. 
• J. Lurie, The Siegel Mass Formula, Tamagawa Numbers, and Nonabelian Poincaré Duality posted June 8, 2012.
• Raul Isea (2020). „How valid are the reported cases of people infected with Covid-19 in the worlds? (an example of Benford's Law)”. International Journal of Coronavirus. 1 (2): 53. doi:10.14302/issn.2692-1537.ijcv-20-3376 . 
• Arno Berger; Theodore P. Hill (2017). „What is...Benford's law?” (PDF). Notices of the AMS. 64 (2): 132—134. doi:10.1090/noti1477 . 
• Arno Berger; Theodore P. Hill (2015). An Introduction to Benford's Law. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-16306-2. 
• Alex Ely Kossovsky. Benford's Law: Theory, the General Law of Relative Quantities, and Forensic Fraud Detection Applications, 2014, World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4583-68-8.
• „Benford's Law – Wolfram MathWorld”. Mathworld.wolfram.com. 14. 6. 2012. Pristupljeno 2012-06-26. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Alessandro Gambini; et al. (2012). „Probability of digits by dividing random numbers: A ψ and ζ functions approach” (PDF). Expositiones Mathematicae. 30 (4): 223—238. doi:10.1016/j.exmath.2012.03.001 . 
• Sehity; Hoelzl, Erik; Kirchler, Erich (2005). „Price developments after a nominal shock: Benford's law and psychological pricing after the euro introduction”. International Journal of Research in Marketing. 22 (4): 471—480. S2CID 154273305. doi:10.1016/j.ijresmar.2005.09.002. 
• Nicolas Gauvrit; Jean-Paul Delahaye (2011). Scatter and regularity implies Benford's law...and more. Zenil: Randomness Through Computation: Some Answers, More Questions. str. 58—69. Bibcode:2009arXiv0910.1359G. ISBN 978-9814327756. S2CID 88518074. arXiv:0910.1359 . doi:10.1142/9789814327756_0004. 
• Bernhard Rauch; Max Göttsche; Gernot Brähler; Stefan Engel (avgust 2011). „Fact and Fiction in EU-Governmental Economic Data”. German Economic Review. 12 (3): 243—255. S2CID 155072460. doi:10.1111/j.1468-0475.2011.00542.x. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Wendy Cho; Brian Gaines (avgust 2007). „Breaking the (Benford) Law: statistical fraud detection in campaign finance”. The American Statistician. 61 (3): 218—223. S2CID 7938920. doi:10.1198/000313007X223496. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Geiringer, Hilda; Furlan, L. V. (1948). „The Law of Harmony in Statistics: An Investigation of the Metrical Interdependence of Social Phenomena. by L. V. Furlan”. Journal of the American Statistical Association. 43 (242): 325—328. JSTOR 2280379. doi:10.2307/2280379. 

Spoljašnje veze

• The Number 1
• The Positive Integer 1
• Prime curiosities: 1