Пређи на садржај

Лапласова расподела

С Википедије, слободне енциклопедије
Лапласова расподела
Функција густине вероватноће
Probability density plots of Laplace distributions
Функција кумулативне расподеле
Cumulative distribution plots of Laplace distributions
Параметри локација (реалне)
скале (реалне)
Носитељ
PDF
CDF
Квантил
Просек
Медијана
Модус
Варијанса
Коеф. асиметрије
Куртоза
Ентропија
MGF
CF

У теорији вероватноће и статистици, Лапласова расподела ( дистрибуција ) представља непрекидну расподелу вероватноће која је названа по Пјер-Симону Лапласу . Такође, понекад се назива и као двострука експоненцијална расподела, зато што се може сматрати двема експоненцијалним расподелама (са додатним параметром локације) које су спојене дуж апсцисе, иако се тај термин понекад користи и за Гамбелову расподелу . Разлика између две независне идентично распоређене експоненцијалне случајне променљиве је регулисана Лапласовом расподелом, исто као што је и Брауново кретање процењено у експоненцијално распоређеном случајном времену. Повећање Лапласовог кретања или варијансни гама процес који су процењени током временске скале такође имају Лапласову расподелу.

Дефиниције

[уреди | уреди извор]

Функција густине вероватноће

[уреди | уреди извор]

Случајна променљива ће имати расподелу ако је њена функција густине вероватноће једнака :

овде, параметар представља параметар локације и , који се понекад назива и "различитост", је параметар скале . Ако су параметри даље једнаки и , позитивна полуправа представља управо експоненцијална расподела која је скалирана за 1/2 .

Функција густине вероватноће Лапласове расподеле такође подсећа на нормалну расподелу ; међутим, док је нормална дистрибуција изражена као квадратнa разликa од средње вредности , Лапласова густина ће бити изражена као апсолутна разлика средње вредности наведених параметара. Из тога следи да, Лапласова расподела има дебље репове од нормалне дистрибуције.

Кумулативна функција расподеле

[уреди | уреди извор]

Лапласову расподелу је лако интегралити (уколико се два симетрична случаја разликују) због употребе функције апсолутне вредности . Његова кумулативна функција расподеле је следећа:

Инверзна кумулативна функција расподеле је дата са

Својства

[уреди | уреди извор]

Повезане расподеле

[уреди | уреди извор]
  • Ако је онда важи да је.
  • Ако је онда важи да је .
  • Ако је онда важи да је (Експоненцијална расподела).
  • Ако је онда важи да је
  • Ако је онда важи да је.
  • Ако је онда важи да је (експоненцијална расподела снаге).
  • Ако је (Нормална расподела) онда важи да је .
  • Ако је онда важи да је (Хи-квадратна расподела).
  • Ако је онда важи да је. (Ф-расподела)
  • Ако је (Униформна расподела) онда важи да је .
  • Ако су и (Бернулијева расподела) независне од , онда .
  • Ако су и независне од , онда
  • Ако има Rademacher-ова расподела и онда важи да .
  • Ако су и независне од , онда .
  • Ако је (геометријски стабилна расподела) онда важи .
  • Лапласова расподела представља случај ограничења за Хиперболичну расподелу.
  • Ако са (Rayleigh-оварасподела) онда важи .
  • Дат је цео број где је , ако је (Гама расподела, користећи карактеризацију), затим примењујемо (бескрајна дељивост)[1]
  • Ако X има Лапласову расподелу, онда Y = eX има логаритамску Лапласову расподелу; с друге стране, ако X има логаритамску Лапласову расподелу, онда његовлогаритам има Лапласову расподелу.

Однос према експоненцијалној расподели

[уреди | уреди извор]

Лапласова случајна променљива може бити представљена као разлика две независне и једнако распоређене ( eng. independent and identically distributed , iid) експоненцијалне случајне променљиве. [1] Један од начина да се то покаже је коришћење приступа карактеристичне функције . За било који скуп независних континуираних случајних променљивих, за било коју линеарну комбинацију тих променљивих, његова карактеристична функција (која јединствено одређује расподелу) може се добити множењем одговарајућих карактеристичних функција.

Размотрите две i.i.d случајне променљиве ( Independent identically-distributed random variables ) . Карактеристичне функције за су на следећи начин

редом постављене. Множењем ових карактеристичних функција (еквивалентно карактеристичној функцији збира случајних променљивих ), резултат је :

Овај израз представља исто што и карактеристична функција за , која је једнака следећем изразу:

Сарганове расподеле

[уреди | уреди извор]

Сарганове расподеле представљају систем расподела чији је основни члан Лапласова расподела. А -ти ред Сарганове расподела има густину [2][3]:

за параметре . Резултати Лапласове расподеле за .

Статистички закључак

[уреди | уреди извор]

За дато , независни и идентично распоређени узорци , представљају процена максималне вероватноће (МЛЕ), док представља медијану узорка, [4]

MLE процењивач је средње апсолутно одступање од медијане,

који открива везу између Лапласове расподеле и минималних апсолутних одступања . Корекција за мале узорке може применити на следећи начин :

(погледајте: експоненцијална дистрибуција#Процена параметара ).

Појава и примена

[уреди | уреди извор]

Лапласова расподела је често коришћена у препознавању говора за моделирање приоритета на DFT коефицијентима [5] и у компресији JPEG слике за моделирање AC коефицијената [6] које су генерисане од стране DCT .

Прилагођена Лапласова расподела максималних једнодневних падавина [7]
  • У регресионој анализи, процена најмањих апсолутних одступања се настаје као процена највеће вероватноће ако грешке имају Лапласову расподелу.
  • Ласо се може сматрати Бајесовом регресијом са Лапласовим приором за коефицијенте. [8]
  • У хидрологији се Лапласова расподела примењује на екстремне догађаје као што су годишње максималне једнодневне падавине и протицаји реке. Плава слика, направљена са CumFreq-ом, илуструје пример прилагођавања Лапласове расподеле рангираним годишњим максималним једнодневним падавинама, показујући такође појас поузданости од 90% заснован на биномној расподели . Подаци о падавинама су представљени исцртавањем позиција као део анализе кумулативне фреквенције .
  • Лапласова дистрибуција има примену у финансијама. На пример, S.G. Kou је развио модел за цене финансијских инструмената који укључује Лапласову расподелу (у неким случајевима асиметричну Лапласову расподелу ) да би се позабавио проблемима нагнутости, куртозиса и нестабилног осмеха који се често јављају када се користи нормална дистрибуција за одређивање цена ових инструмената. [9] [10]
Лапласова расподела, будући да је композитна или двострука расподела, применљива је у ситуацијама када ниже вредности настају под различитим спољним условима од виших тако да следе другачији образац. [11]

Генерисање случајних варијација

[уреди | уреди извор]

Случајна променљива која је задата, извучена је из равномерне расподеле у интервалу . случајна променљива

има Лапласову расподелу са параметрима и . Ово је следило из изнад дате функције инверзне кумулативне расподеле.

варијанта се такође може генерисати као разлика два i.i.d. ( Independent identically-distributed ) насумичне променљиве . Једнако првој, се такође може генерисати као логаритам односа две i.i.d. униформне случајне променљиве.

Историја

[уреди | уреди извор]

Ова расподела се често назива "Лапласов први закон грешака". Објављен је 1774. године, ада је приметио да се учесталост грешке може изразити као експоненцијалном функцијом њене величине када се њен знак занемари. Лаплас ће касније овај модел заменити својим „другим законом грешака“, заснованим на нормалној расподели, након открића централне граничне теореме [12] [13]

Кејнс је свој рад објавио 1911. године. Рад је заснован на његовој тези од раније, у којој је показао да је Лапласова расподела умањила апсолутно одступање од медијане. [14]

Референце

[уреди | уреди извор]
  1. ^ а б Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgórski, Krzysztof (2001). The Laplace distribution and generalizations: a revisit with applications to Communications, Economics, Engineering and Finance. Birkhauser. стр. 23 (Proposition 2.2.2, Equation 2.2.8). ISBN 9780817641665. 
  2. ^ Everitt, B. S. (2002). The Cambridge Dictionary of Statistics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-81099-X. 
  3. ^ Johnson, N.L.; Kotz S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions. Wiley. стр. 60. ISBN 0-471-58495-9. 
  4. ^ Robert M. Norton (мај 1984). „The Double Exponential Distribution: Using Calculus to Find a Maximum Likelihood Estimator”. The American Statistician. American Statistical Association. 38 (2): 135–136. JSTOR 2683252. doi:10.2307/2683252. 
  5. ^ Eltoft, T.; Taesu Kim; Te-Won Lee (2006). „On the multivariate Laplace distribution” (PDF). IEEE Signal Processing Letters. 13 (5): 300—303. doi:10.1109/LSP.2006.870353. Архивирано из оригинала (PDF) 2013-06-06. г. Приступљено 2012-07-04. 
  6. ^ Minguillon, J.; Pujol, J. (2001). „JPEG standard uniform quantization error modeling with applications to sequential and progressive operation modes” (PDF). Journal of Electronic Imaging. 10 (2): 475—485. doi:10.1117/1.1344592.  |hdl-приступ= захтева |hdl= (помоћ)
  7. ^ CumFreq for probability distribution fitting
  8. ^ Pardo, Scott (2020). Statistical Analysis of Empirical Data Methods for Applied Sciences. Springer. стр. 58. ISBN 978-3-030-43327-7. 
  9. ^ Kou, S.G. (8. 8. 2002). „A Jump-Diffusion Model for Option Pricing”. Management Science. 48 (8): 1086—1101. JSTOR 822677. doi:10.1287/mnsc.48.8.1086.166. Приступљено 2022-03-01. 
  10. ^ Chen 2018, стр. 70
  11. ^ A collection of composite distributions
  12. ^ Laplace, P-S. (1774). Mémoire sur la probabilité des causes par les évènements. Mémoires de l’Academie Royale des Sciences Presentés par Divers Savan, 6, 621–656
  13. ^ Wilson, Edwin Bidwell (1923). „First and Second Laws of Error”. Journal of the American Statistical Association. Informa UK Limited. 18 (143): 841—851. ISSN 0162-1459. doi:10.1080/01621459.1923.10502116. 
  14. ^ Keynes, J. M. (1911). „The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them”. Journal of the Royal Statistical Society. JSTOR. 74 (3): 322—331. ISSN 0952-8385. JSTOR 2340444. doi:10.2307/2340444. 

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]