Петнаестоугао

Правилни петнаестоугао

У геометрији, петнаестоугао је многоугао са петнаест темена и петнаест страница.

Правилни петнаестоугао

Правилни петнаестоугао је петнаестоугао код кога су све странице једнаке дужине и сви унутрашњи углови једнаки.

Сваки унутрашњи угао правилног петнаестоугла има 156° (степени), а збир свих унутрашњих углова било ког петнаестоугла износи 2340°.

Ако му је основна страница дужине $a\,\!$, површина правилног петнаестоугла се одређује формулом
$P={\frac {15}{4}}a^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{15}}={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\approx 17.6424a^{2}$.
Ако је $R$ - полупречник описаног круга, а $r$ - полупречник уписаног круга, онда важи

$R={\frac {a}{4}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)$, и
$r={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$.

Обим правилног петнаестоугла коме је страница дужине $a\,\!$ биће једнак $15a\,\!$.

Конструкција

Правилни петнаестоугао се може конструисати уз помоћ лењира и шестара. Следећа анимација илуструје корак по корак, конструкцију коју је навео Еуклид у четвртој књизи Елемената.

Анимирани приказ конструкције правилног петнаестоугла помоћу шестара и лењира

Види још

• Адиционе формуле

Спољашње везе

• Петнаестоугао на Mathworld
• Конструкција петнаестоугла