Вишеструки интеграл

Интеграл као површина између две криве.

Двоструки интеграл као запремина испод површине. Правоугли регион на дну тела је домен интеграције, док је површина график функције са две променљиве која се интегрише.

Вишеструки интграл је врста одређеног интеграла за функције са више од једне реалне варијабле, на пример $f(x,y)$ или $f(x,y,z)$.

Увод

Баш као што одређени интеграл позитивне функције са једном варијаблом представља површину у подручју између графа функције и x-осе, двоструки интеграл позитивне функције две варијабле представља запремину у подручју између површине дефинисане функције и равни која садржи њихове домене. (Треба имати на уму да се иста запремина може добити преко троструког интеграла - интеграл функције у три варијабле - константне функције f од (x, y, z) = 1 преко споменутог подручја између површине и равни.) Ако постоји више варијабли, вишеструки интеграл ће дати хyпер-запремину и вишедимензионалну функцију.

Вишеструка интеграција функција у $\;n$ варијаблама: $\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ преко домена $\;D$ најчешће представља постављање интегралних знакова у обрнутом редоследу решавања (крајњи леви интегрални знак се израчунава задњи) настављајући по функцији и интегранд аргументимаа у правилном редоследу (крајњи десни аргумент се израчунава задњи). Домен интеграције или је заступљена симболично за сваки интегранд преко сваког интегралног знака, или је често скраћен од стране варијабле на крајњем десном интегралном знаку:

$\iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathbf {d} x_{1}\mathbf {d} x_{2}\!\ldots \mathbf {d} x_{n}$

Будући да је немогуће израчунати антидеривативе од функција са више од једне варијабле, неодређени вишеструки интеграли не постоје. Због тога су сви вишеструки интеграли одређени интеграли.

Примери

На пример, запремина паралелопипеда страница 4×6×5 може се израчунати на два начина:

• Двоструким интегралом

$\iint _{D}5\ dx\,dy\ \ [x=4,y=6\ \ \ \ z=5]$

функције f(x, y) = 5 израчуната у области D у xy-равни која представља базу паралелопипеда.

• Троструким интегралом

$\iiint _{\mathrm {paralelopiped} }1\,dx\,dy\,dz$

константне функције 1 израчунате на паралелопипеду.

Математичка дефиниција

Нека је n цео број већи од 1. Узмимо такозвани полуотворени n-димензионални правоугаоник (назовимо га једноставно правоугаоник). За раван, N = 2, и вишеструки интеграл је само двоструки интеграл.

$T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} ^{n}.$

Поделимо сваки интервал $[a_{i},b_{i})$ на одређени број непреклапајућих подинтервала, са сваким подинтервалом затвореном на левом крају, и отвореном на десном крају. Означимо такве подинтервале са $I_{i}.$ Затим, породица подправоугаоника у облику

$C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

је партиција од $T,$ што даје подправоугаонике $C$ који су непреклапајући и њихова унија је $T.$.

Дијаметри подправоугаоника $C$ су по дефиницији највеће дужине интервала чији производ је $C,$ у дијаметру дате партиције од $T$ су дефинисане као највећи диаметри подправоугаоника у партицији.

Нека је $f:T\to \mathbb {R}$ функција дефинисана правоугаоником $T.$ Размотримо партицију

$T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}$

од $T$ дефинисаном изнад, где је $m$ позитивни интегер. Риманов збир је збир од облика

$\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})$

где за сваку $k$ тачку $P_{k}$ је у $C_{k},$ и $\operatorname {m} (C_{k})$ је производ дужина интервала чији Картезијев производ је $C_{k}.$

Функција $f$ је Римански интеграбилна ако је граница

$S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})$

постоји, где је граница преузела све партиције од $T$ од диаметра највише $\delta .$ Ако је $f$ Римански интеграбилна, $S$ се зове Риманским интегралом од $f$ над $T,$ и означава се

$\int _{T}\!f(x)\,dx.$

Римански интеграл функције дефинисане над произвољно омеђеном $n$-димензионалном поставком се може дефинисати проширивањем те функције на функцију дефинисану преко полуотвореног правоганика чије вредности су нула изван домена изворне функције. Затим, интеграл изворне функције преко изворног домена дефинише се као интеграл проширене функције над његовим правоугаоним доменом, ако постоји. Оно што следи Риеманнов интеграл у n димензијама ће се звати вишеструки интеграл.

Особине

Вишеструки интеграли имају многе исте особине интеграла функција са једном варијаблом (линеарност, адитивност, монотоничност, итд). Чак шта више, баш као што је са једном променљивом, може се користити вишеструки интеграл да се пронађе просек функције у датој поставци. Још прецизније, за дату поставку $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ и интеграбилну функцију $f$ над $D$, просечна вредност од $f$ над њеним доменом је дата са

${\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,$

где је $\;m(D)$ мера од $\;D$.

Посебни случајеви

У случају $T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ интеграл

$\ell =\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy$

је двоструки интеграл од Ф на Т, и ако $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ интеграл

$\ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

је троструки интеграл од F на T.

Онда, према уобичајеном начину обележавања у математици, двоструки интеграл има два интегрална знака, а троструки интеграл има три, а то је само због практичности у означавању, а згодно је приликом рачунања вишеструких интеграла као поновљеног интеграла (као што је приказано у наставку чланка).

Методе интеграције

Решавање проблема с вишеструким интегралима састоји се (у већини случајева) у проналажењу начина да се вишеструки интеграл смањи у низове интеграла са једном варијаблом, где је сваки појединачно и директно решив.

Директно израчунавање

Понекад је могуће одредити резултат интеграције без икаквих прорачуна.

Константе

У случају константне функције, резултат је једноставан: помножи се меру сталном функцијом c. Ако је c = 1, интегрише се преко подрегије од R² то даје простор у регији, док је у R³ то је запремина регије.

• На пример:

$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}$ анд $f(x,y)=2\,\!$

Интегрише се f од D:

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy={\mbox{area}}(D)\cdot 2=(2\cdot 3)\cdot 2=12.$

Кориштење могућих симетричности

У случају домена где постоји симетрија поштујући барем једну од оса и где функција има барем један паритет у односу на варијабле, интеграл постаје ништаван (збир супротних и једнаких вредности је нула). Довољно је да у функцијама на Rⁿ зависна променљива није једнака са осама симетрије.

• Пример (1):

С обзиром да је $f(x,y)=2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5$ и $T=x^{2}+y^{2}\leq 1$ је интегрално подручје (диск са радијусом 1 у средишту пресека оса, граница укључена).

Кориштењем својства линеарности, интеграл се може раставити у три дела:

$\iint _{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\,dy=\iint _{T}2\ \sin(x)\ dx\,dy-\iint _{T}3\ y^{3}\ dx\ dy+\iint _{T}5\ dx\ dy$

2 sin(x) и 3y³ су обе непарне функције и штавише очито је да T диск има симетрију за x, па чак и y осу, дакле једини допринос коначном резултату интеграла је та од сталне функције 5, јер су остала два комада нула.

• Пример (2):

Размотримо функцију $f(x,y,z)=x\ e^{y^{2}+z^{2}}$ и као интеграционо подручје - сфера са радиусом 2 и средиштем у пресеку оса $T=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4$. „Лопта” је симетрична око све три осе, али то је довољно да се интегришу с обзиром на x-осу да се покаже да је интеграл 0, јер је функција непарна функција те варијабле.

Формуле редукције (смањења)

Формуле смањења користе концепт једноставног домена да се омогући рашчлањивање вишеструког интеграла као производа других једноваријабилних интеграла. Ови се морају решити с десна на лево с обзиром на друге варијабле као константе (што је исти поступак као при рачунању парцијалне деривације).

Нормални домени на R²

x-оса

Ако је D мерљив домен окомит на x-осу и $f:D\longrightarrow \mathbb {R}$ је континуирана функција; онда су α(x) и β(x) (дефинисане у [a,b] интервалу) две функције које одређују D. Онда је:

$\iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy\ \ (normalitet\ \ u\ \ odnosu\ \ na\ \ x\ \ osu).$

y-оса

Ако је D мерљив домен окомит на y-осу и $f:D\longrightarrow \mathbb {R}$ је континуирана функција; онда су α(y) и β(y) (дефинисани у [a,b] интервалу) су две фунлције које одређују D. Онда је:

$\iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx\ \ (normalitet\ \ u\ \ odnosu\ \ na\ \ y\ \ osu).$

Пример: D подручје за интеграл по формулама редукције.

Пример

Размотримо ово подручје: $D=\{(x,y)\ :\ x=0,x=1,y=x^{2},y=1\}\ ;\int _{0}^{1}(\int _{x^{2}}^{1}1\,dy)\,dx.$ (погледати график примера). Може се израчунати

$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy.$

Овај домен је окомит на обе x и y осе. За примену формуле морају се пронаћи функције које одређују D, и његову интервалну дефиницију. У овом случају две функције су:

$\alpha (x)=f(x)=y=x^{2}\,\!$ анд $\beta (x)=y=1\,\!$

док је интервал добијен из укрштања функција са $x=0\,\!$, тако да је интервал $[a,b]=[0,1]\,\!$ (нормалитет у односу на x-осу је изабран због бољег визуалног разумевања).

Сад је могуће применити формуле:

$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}(\int _{x^{2}}^{1}1\,dy)\,dx=\int _{0}^{1}\left[y\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}(1-x^{2})\,dx$

(Прво се израчунава унутрашњи интеграл узимајући x као константу). Преостале операције се састоје од примењивања основних техника интеграције:

$\int _{0}^{1}(1-x^{2})\,dx=\int _{0}^{1}\,dx-\int _{0}^{1}x^{2}\,dx=\left[x\right]_{0}^{1}-\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}=(1-0)-{\frac {1}{3}}\left[\ x^{3}\right]_{0}^{1}=1-{\frac {1}{3}}(1-0)=1-{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$

${\frac {2}{3}}=[x*y=x*x^{2}=x^{3}(pravougaonik\ \ -\ \ ovde\ \ kvadrat)-{\frac {x^{3}}{3}}(parabola\ \ iznad\ \ x\ \ ose);(x=1)].$

Ако се изабере нормалитет у односу на y-осу може се израчунати

$D=\{(x,y)\ :\ y=0,y=1,x=0,x={\sqrt {y}}\}\ ;\int _{0}^{1}(\int _{0}^{\sqrt {y}}1\,dx)\,dy.$

и добити иста вредност.

$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}(\int _{0}^{\sqrt {y}}1\,dx)\,dy=\int _{0}^{1}\left[x\right]_{0}^{\sqrt {y}}\,dy=\int _{0}^{1}({\sqrt {y}}-0)\,dy=\left[{\frac {2}{3}}y^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{1}={\frac {2}{3}}(1-0)={\frac {2}{3}}$

${\frac {2}{3}}=[x*y=x*x^{2}=x^{3}(pravougaonik\ \ -\ \ ovde\ \ kvadrat)-{\frac {x^{3}}{3}}(parabola\ \ iznad\ \ x\ \ ose);(x=1)].$

Пример нормалног домена у R3 (xy-равни).

Нормални домени на R³

Проширење ових формула на троструке интеграле би требало бити очигледно: T је домен окомит на xy-раван у односу на α (x,y,з) и β(x,y,з) функције. Онда је:

$\iiint _{T}f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz=\iint _{D}dx\,dy\int _{\alpha (x,y,z)}^{\beta (x,y,z)}f(x,y,z)\,dz$

(ова дефиниција је иста за осталих 5 случајева нормалитета на R³).

Промена варијабли

Границе интеграције често нису лако заменљиве (без нормалитета или са сложеним формулама да се интегришу), може се урадити промену варијабли и преписати интеграл у „бољем” подручју, што може бити описано у једноставнијим формулама. Да би се то учинило, функција мора бити прилагођена новим координатама.

Пример (1-а):

Функција је $f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}$;

ако се усвоји ова замену $x'=x-1,\ y'=y\,\!$ онда је $x=x'+1,\ y=y'\,\!$

добија се нова функција $f_{2}(x,y)=(x')^{2}+{\sqrt {y}}$.

• Слично за домен јер је омеђен изворним варијаблама које су претворене пре у ( x и y примеру).
• диференцијали dx и dy трансформирани преко матрице Јакобијеве детерминанте садржи парцијалне деривације трансформација у односу на нову варијаблу (узети у обзир као пример, диференцијалну трансформацију у поларним координатама). Постоје три главне „врсте” промена варијабли (једна у R², друга у R³); међутим, погодна замена се може наћи помоћу истог принципа на уопштенији начин.

Поларне координате

Главни чланак: Поларни координатни систем

Промена од картезијевих у поларне координате.

У R² ако домен има кружну „симетрију”, а функција има неке „посебне” карактеристике може се применити трансформација на поларним координатама (види пример на слици), што значи да се тачке P (x, y) у Картезијевим координатама могу пренети на њихова места у поларним координатама. То омогућује да се промени „облик” у домену и поједноставе операције.

Темељни однос да би урадили трансформацију је следећи:

$f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ).$

Пример (2-а)

Функција је $f(x,y)=x+y\,\!$

и применом трансформације се добија

$f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi ).$

Пример (2-б)

Функција је $f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!$ У овом случају је:

$f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=\rho ^{2}\,\!$

користећи Питагорин тригонометријски идентитет (веома користан у поједностављивању ове операције). Промена домена је урађена кроз дефинисање главне дужине радијуса и амплитуде описаног угла да би дефинисали ρ, φ интервале почевши од x, y.

Пример промене домена од картезијевог ка поларном.

Пример (2-ц)

Домен је $D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!$, да је опсег радијуса 2, очито је да је покривени угао кружни угао, тако да φ варира од 0 до 2π, док главни радијус варира 0-2 (круна с унутрашњим радијусом нула је само круг).

Пример (2-д)

Домен је $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\}$, да је кружна круна у позитивном делу y полуравнине (погледајте слику у примјеру); напомена да φ описује угао равнине док ρ варира два-три. Стога промена домена ће бити следећи правоугаоник:

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}$.

Јакобијева детерминанта ове трансформације је следећа:

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{vmatrix}}=\rho$

који је добијен уметањем парцијалне деривације x = ρ cos (φ), y = ρ sin (φ) у првом реду у односу на ρ и у другом у односу на φ, тако да dx dy диференцијације у овој трансформацији постаје ρдρдφ.

Након што се функција трансформише и домен вреднује, могуће је дефинисати формулу за промену варијабли у поларним координатама:

$\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho \,d\rho \,d\phi .$

Треба имати на уму да φ вреди у [0, 2π] интервалу, док ρ, јер је то мера дужине, може имати само позитивне вредности.

Пример (2-е)

Функција је $f(x,y)=x\,\!$, а домен је исти као у 2-D примеру. Из претходне анализе D знају се интервали од ρ (2 до 3) и φ (од 0 до π). Функција се може променити на следећи начин:

$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \ \cos \phi .$

и се примењује формула интеграције:

$\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \phi \ \rho \,d\rho \,d\phi .$

Након што су интервали познати, добија се

$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \ d\rho \ d\phi =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ d\phi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}=\left[\sin \phi \right]_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.$

Цилиндричне координате

Цилиндричне координате.

У R³ интеграција на доменима с кружном основом може се урадити пролазом на цилиндричне координате; трансформација функције се врши према следећем односу:

$f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)$

Трансформација домена се може графички постићи, јер само облик базе варира, а висина следи облик почетне регије.

Еxампле (3-а)

Регион је $D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\}$ (то је „цев” чија је основица кружна круна и чија висина је 5), ако је трансформација примењена, за ово подручје се добија: $T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$ (то је паралелопипед чија основа је правоугаоник у 2-д пример и чија висина је 5).

Због тога што се z компонента не мења током трансформације, и dx dy dz диференцијали се разликују као у пролазу у поларним координатама: дакле, они постају ρ dρ dφ dz.

Коначно, могуће је применити завршну формулу у цилиндричним координатама:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz.$

Ова метода је прикладна код цилиндричних или конусних домена или у подручјима где је лако издвојити z интервал, па чак и трансформисати кружну основицу и функцију

Примјер (3-б)

Функција је $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!$ и као домен интеграције овог цилиндра: :$D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}$. Трансформација D у цилиндричним координатама је следећа:

$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.$

док функција постаје

$f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)=\rho ^{2}+z\,\!$

Коначно може се применити формулу интеграције:

$\iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz;$

развијајући формулу се добија

$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz$

$=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =855\pi .$

Сферне координате

Сферне координате.

У R³ неки домени имају сферну симетрију, тако да је могуће одредити координате сваке тачке интеграције регије два угла и једне удаљености. Те је стога могуће користити пролаз у сферне координате; функција је промењена овим односом:

$f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\,\!$

Треба имати на уму да тачке на z оси немају прецизну карактеризацију у сферним координатама, тако да је за тацке полова - $\phi$ = 0 или π (иначе може варирати између 0 и π).

Очигледно је да је сфера бољи домен интеграције за овај пролаз.

Пример (4-а)

Домен је $D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16$ (сфера са радијусом 4 и центром у основици); увођењем трансформације добијамо подручје: $T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}.$

Јакобијева детерминанта ове трансформације је следећа:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \theta$

dx dy dz диференцијали су онда трансформисани у ρ² sin(θ) dρ dθ dφ.

Коначно добија се завршна формула интеграције:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$

Боља интеграција домена за овај пролаз очито се добија употребом сфере. Боље је користити ову методу у случају сферних домена i у случају функција које се могу лако поједноставити, са првим темељним односом тригонометрије, продуженим у R³ (погледајте пример 4-б); у другим случајевима боље је користити цилиндричне координате (погледајте пример 4-ц).

$\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$

Треба имати на уму да додатне $\rho ^{2}$ и $\sin \theta$ долазе од Јакобијеве детерминанте.

Пример (4-б)

D је исто подручје из примера 4-а и $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,\!$ је функција која се интегрише.

Њена трансформација је веома једноставна:

$f(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )=\rho ^{2},\,$

док знамо интервале трансформисаног подручја

T од D:

$(0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi ).\,$

Стога се може применити формула интеграције:

$\iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi ,$

и развијањем се добија:

$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\theta$

$=2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\left[-\cos \theta \right]_{0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}.$

Пример (4-ц)

Домен D је лопта са центром у основи и радијусом 3а ($D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\,\!$) и $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,\!$ је функција која се интегрише.

Гледајући на домен, чини се прикладним да се прихвати прелаз на сферне координате, заправо интервали варијабли које разграничавају ново T подручје су очито:

$0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi .\,$

Међутим, уводећи трансформацију добија се

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$.

Примјењујући формулу за интеграцију добија се:

$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi$

коју је веома тешко решити. Овај проблем ће се решити користећи пролаз у цилиндричним координатама. Нови Т интервали су

$0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}};$

z интервал је био добијен дељењем лопте на две хемисфере једноставно решавањем неједнакости из формуле од D (а затим директно мењајући x² + y² у ρ²). Нова функција је једноставно ρ². Примењујући формулу интеграције

$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ d\rho d\phi dz$.

Затим се добија

$\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho .$

Сад се примењује трансформација

$9a^{2}-\rho ^{2}=t\,\!\longrightarrow dt=-2\rho \,d\rho \longrightarrow d\rho ={\frac {dt}{-2\rho }}\,\!$

(нови интервали постају $0,3a\longrightarrow 9a^{2},0$). Добија се

$-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}\rho ^{2}{\sqrt {t}}\,dt$

је $\rho ^{2}=9a^{2}-t\,\!$, добија се

$-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt,$

након преокретања граница интеграције и множењем услова између заграда, могуће је раставити интеграл у два дела који се могу директно решити:

$2\pi \left[\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right]=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}$

$=2\cdot 27\pi a^{5}(6-{\frac {2}{5}})=54\pi {\frac {28}{5}}a^{5}={\frac {1512\pi }{5}}a^{5}.$

Захваљујући пролазу у цилиндричним координатама било је могуће свести троструки интеграл на лакши једноваријабилни интеграл. Погледати такође улаз разлика у запремини набла у цилиндричним и сферним координатама.

Пример математичке примене - израчунавање запремине

Захваљујући претходно описаним методама могуће је одредити запремину неких тела.

• Цилиндар: Замислимо област интеграције као кружну базу полупречника R и константну функцију као константу на висини h. Могуће је ово записати у поларним координатама на овај начин:

$\mathrm {Zapremina} =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}h\rho \ d\rho =h2\pi \left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h$

Провера: Запремина = површина базе * висина = $\pi R^{2}\cdot h$

• Сфера: За овај пример могу се употријебити сферне координате на константну интеграциону функцију 1 на сфери истог полупречника R:

$\mathrm {Zapremina} =\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta {\frac {R^{3}}{3}}\,d\theta ={\frac {2}{3}}\pi R^{3}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.$

• Тетраедар (троугласта пирамида или 3-симплекс): Запремина тетраедра износи:

$\mathrm {Zapremina} =\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy$

$=\int _{0}^{\ell }(\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}})\,dx=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}}{2}}-\ell x+{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\ell }=$

$={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}$

Провера: Запремина = површина базе × висина/3 = ${\frac {\ell ^{2}}{2}}\cdot \ell /3={\frac {\ell ^{3}}{6}}.$

Пример лоше дефинисане области интеграције.

Вишеструки неправилни интеграл

У случају слободних домена или неограђених функција у близини границе домена, мора се увести двоструки несвојствени интеграл или троструки неправилни интеграл.

Вишеструки интеграли и итеративни интеграли

Фубинијева теорема каже да ако је

$\int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,$

тада је интеграл апсолутно конвергентан, и тада ће вишеструки интеграл дати исти резултат као итеративни интеграл,

$\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.$

То ће се посебно догодити ако $|f(x,y)|$ је ограничена функција и A и B ограничени скупови.

Ако интеграл није апсолутно конвергентан, потребно је пазити да се не мешају појмови вишеструки интеграл и итеративни интеграл, поготово јер се исто означавање често користи за обе концепције. Означавање

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx$

значи у неким случајевима, итеративни интеграл радије него прави двоструки интеграл. У итеративном интегралу, вањски интеграл

$\int _{0}^{1}\cdots \,dx$

је интеграл у односу на x у следећој функцији од x:

$g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.$

Двоструки интеграл, с друге стране, дефинисан је с обзиром на подручје у xy-равни. Ако двоструки интеграл постоји, онда је једнак за сваки од два итеративна интеграла (или dy dx или dx dy) и често се израчунава израчунавајући појединачно сваки итеративни интеграл. Понекад два итеративна интеграла постоје кад двоструки интеграл не постоји, а у неким случајевима су два итеративна интеграла различити бројеви, тј. један има

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.$

Ово је пример преуређења условне конвергенције интеграла.

Означавање

$\int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy$

може се користити ако је циљ да се појасни намера при примени двоструког интеграла.

Неке практичне примене

Ови интеграли се користе у многим апликацијама у физици.

У механици момент инерције се израчунава као запремина интеграла (који је троструки интеграл) од густине у односу на квадрат удаљености од осе:

$I_{z}=\int _{V}^{.}\rho r^{2}\,dV.$

У електромагнетизму, Максвелова једначина се може написати помоћу вишеструких интеграла за израчунавање укупног магнетног и електричног поља. У следећем примеру, електрично поље произведено дистрибуцијом напона је изражено путем троструког интеграла векторске функције:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,\operatorname {d} ^{3}r'.$

Види још

• Теорема дивергенције
• Стоксова теорема
• Гринова теорема

Литература

• Адамс, Роберт А. Цалцулус: А Цомплете Цоурсе (5тх изд.). ИСБН 978-0-201-79131-0. 
• Јаин, Р. К.; Иyенгар, С. Р. К. (2009). Адванцед Енгинееринг Матхематицс (3рд изд.). Нароса Публисхинг Хоусе. ИСБН 978-81-7319-730-7. 

Спољашње везе

• Wеисстеин, Ериц W. „Мултипле Интеграл”. МатхWорлд. 
• L.D. Кудрyавтсев (2001) [1994], „Мултипле интеграл”, Ур.: Хазеwинкел, Мицхиел, Енцyцлопедиа оф Матхематицс, Спрингер Сциенце+Бусинесс Медиа Б.V. / Клуwер Ацадемиц Публисхерс, ИСБН 978-1-55608-010-4 
• Mathematical Assistant on Web online evaluation of double integrals in Cartesian coordinates and polar coordinates