Kvadratna jednačina

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu

Kvadratna jednačina je u matematici polinomijalna jednačina drugog stepena. Implicitni oblik potpune kvadratne jednačine glasi:

ax^2+bx+c=0,\,\!

gde je a ≠ 0. (Za a = 0, jednačina postaje linearna.)

Slova a, b, i c se nazivaju koeficijentima: kvadratni koeficijent a je koeficijent uz x2, linearni koeficijent b je koeficijent uz x, a c je slobodan član.

Kvadratna jednačina uvek ima dva rešenja.

Grafici realnih kvadratnih funkcija ax2 + bx + c. Svaki koeficijent varira zasebno

Kvadratna formula[uredi]

Kvadratna jednačina sa realnim (ili kompleksnim) koeficijentima ima dva (ne obavezno različita) rešenja, koja se nazivaju korenima. Rešenja mogu biti realna ili kompleksna, a data su formulom:

x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},

gde ± označava da su i

x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} i \ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

rešenja date kvadratne jednačine.

Diskriminanta[uredi]

Primeri različitih znakova diskriminante
<0: x2+12
=0: −43x2+43x13
>0: 32x2+12x43

U gornjoj formuli, ispod kvadratnog korena prisutan izraz:

\Delta = b^2 - 4ac, \,\!

se naziva diskriminantom kvadratne jednačine.

Kvadratna jednačina sa realnim koeficijentima može imati jedan ili dva različita realna korena, ili dva različita kompleksna korena. U ovom slučaju, diskriminanta određuje broj i prirodu korena. Postoje tri slučaja:

  • Ako je diskriminanta pozitivna dobijaju se realna i različita rešenja. Kod kvadratnih jednačina sa celobrojnim koeficijentima, ako je diskriminanta savršen kvadrat, onda su koreni racionalni brojevi, dok u ostalim slučajevima mogu biti iracionalni.
  • Ako je diskriminanta jednaka nuli, postoji samo jedno rešenje jednačine, i ono je realan broj. On se nekada naziva dvostrukim korenom, a njegova vrednost je:
    x = -\frac{b}{2a}. \,\!
  • Ako je diskriminanta negativna, rešenja su kompleksni brojevi, i postoje dva različita kompleksna korena, koji su kompleksni konjugati jedan drugog:
    \begin{align}
 x &= \frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a}i, \\
 x &= \frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a}i, \\
 i^2 &= -1.
\end{align}

Dakle, koreni su različiti ako i samo ako je diskriminanta različita od nule, a realni su ako i samo ako diskriminanta nije negativna.

Geometrija[uredi]

Za kvadratnu funkciju:
f (x) = x2x − 2 = (x + 1)(x − 2) realne promenljive x, x-koordinate tačaka gde grafik dodiruje x-osu, x = −1 i x = 2, su koreni kvadratne jednačine: x2x − 2 = 0.

Koreni kvadratne jednačine

ax^2+bx+c=0,\,

su takođe nule kvadratne funkcije:

f(x) = ax^2+bx+c,\,

jer su to vrednosti x za koje je

f(x) = 0.\,

Ako su a, b i c realni brojevi, i domen funkcije f je skup realnih brojeva, onda su nule funkcije f tačno x-koordinate tačaka gde grafik funkcije dodiruje x-osu.

Iz ovoga sledi da ako je diskriminanta pozitivna, grafik dodiruje x-osu u dve tačke, ako je diskriminanta jednaka nuli, onda je dodiruje u jednoj tački, a ako je negativna, onda grafik ne dodiruje x-osu.

Kvadratna faktorizacija[uredi]

Vrednost

x - r,\,

deli polinom

ax^2+bx+c, \

ako i samo ako je r koren kvadratne jednačine

ax^2+bx+c=0. \

Iz kvadratne formule sledi da

ax^2+bx+c = a \left(x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left(x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right). \

U posebnom slučaju kada kvadratna jednačina nema dva različita korena (to jest, kada je diskriminanta jednaka nuli), kvadratni polinom se može faktoristi kao

ax^2+bx+c = a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2.\,\!

Primena na jednačine višeg reda[uredi]

Određene jednačine višeg reda se mogu lako rešiti pomoću kvadratnih jednačina. Na primer:

2x^6 - 3x^3 + 5 = 0,\,

se može zapisati kao

 2u^2 - 3u + 5 = 0, \

gde je

 u = x^3 \ .

Najveći eksponent mora biti dvostruko veći od eksponenta srednjeg sabirka. Ova jednačina se može rešiti direktno ili korišćenjem jednostavne smene, pomoću metoda za rešavanje kvadratnih jednačina.

Uopšteno govoreći, ako je polinom kvadratni za neku promenljivu u gde je

u = x^n \,\;

onda se kvadratna jednačina može koristiti za lakše pronalaženje rešenja.

Istorija[uredi]

Vavilonski matematičari su znali da reše zadatke u kojima se tražila površina ili stranice pravougaonika, već oko 1800. godine pr. n. e, kao što pokazuju sačuvane glinene tablice iz vremena Starog vavilonskog carstva. Postoje dokazi na onovu kojih se taj postupak datira čak u vreme vladavine III dinastije Ura.[1] U savremenoj notaciji, zadaci su, obično, podrazumevali rešavanje sistema koji su činile dve jednačine oblika:

 x+y=p,\ \ xy=q

a koje su ekvivalentne jednačini:[2]:86

x^2+q=px

Vavilonski pisari navode sledeće korake za rešavanje spomenutog problema određivanja nepoznatih elemenata pravougaonika:

  1. Izračunati polovinu od p.
  2. Kvadrirati dobijeni rezultat.
  3. Oduzeti q.
  4. Odrediti kvadratni koren dobijenog broja korišćenjem tablice kvadrata.
  5. Sabrati rezultate dobijene u koracima (1) i (4) kako bi se dobilo x. U suštini, ovaj postupak je ekivalentan korišćenju formule x = \frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}.

Geometrijske metode za rešavanje kvadratnih jednačina korišćene su u Vavilonu, Egiptu, Grčkoj, Kini i Indiji. Egipatski papirus koji datira negde iz vremena Srednjeg kraljevstva (od 2050. p. n. e. do 1650. p. n. e.) a danas se čuva u Berlinu, pa je poznat kao Berlinski papirus, daje rešenje nepotpune kvadratne jednačine koja ima dva člana.[3] U indijskim spisima Šulba sultre, oko 8. veka p. n. e., kvadratne jednačine oblika ax2 = c and ax2 + bx = c su ispitivane korišćenjem geometrijskih metoda. U Starom Vavilonu oko 400. p. n. e. i u Kini oko 200. p. n. e. u upotrebu ulazi geometrijska metoda disekcije za rešavanje kvadratnih jednačina sa pozitivnim korenima.[4][5] Pravila za rešavanje kvadratnih jednačina mogu se naći u starokineskom matematičkom tekstu pod nazivom Devet knjiga o matematičkoj veštini.[5][6] Ni u jednom od tih ranih geometrijskih metoda korišćenih za određivanje rešenja kvadratne jednačine nema naznaka opšte formule. Grčki matematičar Euklid našao je, oko 300. p. n. e., apstraktniji geometrijski način za rešavanje. Zahvaljujući čisto geometrijskom pristupu Pitagora i Euklid zaslužni su za pronalaženje opšteg načina određivanja rešenja kvadratne jednačine. Grčki matematičar Diofant rešio je kvadratnu jednačinu u svojoj Aritmetici, ali je dao samo jedan koren, čak i u situacijama kada su oba korena pozitivna.[7]

628. godine, Bramagupta je dao prvo eksplicitno (mada još uvek ne potpuno opšte) rešenje kvadratne jednačine:

\ ax^2+bx=c
Apsolutnom broju pomnoženim četiri puta [koeficijentom] kvadrata, dodaj kvadrat [koeficijenta] srednjeg člana; kvadratni koren ovoga, manje [koeficijent] srednjeg člana podeljen dvostrukim [koeficijentom] kvadrata je vrednost. (Brahmasphutasiddhanta (Colebrook translation. 1817. ISBN . pp. 346)[8]

Ovo je ekvivalentno sa:

x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}

Obrazac za računanje korena kvadratne jednačine[uredi]

Način izvođenja obrasca za pronalaženje rešenja kvadratne jednačine može se videti u sledećem primeru:

Data je kvadratna jednačina sa realnim koeficijentima :a,b,c\,

ax^2+bx+c=0\,

Sada ćemo podeliti celu jednačinu sa prvim koeficijentom (odnosno podelićemo je sa :a\,)

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\,

U sledećem koraku je potrebno napraviti kvadrat binoma:

(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\,

Zatim se poznate prebace na desnu stranu:

 (x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \,

Sredi se desna strana:

 (x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\,

Sada je potrebno izraziti x+\frac{b}{2a}\,:

x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\,

Odnosno, to je:

x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,

I kada se prebaci \frac{b}{2a}\, na desnu stranu:

x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,

I na kraju kada se sredi, dobija se poznati obrazac za izračunavanje korena kvadratne jednačine:

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,

Bakšali rukopis iz Indije, datiran u 7. vek je sadržavao algebarsku formulu za rešavanje kvadratnih jednačina. Muhamed Al Horezmi (Persija, 9. vek) je razvio skup formula koje su radile za pozitivna rešenja. Abraham bar Hija (poznat i pod latinskim imenom Savasorda) je u Evropi uveo kompletno rešenje u svojoj knjizi Liber embadorum iz 12. veka. Baskara II (1114. – 1185.), indijski matematičar i astronom, je dao prvo opšte rešenje kvadratne jednačine sa dva korena.[9]

Spisi kineskog matematičara Jang Huija (12381298.) su prvi u kojima se pojavljuju kvadratne jednačine sa negativnim koeficijentima od 'x', mada on ovo pripisuje Liu Jiu.

Izvori[uredi]

  1. Friberg, Jöran (2009). „A Geometric Algorithm with Solutions to Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma“. Cuneiform Digital Library Journal 3. 
  2. Stillwell 2004, strane 542
  3. The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. стр. 530. ISBN 978-0-521-07791-0. 
  4. Henderson, David W.. „Geometric Solutions of Quadratic and Cubic Equations“. Mathematics Department, Cornell University Приступљено 28. 4. 2013.. 
  5. 5,0 5,1 Aitken, Wayne. „A Chinese Classic: The Nine Chapters“. Mathematics Department, California State University Приступљено 28. 4. 2013.. 
  6. Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. стр. 380. ISBN 978-0-486-20430-7. 
  7. Smith (1958), str. 134.
  8. Greška citata: Loša oznaka <ref>; nema teksta za ref-ove pod imenom stillwell-p87.
  9. h2g2 - The History Behind The Quadratic Formula, Pristupljeno 8. 4. 2013.

Literatura[uredi]

Vidi još[uredi]

Spoljašnje veze[uredi]