Комплексни број може бити визуелно представљени као пар бројева (a , b ) који формирају вектор на дијаграму који се назива Аргандов дијаграм , чиме се представља комплексна раван . „Re“ је реална оса, „Im“ је имагинарна оса, и i је имагинарна јединица која задовољава i 2 = −1 .
Уређени пар реалних бројева , означен са
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
, при чему су
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
реални бројеви (
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
), назива се комплексан број .[ 1] [ 2] (Реалан број је „прост“, док је уређени пар „сложен“, или комплексан, јер га сачињавају два броја). Скуп свих оваквих парова, односно свих комплексних бројева, означавамо са
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
и он је суштински Декартов производ
C
=
R
×
R
{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} }
. Уређени пар
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
, као комплексан број, записује се још као
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
. Притом се елемент
i
{\displaystyle i}
назива имагинарна јединица, и има својство да је
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
. Имагинарни број се у физици често обележава и латиничним словом
j
{\displaystyle j}
.
У скупу комплексних бројева могуће је вршити операције сабирања , множења и дељења и оне се дефинишу на следећи начин:
(
x
1
,
y
1
)
+
(
x
2
,
y
2
)
=
(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\,}
(сабирамо први са првим, други са другим)
(
x
1
,
y
1
)
⋅
(
x
2
,
y
2
)
=
(
x
1
x
2
−
y
1
y
2
,
x
1
y
2
+
x
2
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\,}
(до овог резултата је лако доћи ако их помножимо у облику
(
x
1
+
y
1
i
)
⋅
(
x
2
+
y
2
i
)
{\displaystyle (x_{1}+y_{1}i)\cdot (x_{2}+y_{2}i)}
и запамтимо да је
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
)
(
x
1
,
y
1
)
(
x
2
,
y
2
)
=
(
x
1
x
2
+
y
1
y
2
x
2
2
+
y
2
2
,
x
2
y
1
−
x
1
y
2
x
2
2
+
y
2
2
)
{\displaystyle {\frac {(x_{1},y_{1})}{(x_{2},y_{2})}}=({\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},{\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}})}
(применимо методу као код множења, с тим што израз у имениоцу помножимо са
x
2
−
y
2
i
{\displaystyle x_{2}-y_{2}i}
)
У комплексном броју
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
број
a
{\displaystyle a}
се назива реални део и пише се
a
=
R
e
(
z
)
{\displaystyle a=Re(z)}
, а број
b
{\displaystyle b}
је имагинарни део и пише се
b
=
I
m
(
z
)
{\displaystyle b=Im(z)}
.
Комплексан број чији је реални део једнак нули назива се чисто имагинарни број .
Скуп реалних бројева може се посматрати као подскуп скупа комплексних бројева (кад је други члан уређеног пара, односно коефицијент уз
i
{\displaystyle i}
, једнак нули). Иако се комплексним бројевима не изражавају количине , као што је то случај с реалним бројевима, њихово увођење се користи у решавању проблема састављених у терминима реалних бројева, на пример, проблема о пролазу струје кроз проводник, о профилу крила авиона (користећи функције Жуковског ), итд.
Није мање важна ни примена комплексних бројева на чисто математичке проблеме. Тако на пример, за налажење корена кубне једначине потребне су операције с комплексним бројевима.[ 4] Историјски, комплексни бројеви су уведени због решавања квадратних једначина . Свака квадратна једначина облика
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
има два решења у скупу комплексних бројева, док смо у скупу реалних бројева наилазили на проблем кад је у решењу облика
x
=
(
−
b
±
b
2
−
4
a
c
)
/
2
a
{\displaystyle x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}})/2a}
израз испод корена био негативан. Увођењем имагинарног броја са својством да је
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
, корен поприма облик
i
2
|
b
2
−
4
a
c
|
=
i
2
|
b
2
−
4
a
c
|
=
i
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle {\sqrt {i^{2}|b^{2}-4ac|}}={\sqrt {i^{2}}}{\sqrt {|b^{2}-4ac|}}=i{\sqrt {b^{2}-4ac}}}
и решење добијамо у скупу комплексних бројева. Чињеница да комплексни бројеви не изражавају величине дала је повод за идеалистичко тумачење комплексних бројева (Г. Лајбниц ). велика заслуга у смислу материјалистичког тумачења комплексних бројева припада Л. Ојлеру . Комплексни број се аксиоматски дефинише као уређен пар реалних бројева
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
. Формуле сабирања, множења, дељења се постулирају овако:
(
a
,
b
)
+
(
x
,
y
)
=
(
a
+
x
,
b
+
y
)
{\displaystyle (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,}
,
(
a
,
b
)
⋅
(
x
,
y
)
=
(
a
x
−
b
y
,
a
y
+
b
x
)
{\displaystyle (a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)}
,
(
a
,
b
)
(
x
,
y
)
=
(
a
x
+
b
y
x
2
+
y
2
,
b
x
−
a
y
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle {\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})}
.
Пар
(
0
;
1
)
{\displaystyle (0;1)}
се назива имагинарна јединица и означава симболом
i
{\displaystyle i}
. Из последњих формула произилази да је
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
. Операције са комплексним бројевима задовољавају обичне законе комутативности, дистрибутивности и асоцијативности (као и у случају реалних бројева). Међутим, операције с комплексним бројевима под радикалима (коренима) донекле се разликују од аналогних операција с реалним бројевима. Тако је
−
1
=
i
2
=
−
1
⋅
−
1
≠
(
−
1
)
(
−
1
)
=
1
{\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1}
.
Дефиницију комплексних бројева као уређених парова дао је Вилијам Р. Хамилтон , ирски математичар (1805– 1865) Та се дефиниција темељи само на особини реалних бројева, чиме се избјегава донекле неразјашњени појам броја
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}
.
С друге стране, запис облика
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
погоднији је за рачунање.
Оба облика комплексног броја
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
i
z
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=(x,y)}
потпуно су еквивалентна.
Скуп комплексних бројева
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
је скуп свих бројева облика
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
, где су
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
.
Посебно је
0
=
0
+
i
0
{\displaystyle 0=0+i0}
.
x
=
R
e
(
z
)
{\displaystyle x=\mathrm {Re} (z)}
је реални део комплексног броја
z
{\displaystyle z}
,
y
=
I
m
z
{\displaystyle y=\mathrm {Im} z}
је имагинарни део комплексног броја
z
{\displaystyle z}
.
Алгебарски облик комплексног броја је
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
za
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
Тригонометријски облик комплексног броја је
z
=
r
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
,
r
≥
0
,
θ
∈
R
{\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }
pri čemu je
r
=∣
z
∣
{\displaystyle r=\mid z\mid }
модул
θ
=
A
R
g
z
{\displaystyle \theta =ARgz}
аргумент
Експоненцијални облик комплексног броја је
z
=
r
i
θ
{\displaystyle z=r^{i\theta }}
za
r
≥
0
,
θ
∈
R
{\displaystyle r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }
при чему је
r
=∣
z
∣
{\displaystyle r=\mid z\mid }
модул
θ
=
A
R
g
z
{\displaystyle \theta =ARgz}
аргумент
Два комплексна броја су једнака ако су им једнаки реални и имагинарни делови.
z
1
=
z
2
↔
(
Re
(
z
1
)
=
Re
(
z
2
)
∧
Im
(
z
1
)
=
Im
(
z
2
)
)
.
{\displaystyle z_{1}=z_{2}\,\,\leftrightarrow \,\,(\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).}
Коњуговано комплексни број броја
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
је број
z
¯
=
x
−
i
y
{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}
.
Модул или апсолутна вредност комплексног броја
z
{\displaystyle z}
је ненегативни реални број
r
=
|
z
|
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
.
(
z
1
+
z
2
=
z
2
+
z
1
{\displaystyle (z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}}
za
∀
z
1
,
z
2
∈
C
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }
комутативност сабирања[ 5]
z
1
+
(
z
2
+
z
3
)
=
(
z
1
+
z
2
)
+
z
3
,
{\displaystyle z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},}
za
∀
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
C
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }
асоцијативност сабирања
∃
0
∈
C
z
+
0
=
z
{\displaystyle \exists 0\in \mathbb {C} z+0=z}
za
∀
z
∈
C
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} }
неутрални елемент 0(nula) за сабирање
Комплексни број
0
=
(
0
,
0
)
=
0
+
0
i
{\displaystyle 0=(0,0)=0+0i}
(
∀
z
∈
C
)
(
∃
(
−
z
)
∈
C
z
+
(
−
z
)
=
0
{\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0}
постојање инверзног елемента.
Комплексни број
−
z
=
(
−
x
,
−
y
)
=
−
x
−
y
i
{\displaystyle -z=(-x,-y)=-x-yi}
[ 6]
(
z
1
∗
z
2
=
z
2
∗
z
1
{\displaystyle (z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}}
za
∀
z
1
,
z
2
∈
C
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }
комутативност множења
z
1
∗
(
z
2
+
z
3
)
=
(
z
1
+
z
2
)
+
z
3
{\displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3}}
za
∀
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
C
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }
асоцијативност множења
∃
1
∈
C
z
∗
1
=
z
{\displaystyle \exists 1\in \mathbb {C} z*1=z}
za
∀
z
∈
C
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} }
неутрални елемент
1
{\displaystyle 1}
за множење
∀
z
∈
C
)
(
z
≠
0
)
(
∃
z
′
∈
C
z
∗
(
−
z
)
=
1
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} z*(-z)=1}
постојање реципрочног елемента
z
1
∗
(
z
2
+
z
3
)
=
z
1
∗
z
2
+
z
1
∗
z
3
{\displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}}
za
∀
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
C
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }
дистрибутивност множења у односу на сабирање[ 6]
У скупу комплексних бројева скаларном производу вектора одговара појам реалног производа комплексних бројева који је скаларни производ вектора који су одређени комплексним бројевима који се множе.
Дефиниција
Реалан производ комплексних бројева
a
{\displaystyle a}
i
b
{\displaystyle b}
, у ознаци
a
∘
b
{\displaystyle a\circ b}
, је реалан број одређен као
a
∘
b
=
1
2
(
a
¯
b
+
a
b
¯
)
{\displaystyle a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})}
Нека су A и B тачке одређене комплексним бројевима
a
=∣
a
∣
(
c
o
s
φ
+
i
s
i
n
φ
)
{\displaystyle a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )}
i
b
=∣
b
∣
(
c
o
s
ψ
+
i
s
i
n
ψ
)
{\displaystyle b=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )}
Лако је проверити да је
a
∘
b
=∣
a
∣∣
b
∣
(
c
o
s
φ
+
i
s
i
n
ψ
)
=∣
O
A
∣∣
A
B
∣
c
o
s
A
O
B
^
{\displaystyle a\circ b=\mid a\mid \mid b\mid (cos\varphi +isin\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid cos{\widehat {AOB}}}
Особине реалног производа два комплексна броја
a
∘
a
=∣
a
∣
2
{\displaystyle a\circ a=\mid a\mid ^{2}}
a
∘
b
=
b
∘
a
{\displaystyle a\circ b=b\circ a}
a
∘
b
¯
=
a
∘
b
{\displaystyle {\overline {a\circ b}}=a\circ b}
(
α
a
)
∘
b
=
α
(
a
∘
b
)
=
a
∘
(
α
b
)
{\displaystyle (\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)}
(
a
z
)
)
b
z
)
=∣
z
∣
2
(
a
∘
b
)
{\displaystyle (az))bz)=\mid z\mid ^{2}(a\circ b)}
a
∘
b
=
0
<=>
O
A
⊥
O
B
{\displaystyle a\circ b=0<=>OA\perp OB}
(за тачке A и B комплексне равни одређене комплексним бројевима
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
)
Реалан производ комплексних бројева
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
једнак је потенцији координатног почетка
O
{\displaystyle O}
комплексне равни у односу на круг чији је пречник
A
B
{\displaystyle AB}
, где су
A
{\displaystyle A}
и
B
{\displaystyle B}
тачке комплексне равни одређене комплексним бројевима
a
{\displaystyle a}
Q
b
{\displaystyle b}
.
Тачка
M
{\displaystyle M}
је средина дужи AB одређена комплексним бројем
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
, потенција тачке
O
{\displaystyle O}
у односу на круг са средиштем у тачки
M
{\displaystyle M}
и полупречником
r
=
a
−
b
2
=
∣
a
−
b
∣
2
{\displaystyle r={\frac {a-b}{2}}={\frac {\mid a-b\mid }{2}}}
једнака је
O
M
2
−
r
2
=∣
a
+
b
2
∣
−
∣
a
−
b
2
∣=
(
a
+
b
)
(
a
¯
+
b
¯
4
−
(
a
−
b
)
(
a
¯
−
b
¯
)
4
=
a
∘
b
{\displaystyle OM^{2}-r^{2}=\mid {\frac {a+b}{2}}\mid -\mid {\frac {a-b}{2}}\mid ={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}}}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b}
Нека су тачке
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
,
D
{\displaystyle D}
тачке комплексне равни одређене комплексним бројевима
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
,
d
{\displaystyle d}
. Тада су следећа тврђења еквивалентна:
A
B
⊥
C
D
{\displaystyle AB\perp CD}
(
a
+
b
)
∘
(
c
+
d
)
=
0
{\displaystyle (a+b)\circ (c+d)=0}
b
−
a
d
−
c
∈
i
R
{
0
}
{\displaystyle {\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
R
e
(
b
−
a
d
−
c
)
=
0
{\displaystyle Re({\frac {b-a}{d-c}})=0}
Средиште кружнице описане око троугла
A
B
C
{\displaystyle ABC}
налази се у координатном почетку комплексне равни. Ако су темена
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
троугла
A
B
C
{\displaystyle ABC}
одређена комплексним бројевима
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
респективно, тада је ортоцентар
H
{\displaystyle H}
тог троугла одређен комплексним бројем
h
=
a
+
b
+
c
{\displaystyle h=a+b+c}
.
Комплексан производ два комплексна броја је аналоган векторском производу вектора.
Дефиниција
Комплексан број
a
×
b
=
a
¯
b
−
a
b
¯
2
{\displaystyle a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}}
називамо комплексним производом комплексних бројева
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
.
Нека су
A
{\displaystyle A}
и
B
{\displaystyle B}
тачке одређене комплексним бројевима
a
=∣
a
∣
(
c
o
s
φ
+
i
s
i
n
φ
)
{\displaystyle a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )}
и
a
=∣
b
∣
(
c
o
s
ψ
+
i
s
i
n
ψ
)
{\displaystyle a=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )}
Лако је провјерити да је
∣
a
×
b
∣=∣
a
∣∣
b
∣
s
i
n
(
φ
−
ψ
)
=∣
O
A
∣∣
A
B
∣
s
i
n
A
O
B
^
=
2
P
A
O
B
{\displaystyle \mid a\times b\mid =\mid a\mid \mid b\mid sin(\varphi -\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid sin{\widehat {AOB}}=2P_{AOB}}
Нека су
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
комплексни бројеви. Тада комплексан производ два комплексна броја има следеће особине
a
×
b
¯
=
−
a
×
b
{\displaystyle {\overline {a\times b}}=-a\times b}
a
×
b
=
0
<=>
a
=
0
∨
b
=
0
∨
a
=
λ
b
{\displaystyle a\times b=0<=>a=0\lor b=0\lor a=\lambda b}
gdje je
λ
∈
R
{
0
}
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}}
a
×
b
=
−
b
×
a
{\displaystyle a\times b=-b\times a}
α
(
a
×
b
)
=
(
α
a
)
×
b
=
a
×
(
α
b
)
{\displaystyle \alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)}
(
∀
α
∈
R
{\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} }
)
Ако су
A
(
a
)
{\displaystyle A(a)}
и
B
(
b
)
{\displaystyle B(b)}
две различите тачке различите од
O
(
0
)
{\displaystyle O(0)}
, тада је
a
×
b
=
0
{\displaystyle a\times b=0}
onda i samo onda ako su
O
{\displaystyle O}
,
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
колинеарне тачке.
Нека су
A
(
a
{\displaystyle A(a}
) и
B
(
b
{\displaystyle B(b}
) две различите тачке у комплексној равни различите од координатног почетка. Комплексан производ бројева
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
има следећи геометријски смисао
a
×
b
=
{
2
i
P
A
O
B
z
a
t
r
o
u
g
a
o
A
O
B
p
o
z
i
t
i
v
n
o
o
r
i
j
e
n
t
i
s
a
n
−
2
i
P
A
O
B
z
a
t
r
o
u
g
a
o
A
O
B
n
e
g
a
t
i
v
n
o
o
r
i
j
e
n
t
i
s
a
n
{\displaystyle a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ pozitivno\ orijentisan\\-2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ negativno\ orijentisan\end{cases}}}
Нека су
A
(
a
)
{\displaystyle A(a)}
,
B
(
b
)
{\displaystyle B(b)}
и
C
(
c
)
{\displaystyle C(c)}
три различите тачке у комплексној равни.
Тада је
P
A
B
C
=
{
1
2
(
a
×
b
+
b
×
c
+
c
×
a
)
a
k
o
j
e
A
B
C
p
o
z
i
t
i
v
n
o
o
r
i
j
e
n
t
i
s
a
n
1
2
(
a
×
b
+
b
×
c
+
c
×
a
)
a
k
o
j
e
A
B
C
n
e
g
a
t
i
v
n
o
o
r
i
j
e
n
t
i
s
a
n
{\displaystyle P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ pozitivno\ orijentisan\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ negativno\ orijentisan\end{cases}}}
Нека су
A
(
a
)
{\displaystyle A(a)}
,
B
(
b
)
{\displaystyle B(b)}
и
C
(
c
)
{\displaystyle C(c)}
три различите тачке у комплексној равни.
Тада су следећа тврђења еквивалентна
Тачке
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
су колинеарне
(
b
−
a
)
×
(
c
−
a
)
=
0
{\displaystyle (b-a)\times (c-a)=0}
a
×
b
+
b
×
c
+
c
×
a
=
0
{\displaystyle a\times b+b\times c+c\times a=0}
Нека су
A
(
a
)
{\displaystyle A(a)}
,
B
(
b
)
{\displaystyle B(b)}
,
C
(
c
)
{\displaystyle C(c)}
и
D
(
d
)
{\displaystyle D(d)}
четири тачке од којих ни једна група од три нису колинеарне. Тада је
A
B
∥
C
D
{\displaystyle AB\parallel CD}
онда и само онда ако је
(
b
−
a
)
×
(
d
−
c
)
=
0
{\displaystyle (b-a)\times (d-c)=0}
z
1
z
2
=
x
1
+
i
y
1
x
2
+
i
y
2
⋅
x
2
−
i
y
2
x
2
−
i
y
2
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
x
2
2
+
y
2
2
+
i
y
1
x
2
−
x
1
y
2
x
2
2
+
y
2
2
,
za
z
2
≠
0
{\displaystyle \displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\textrm {za}}\quad z_{2}\neq 0}
У сваком скупу бројева дељење се дефинише као множење инверзним елементом. Уверимо се да за
∀
z
∈
C
)
(
z
≠
0
)
∃
z
′
∈
C
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C} }
Нека је
z
=
x
+
y
i
≠
0
{\displaystyle z=x+yi\neq 0}
bilo koji. Onda je
x
2
+
y
2
≠
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\neq 0}
па је добро дефинисан број
z
′
=
x
x
2
+
y
2
+
−
y
x
2
+
y
2
i
{\displaystyle z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i}
1
z
=
z
¯
z
z
¯
=
z
¯
x
2
+
y
2
=
x
x
2
+
y
2
−
y
x
2
+
y
2
i
.
{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}
имамо
z
′
∗
z
=
z
∗
z
′
=
1
{\displaystyle z'*z=z*z'=1}
z
′
=
z
−
1
=
1
z
{\displaystyle z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}}
Коњуговано комплексни бројеви
Комплексан број
z
¯
=
x
−
y
i
=
r
−
i
θ
{\displaystyle {\overline {z}}\ =x-yi=r^{-i\theta }}
називамо коњугованим бројем
z
=
x
+
y
i
=
r
i
θ
{\displaystyle z=x+yi=r^{i\theta }}
.[ 7]
Бројеви
z
{\displaystyle z}
i
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
чине пар коњугованих бројева. Њиховим сабирањем и одузимањем добијамо
R
e
z
=
1
2
(
z
+
z
¯
)
{\displaystyle Rez={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}})}
I
m
z
=
1
2
i
(
z
−
z
¯
)
{\displaystyle Imz={\frac {1}{2i}}(z-{\overline {z}})}
Лако се проверава да вреди
z
1
+
z
2
¯
=
z
1
¯
+
z
2
¯
{\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}}
z
1
−
z
2
¯
=
z
1
¯
−
z
2
¯
{\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}}
z
1
∗
z
2
¯
=
z
1
¯
∗
z
2
¯
{\displaystyle {\overline {z_{1}*z_{2}}}={\overline {z_{1}}}*{\overline {z_{2}}}}
(
z
1
z
2
)
¯
=
z
1
¯
z
1
¯
{\displaystyle {\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{1}}}}}
[ 6]
Neka je
z
=
r
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
=
r
c
i
s
θ
{\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta }
тригонометријски облик комплексног броја. Тада је
z
2
=
z
∗
z
{\displaystyle z^{2}=z*z}
z
2
=
r
c
i
s
θ
∗
r
c
i
s
θ
=
r
2
c
i
s
(
θ
+
θ
)
=
r
2
c
i
s
2
θ
{\displaystyle z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta }
z
3
=
r
2
c
i
s
2
θ
∗
r
c
i
s
θ
=
r
3
c
i
s
(
2
θ
+
θ
)
=
r
3
c
i
s
3
θ
{\displaystyle z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta }
z
4
=
r
3
c
i
s
3
θ
∗
r
c
i
s
θ
=
r
4
c
i
s
(
3
θ
+
θ
)
=
r
4
c
i
s
4
θ
{\displaystyle z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta }
[ 8]
На овај начин добијамо општи облик Де Моавровог теорема који има важну улогу у електротехници
z
n
=
r
n
c
i
s
n
θ
{\displaystyle z^{n}=r^{n}\ cisn\theta }
Q
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
n
=
c
o
s
n
θ
+
i
s
i
n
n
θ
(
n
∈
Z
)
{\displaystyle (cos\theta +isin\theta )^{n}=cosn\theta +isinn\theta (n\in Z)}
[ 9]
z
n
=
r
n
(
c
o
s
n
θ
+
i
s
i
n
n
θ
)
=
r
n
e
i
n
θ
{\displaystyle z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )=r^{n}e^{in\theta }}
za
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
.
z
m
z
n
=
z
m
+
n
{\displaystyle z^{m}z^{n}=z^{m+n}}
(
z
1
z
2
)
n
=
(
z
1
z
2
)
n
{\displaystyle (z_{1}z_{2})^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}}
(
z
m
)
n
=
z
m
n
{\displaystyle (z^{m})^{n}=z^{mn}}
z
n
=
{
u
0
,
u
1
.
.
.
u
n
}
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}}
за
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
где је
u
k
=
r
n
(
c
o
s
r
n
n
+
i
s
i
n
θ
+
2
k
π
n
)
{\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{\frac {\theta +2k\pi }{n}})}
za
k
=
0
,
1...
(
n
−
1
)
{\displaystyle k=0,1...(n-1)}
u
k
=
r
n
e
i
(
θ
+
2
k
π
)
/
2
{\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}}
za
k
=
0
,
1...
(
n
−
1
)
{\displaystyle k=0,1...(n-1)}
i
=
1
2
2
+
i
1
2
2
=
2
2
(
1
+
i
)
.
{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}
Овај резултат можемо добити на следећи начин
i
=
(
a
+
b
i
)
2
{\displaystyle i=(a+bi)^{2}\!}
i
=
a
2
+
2
a
b
i
−
b
2
.
{\displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!}
Добијамо две једначине
{
2
a
b
=
1
a
2
−
b
2
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}}
чија су решења
a
=
b
=
±
1
2
.
{\displaystyle a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.}
Избор главног корена даје
a
=
b
=
1
2
.
{\displaystyle a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}
Резултат можемо добити помоћу Моаврове формуле
i
=
cos
(
π
2
)
+
i
sin
(
π
2
)
{\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}
i
=
(
cos
(
π
2
)
+
i
sin
(
π
2
)
)
1
2
=
cos
(
π
4
)
+
i
sin
(
π
4
)
=
1
2
+
i
(
1
2
)
=
1
2
(
1
+
i
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}}
Апсолутна вредност (или модул или величине) комплексног броја
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
je
r
=
|
z
|
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle \textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,}
[ 6]
Квадрат апсолутне вредности је
|
z
|
2
=
z
z
¯
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle \textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,}
φ
=
arg
(
z
)
=
{
arctan
(
y
x
)
if
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
arctan
(
y
x
)
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
indeterminate
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
Из тригонометријских идентитета
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sin
(
a
)
sin
(
b
)
=
cos
(
a
+
b
)
{\displaystyle \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)}
cos
(
a
)
sin
(
b
)
+
sin
(
a
)
cos
(
b
)
=
sin
(
a
+
b
)
{\displaystyle \cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)}
имамо
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(
cos
(
φ
1
+
φ
2
)
+
i
sin
(
φ
1
+
φ
2
)
)
.
{\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,}
Пример
(
2
+
i
)
(
3
+
i
)
=
5
+
5
i
.
{\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.\,}
π
4
=
arctan
1
2
+
arctan
1
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}
Дељење
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
+
i
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
)
.
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}
Понекад је комплексне бројеве погодно писати у тригонометријском облику:
a
+
b
i
=
ρ
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
{\displaystyle a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,}
,
ρ
=
a
2
+
b
2
,
ϕ
=
arctan
b
a
{\displaystyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}}
, за
a
>
0
{\displaystyle a>0\,}
и
ϕ
=
π
+
arctan
b
a
{\displaystyle \phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}}
за
a
<
0
{\displaystyle a<0\,}
; када је
a
=
0
{\displaystyle a=0}
онда је
ϕ
=
π
2
{\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}
, ако је
b
>
0
{\displaystyle b>0}
и
ϕ
=
−
π
2
{\displaystyle \phi =-{\frac {\pi }{2}}}
, ako je
b
<
0
{\displaystyle b<0}
. Број
ρ
{\displaystyle \rho \,}
се назива модуо комплексног броја, а
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
је аргумент комплексног броја.
Множити комплексне бројеве је веома погодно баш у овом облику.
У множењу комплексних бројева множе се њихови модули, а аргументи се сабирају.
r
1
(
cos
ϕ
1
+
i
sin
ϕ
1
)
⋅
r
2
(
cos
ϕ
2
+
i
sin
ϕ
2
)
=
r
1
r
2
(
cos
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
+
i
sin
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
)
{\displaystyle r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2}))\,}
.
слично је и за дељење.
r
1
(
cos
ϕ
1
+
i
sin
ϕ
1
)
r
2
(
cos
ϕ
2
+
i
sin
ϕ
2
)
=
r
1
r
2
(
cos
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
+
i
sin
(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
)
{\displaystyle {\frac {r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})}{r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\phi _{1}-\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}-\phi _{2}))\,}
.
Из овог правила произлази Моаврова формула :
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
n
=
cos
n
ϕ
+
i
sin
n
ϕ
{\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,}
.
Комплексни бројеви се често представљају векторима у комплексној равни (слика доле). Геометријски смисао бројева
a
,
b
,
ρ
,
ϕ
{\displaystyle a,b,\rho ,\phi }
види се на цртежу . У сабирању комплексних бројева њихови вектори се сабирају по правилу паралелограма .
Комплексна раван
Дужина вектора
ρ
{\displaystyle \rho }
је модуо , или модул комплексног броја, а као што се види на горњој слици, може се добити помоћу Питагорине теореме . Модул, интензитет комплексног броја често означавамо као апсолутну вредност, тј. удаљеност броја од исходишта координатног система:
|
z
|
=
ρ
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
.
Комплексни бројеви у тригонометријском облику су уско повезани с експоненцијалном функцијом имагинарног аргумента. Важи следећа Ојлерова формула :
e
i
ϕ
=
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
{\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,}
;
помоћу ње се дефинише степеновање комплексних бројева, логаритам комплексног броја и др.
Комплексни бројеви образују алгебарско затворено поље . Поље комплексних бројева је проширење поља реалних бројева придруживањем овом пољу елемента
i
{\displaystyle i}
, таквог да је
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
.
Множење
Множење комплексних бројева у тригонометријском облику је слично множењу комплексних бројева у стандардном облику.
Нека су задани комплексни бројеви
z
1
=
r
1
(
c
o
s
φ
1
+
i
s
i
n
φ
1
)
{\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}
i
z
2
=
r
2
(
c
o
s
φ
2
+
i
s
i
n
φ
2
)
{\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}
онда је[ 10]
z
1
z
2
=
r
1
(
c
o
s
φ
1
+
i
s
i
n
φ
1
)
r
2
(
c
o
s
φ
2
+
i
s
i
n
φ
2
)
=
{\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})=}
r
1
r
2
(
c
o
s
φ
1
c
o
s
φ
2
+
i
c
o
s
φ
1
s
i
n
φ
2
+
i
c
o
s
φ
2
s
i
n
φ
1
+
i
2
s
i
n
φ
1
s
i
n
φ
2
)
=
{\displaystyle r_{1}r_{2}(cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}+icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}+i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})=}
r
1
r
2
(
(
c
o
s
φ
1
c
o
s
φ
2
−
s
i
n
φ
1
s
i
n
φ
2
)
+
i
(
c
o
s
φ
1
s
i
n
φ
2
c
o
s
φ
2
s
i
n
φ
1
)
)
=
{\displaystyle r_{1}r_{2}((cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})+i(cos\varphi _{1}sin\varphi _{2}cos\varphi _{2}sin\varphi _{1}))=}
r
1
r
2
(
c
o
s
(
φ
1
+
φ
2
)
+
i
s
i
n
(
φ
1
+
φ
2
)
)
{\displaystyle r_{1}r_{2}(cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}+\varphi _{2}))}
Дељење
Нека су задати комплексни бројеви
z
1
=
r
1
(
c
o
s
φ
1
+
i
s
i
n
φ
1
)
{\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}
i
z
2
=
r
2
(
c
o
s
φ
2
+
i
s
i
n
φ
2
)
{\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}
z
1
z
2
=
r
1
(
c
o
s
φ
1
+
i
s
i
n
φ
1
)
r
2
(
c
o
s
φ
2
+
i
s
i
n
φ
2
)
=
r
1
(
c
o
s
φ
1
+
i
s
i
n
φ
1
)
r
2
(
c
o
s
φ
2
+
i
s
i
n
φ
2
)
∗
(
c
o
s
φ
2
−
i
s
i
n
φ
2
)
(
c
o
s
φ
2
−
i
s
i
n
φ
2
)
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}*{\frac {(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}{(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}}}
[ 10]
r
1
r
2
∗
c
o
s
φ
1
c
o
s
φ
2
−
i
c
o
s
φ
1
s
i
n
φ
2
+
i
c
o
s
φ
2
s
i
n
φ
1
−
i
2
s
i
n
φ
1
s
i
n
φ
2
c
o
s
2
φ
2
+
s
i
n
2
φ
2
{\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}*{\frac {cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}-i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2}}{cos^{2}\varphi _{2}+sin^{2}\varphi _{2}}}}
r
1
r
2
(
c
o
s
(
φ
1
−
φ
2
)
+
i
s
i
n
(
φ
1
−
φ
2
)
)
=
r
1
r
2
(
c
i
s
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cis(\varphi _{1}-\varphi _{2})}
Нека је
z
=
r
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
=
r
c
i
s
θ
{\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta }
тригонометријски облик комплексног броја. Тада је
z
2
=
z
∗
z
{\displaystyle z^{2}=z*z}
z
2
=
r
c
i
s
θ
∗
r
c
i
s
θ
=
r
2
c
i
s
(
θ
+
θ
)
=
r
2
c
i
s
2
θ
{\displaystyle z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta }
z
3
=
r
2
c
i
s
2
θ
∗
r
c
i
s
θ
=
r
3
c
i
s
(
2
θ
+
θ
)
=
r
3
c
i
s
3
θ
{\displaystyle z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta }
z
4
=
r
3
c
i
s
3
θ
∗
r
c
i
s
θ
=
r
4
c
i
s
(
3
θ
+
θ
)
=
r
4
c
i
s
4
θ
{\displaystyle z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta }
На овај начин добијамо општи облик Де Моаврове теореме који има важну улогу у електротехници
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
n
=
cos
n
ϕ
+
i
sin
n
ϕ
{\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,}
[ 11]
Аргумент φ и модуо r лоцирају тачку на Аргандовом дијаграму;
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
или
r
e
i
φ
{\displaystyle re^{i\varphi }}
су поларни изрази за тачку.
Један алтернативни начин дефинисања тачке P у комплексној равни, осим коришћења x - и y - координата, је употреба растојања тачака од O , тачке чије су координате (0, 0) (координатни почетак ), заједно са углом између позитивне реалне осе и линијског сегмента OP у смеру наупрот кретања казаљки на сату. Ова идеја производи поларни облик комплексних бројева.
Апсолутна вредност (или модуо или магнитуда ) комплексног броја z = x + yi је
r
=
|
z
|
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle \textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,}
Ако је z реални број (нпр., y = 0 ), онда је r = | x | . Генерално, по Питагориној теореми , r је растојање од тачке P која представља комплексни број z до координатног почетка. Квадрат апсолутне вредности је
|
z
|
2
=
z
z
¯
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle \textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,}
где је
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
комплексно конјуговани број од
z
{\displaystyle z}
.
Аргумент z (који се у многим применама назива „фазом“) је угао полупречника OP са позитивном реалном осом, и пише се као
arg
(
z
)
{\displaystyle \arg(z)}
. Као и код модула, аргумент се може одредити из правоугаоног облика
x
+
y
i
{\displaystyle x+yi}
:[ 12]
φ
=
arg
(
z
)
=
{
arctan
(
y
x
)
if
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
arctan
(
y
x
)
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
indeterminate
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
– ако је z реално, φ = 0 или π . Главни корени су приказани црном бојом.
Нормално, као што је дато горе, главна вредност се разматра на интервалу (−π,π] . Вредности у опсегу [0,2π) се добијају додавањем 2π ако је вредност негативна. Вредност φ се изражава у радијанима угла. Она може да буде повећана за целобројни умножак од 2π и да се још увек односи на исти угао. Стога се arg функција понекад сматра мултивредносном . Поларни угао комплексног броја 0 је неодређен, мада се арбитрарни избор угла 0 често прави.
Вредност φ је једнака резултату atan2 :
φ
=
atan2
(
Im
(
z
)
,
Re
(
z
)
)
.
{\displaystyle \varphi ={\mbox{atan2}}\left(\operatorname {Im} (z),\operatorname {Re} (z)\right).}
Заједно, r и φ дају један додатни начин приказивања комплексних бројева, поларни облик , пошто комбинација модула и аргумента у потпуности специфицирају позицију тачке у равни. Оригиналне правоугаоне координате се могу извести из поларних применом формула званих тригонометријска форма
z
=
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
.
{\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).\,}
Користећи Ојлерову формулу ово се може записати као
z
=
r
e
i
φ
.
{\displaystyle z=re^{i\varphi }.\,}
Користећи cis функцију, тај израз се понекад скраћује на
z
=
r
cis
φ
.
{\displaystyle z=r\operatorname {cis} \varphi .\,}
У угаоној нотацији , који асе често користи у електроници за приказивање вектора са амплитудом r и фазом φ , то се може записати као[ 13]
z
=
r
∠
φ
.
{\displaystyle z=r\angle \varphi .\,}
Множење 2 + i (плави троугао) и 3 + i (црвени троугао). Црвени троугао се ротира да се поклопи са највишом тачком плавог и прошири се за √5 , дужину хипотенузе плавог троугла.
Формуле за множење, дељење и степеновање су једноставније у поларном облику него кореспондирајуће формуле у Картезијанским координатама. За два дата комплексна броја z 1 = r 1 (cos φ1 + i sin φ1 ) и z 2 = r 2 (cos φ2 + i sin φ2 ) , због добро познатих тригонометријских релација
cos
(
a
)
cos
(
b
)
−
sin
(
a
)
sin
(
b
)
=
cos
(
a
+
b
)
{\displaystyle \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)}
cos
(
a
)
sin
(
b
)
+
sin
(
a
)
cos
(
b
)
=
sin
(
a
+
b
)
{\displaystyle \cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)}
се може извести
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(
cos
(
φ
1
+
φ
2
)
+
i
sin
(
φ
1
+
φ
2
)
)
.
{\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,}
Другим речима, апсолутне вредности се множе а аргументи се додају чиме се добија поларни облик производа. На пример, множење са i је истоветно са заокретом за четвртину круга у смеру супротном кретању казаљки на сату, чиме се производи i 2 = −1 . Слика на десној страни илуструје множење
(
2
+
i
)
(
3
+
i
)
=
5
+
5
i
.
{\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.\,}
Пошто су реални и имагинарни део броја 5 + 5i једнаки, аргумент тог броја је 45 степени, или π/4 (у радијанима ). С друге стране, то је исто тако сума углова у координатном почетку црвеног и плавог троугла, који су arctan (1/3) и arctan(1/2). Стога формула
π
4
=
arctan
1
2
+
arctan
1
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}
важи. Пошто се arctan функција може веома ефикасно апроксимирати, формуле попут ове —познате као формуле сличне Машиновим — се користе за апроксимације високе прецизности вредности π .
Слично томе, дељење је дато изразима
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(
cos
(
φ
1
−
φ
2
)
+
i
sin
(
φ
1
−
φ
2
)
)
.
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}
(
a
+
i
b
)
:=
[
a
−
b
b
a
]
{\displaystyle (a+ib):={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}}
У матричном облику сабирање, одузимање и множење радимо тако што сабирамо, одузимамо и множимо одговарајуће матрице које представљају комплексан број.
Реципрочну вредност у овом запису рачунамо тражењем инверзне матрице. Дељење дефинишемо као множење реципрочном вредношћу.
^ Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA). ISBN 978-0-07-161569-3 .
^ Aufmann, Barker & Nation 2007 , стр. 66
^ Burton 1995 , стр. 294
^ „Рачунске операције су дефинисане” . Архивирано из оригинала 07. 04. 2017. г. Приступљено 06. 04. 2017 .
^ а б в г „Аксиоми поља комплексних бројева” . Архивирано из оригинала 07. 04. 2017. г. Приступљено 06. 04. 2017 .
^ Коњуговано комплексни број комплексног броја
^ Степеновање, 19. фебруар 2014 .
^ Моаврова формула
^ а б Множење и дељење комплексних бројева у тригонометрији, 19. фебруар 2014
^ Де Моаврова формула, 21. фебруар 2014.
^ Kasana, H.S. (2005), „Chapter 1”, Complex Variables: Theory And Applications (2nd изд.), PHI Learning Pvt. Ltd, стр. 14, ISBN 978-81-203-2641-5
^ Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008), „Chapter 9”, Electric circuits (8th изд.), Prentice Hall, стр. 338, ISBN 978-0-13-198925-2
McKeague, Charles P. (2011). Elementary Algebra . Brooks/Cole. стр. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9 .
Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). „Chapter P” . College Algebra and Trigonometry (6 изд.). Cengage Learning. стр. 66. ISBN 978-0-618-82515-8 .
Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7 .
Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I . Springer. ISBN 978-0-387-90328-6 .
Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics . New York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-21152-6 .
Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course . Dover. ISBN 978-0-486-65812-4 .
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Section 5.5 Complex Arithmetic” . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 . Архивирано из оригинала 13. 03. 2020. г. Приступљено 06. 04. 2017 .
Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics . Springer. ISBN 978-1556080104 .
Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd изд.). New York: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-009465-9 .
Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2 .
Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of
−
1
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {-1}}}
. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1 .
H.D. Ebbinghaus; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover изд.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2 .
The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe , by Roger Penrose ; Alfred A. Knopf. 2005. ISBN 978-0-679-45443-4 . Chapters 4–7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra , by John Derbyshire; Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7 . (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.
Visual Complex Analysis , by Tristan Needham ; Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1 . (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.
Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I . (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 2 edition (12 September 2005). ISBN 978-0-387-90328-6 . -