Promenljiva (matematika)

U matematici, promenljiva je uslovan naslov za skup značenja. Takođe, promenljiva je broj predstavljen slovom koji se dobija kada se od prikazanog rezultata brojevnog izraza oduzme rezultat svih brojeva bez promenljive. Svaka promenljiva može postojati samo u kontekstu, jer svaka promenljiva je sama po sebi asocirana sa datim skupom značenja, izvan kojeg ona ništa ne znači. Promenljive su instrumenti logike koji čine osnovicu savremene matematike; one su tamo, možda, najvažniji pribor apstrakcije. Pojam promenljiva je postao deo matematičkog jezika tokom razvoja analitičke geometrije. Konkretno, promenljiva može predstavljati broj, vektor, matricu, funkciju, argument funkcije, skup ili element skupa.

Algebarska izračunavanja sa promenljivama kao da su eksplicitni brojevi rešavaju niz problema u jednom proračunu. Na primer, kvadratna formula rešava svaku kvadratnu jednačinu zamenjujući numeričke vrednosti koeficijenata date jednačine za promenljive koje ih predstavljaju. U matematičkoj logici, promenljiva je simbol koji predstavlja neodređeni termin teorije (metapromenljiva), ili osnovni objekat teorije kojim se manipuliše bez pozivanja na njegovu moguću intuitivnu interpretaciju.

Notacija

Promenljive se uglavnom označavaju jednim slovom, najčešće latiničnim a ređe grčkim, koje može biti malo ili veliko. Slovo može biti praćeno indeksom: broj (kao u x₂), druga promenljiva (x_i), reč ili skraćenica reči (x_total) ili matematički izraz (x_{2i + 1}). Pod uticajem informatike, neki nazivi varijabli u čistoj matematici sastoje se od nekoliko slova i cifara. Sledstveno Rene Dekartu (1596–1650), slova na početku abecede kao što su (a, b, c) se obično koriste za poznate vrednosti i parametre, a slova na kraju abecede kao što su (x, y, z) se obično koriste za nepoznate i promenljive funkcija. U štampanoj matematici, norma je da se promenljive i konstante postavljaju kurzivom.

Na primer, opšta kvadratna funkcija se konvencionalno piše kao $ax^{2}+bx+c\,$, gde su a, b i c parametri (koji se nazivaju konstante, jer su konstantne funkcije), dok je x promenljiva funkcije. Eksplicitniji način da se označi ova funkcija je $x\mapsto ax^{2}+bx+c\,$ koji pojašnjava status funkcije-argumenta x i konstantni status a, b i c. Pošto se c javlja u terminu koji je konstantna funkcija od x, naziva se konstantnim članom.

Specifične grane i primene matematike imaju posebne konvencije o imenovanju promenljivih. Promenljivama sa sličnim ulogama ili značenjima često se dodeljuju uzastopna slova ili isto slovo sa različitim indeksima. Na primer, tri ose u 3D koordinatnom prostoru se konvencionalno nazivaju x, y, i z. U fizici, imena varijabli su u velikoj meri određena fizičkom količinom koju opisuju, ali postoje različite konvencije o imenovanju. Konvencija koja se često prati u verovatnoći i statistici je upotreba X, Y, Z za imena slučajnih promenljivih, zadržavajući x, y, z za promenljive koje predstavljaju odgovarajuće bolje definisane vrednosti.

Specifične vrste promenljivih

Uobičajeno je da varijable igraju različite uloge u istoj matematičkoj formuli, a imena ili kvalifikatori su uvedeni da se razlikuju. Na primer, opšta kubna jednačina

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

se tumači kao da ima pet promenljivih: četiri, a, b, c, d, za koje se uzimaju dati brojevi, a peta promenljiva, x,, se smatra nepoznatim brojem. Da bi se razlikovale, promenljiva x se naziva nepoznata, a druge varijable se nazivaju parametri ili koeficijenti, ili ponekad konstante, iako je ova poslednja terminologija netačna za jednačinu i treba je rezervisati za funkciju definisanu levom stranom ove jednačine.

U kontekstu funkcija, termin promenljiva se obično odnosi na argumente funkcija. Ovo je tipičan slučaj u rečenicama kao što su „funkcija realne promenljive“, „x je promenljiva funkcije f: x ↦ f(x)“, „f je funkcija promenljive x“ (što znači da argument funkcije upućuje na promenljivu x).

U istom kontekstu, promenljive koje su nezavisne od x definišu konstantne funkcije i stoga se nazivaju konstantnim. Na primer, konstanta integracije je proizvoljna konstantna funkcija koja se dodaje određenom antiderivatu da bi se dobili drugi antiderivati. Zbog jake veze između polinoma i funkcije polinoma, termin „konstanta“ se često koristi za označavanje koeficijenata polinoma, koji su konstantne funkcije neodređenih.

Ova upotreba „konstante“ kao skraćenice od „konstantne funkcije“ mora se razlikovati od normalnog značenja reči u matematici. Konstanta ili matematička konstanta je dobro i nedvosmisleno definisan broj ili drugi matematički objekat, kao što su, na primer, brojevi 0, 1, π i element identiteta grupe. Pošto promenljiva može predstavljati bilo koji matematički objekat, slovo koje predstavlja konstantu često se naziva promenljivom. Ovo je, posebno, slučaj sa e i π, čak i kada predstavljaju Ojlerov broj i 3.14159...

Druga specifična imena za promenljive su:

• Nepoznata je promenljiva u jednačini koju treba rešiti.
• Neodređena vrednost je simbol, koji se obično naziva promenljiva, koji se pojavljuje u polinomu ili formalnom nizu stepena. Formalno gledano, neodređena vrednost nije promenljiva, već konstanta u polinomskom prstenu ili prstenu formalnih stepena redova. Međutim, zbog jake veze između polinoma ili nizova stepena i funkcija koje oni definišu, mnogi autori neodređene vrednosti smatraju posebnom vrstom promenljivih.
• Parametar je veličina (obično broj) koja je deo inputa problema i ostaje konstantan tokom celog rešavanja ovog problema. Na primer, u mehanici su masa i veličina čvrstog tela parametri za proučavanje njegovog kretanja. U informatici, parametar ima drugačije značenje i označava argument funkcije.
• Slobodne promenljive i vezane promenljive
• Slučajna promenljiva je vrsta promenljive koja se koristi u teoriji verovatnoće i njenim primenama.

Sve ove denominacije varijabli su semantičke prirode, a način računanja sa njima (sintaksa) je isti za sve.

Zavisne i nezavisne varijable

Glavni članak: Zavisne i nezavisne varijable

U kalkulusu i njegovoj primeni na fiziku i druge nauke, prilično je uobičajeno razmatrati promenljivu, recimo y, čije moguće vrednosti zavise od vrednosti druge promenljive, recimo x. U matematičkom smislu, zavisna promenljiva y predstavlja vrednost funkcije od x. Da bi se pojednostavile formule, često je korisno koristiti isti simbol za zavisnu promenljivu y i funkciju koja preslikava x na y. Na primer, stanje fizičkog sistema zavisi od merljivih veličina kao što su pritisak, temperatura, prostorni položaj, ..., a sve ove veličine variraju kada sistem evoluira, odnosno funkcije su vremena. U formulama koje opisuju sistem, ove veličine su predstavljene varijablama koje su zavisne od vremena i stoga se implicitno posmatraju kao funkcije vremena.

Prema tome, u formuli, zavisna promenljiva je promenljiva koja je implicitno funkcija druge (ili nekoliko drugih) promenljivih. Nezavisna promenljiva je promenljiva koja nije zavisna.

Svojstvo promenljive da bude zavisna ili nezavisna često zavisi od tačke gledišta i nije suštinska. Na primer, u zapisu f(x, y, z), sve tri promenljive mogu biti nezavisne i notacija predstavlja funkciju tri promenljive. S druge strane, ako y i z zavise od x (zavisne su promenljive), onda notacija predstavlja funkciju jedne nezavisne promenljive x.

Examples

Primeri

Ako se definiše funkcija f od realnih brojeva do realnih brojeva po

$f(x)=x^{2}+\sin(x+4)$

onda je x promenljiva koja predstavlja argument funkcije koja se definiše, a koja može biti bilo koji realan broj.

U identitetu

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}$

promenljiva i je promenljiva sumiranja koja zauzvrat označava svaki od celih brojeva 1, 2, ..., n (naziva se i indeks jer je njena varijacija preko diskretnog skupa vrednosti) dok je n parametar (ni varira unutar formule).

U teoriji polinoma, polinom stepena 2 se generalno označava kao ax² + bx + c, gde se a, b i c nazivaju koeficijentima (pretpostavlja se da su fiksni, tj. parametri razmatranog problema), dok se x naziva promenljiva. Kada se proučava ovaj polinom u okviru njegove polinomske funkcije, ovo x predstavlja argument funkcije. Kada se polinom proučava kao objekat sam po sebi, x se uzima kao neodređeno, i često se piše velikim slovom umesto toga da bi označio ovaj status.

Literatura

• Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017-11-22). Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment (na jeziku: engleski). CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. Arhivirano iz originala 2021-02-21. g. Pristupljeno 2020-10-15. 
• J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. str. 1 ff. 
• Menger, Karl (1954). „On Variables in Mathematics and in Natural Science”. The British Journal for the Philosophy of Science. 5 (18): 134—142. JSTOR 685170. doi:10.1093/bjps/V.18.134. 
• Jaroslav Peregrin, "Variables in Natural Language: Where do they come from?", in M. Boettner, W. Thümmel, eds. Variable-Free Semantics. 2000. pp. 46–65. 
• W.V. Quine, "Variables Explained Away", Proceedings of the American Philosophical Society 104:343–347 (1960).
• Dekking, Frederik Michel (2005), A modern introduction to probability and statistics: understanding why and how, Springer, ISBN 1-85233-896-2, OCLC 783259968 
• Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. (2009). „Terminology and Notation”. Basic Econometrics (Fifth international izd.). New York: McGraw-Hill. str. 21. ISBN 978-007-127625-2. 
• Wooldridge, Jeffrey (2012). Introductory Econometrics: A Modern Approach (Fifth izd.). Mason, OH: South-Western Cengage Learning. str. 22–23. ISBN 978-1-111-53104-1. 
• Last, John M., ur. (2001). A Dictionary of Epidemiology (Fourth izd.). Oxford UP. ISBN 0-19-514168-7. 
• Everitt, B. S. (2002). The Cambridge Dictionary of Statistics (2nd izd.). Cambridge UP. ISBN 0-521-81099-X. 
• Woodworth, P. L. (1987). „Trends in U.K. mean sea level”. Marine Geodesy. 11 (1): 57—87. Bibcode:1987MarGe..11...57W. doi:10.1080/15210608709379549. 
• Everitt, B.S. (2002). Cambridge Dictionary of Statistics: CUP. ISBN 0-521-81099-X. 
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd izd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Gandz, S. (januar 1936). „The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra”. Osiris. 1: 263—277. JSTOR 301610. S2CID 60770737. doi:10.1086/368426. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X. 
• Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6. 
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin. 
• Euler, Leonhard (novembar 2005). Elements of Algebra. Tarquin Publications. ISBN 978-1-899618-73-6. Arhivirano iz originala 2011-04-13. g. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. Wiley. ISBN 0-471-02371-X. 
• Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press. 
• Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). „History Topics: Algebra Index”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Arhivirano iz originala 2016-03-03. g. Pristupljeno 2011-12-10. 
• Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books. 
• Walicki, Michał (2011). Introduction to Mathematical Logic. Singapore: World Scientific Publishing. ISBN 9789814343879. 
• Boolos, George; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2002). Computability and Logic (4th izd.). Cambridge University Press. ISBN 9780521007580. 
• Crossley, J.N.; Ash, C.J.; Brickhill, C.J.; Stillwell, J.C.; Williams, N.H. (1972). What is mathematical logic?. London, Oxford, New York City: Oxford University Press. ISBN 9780198880875. Zbl 0251.02001. 
• Enderton, Herbert (2001). A mathematical introduction to logic (2nd izd.). Boston MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-238452-3. 
• Fisher, Alec (1982). Formal Number Theory and Computability: A Workbook. (suitable as a first course for independent study) (1st izd.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853188-3. 
• Hamilton, A.G. (1988). Logic for Mathematicians (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36865-0. 
• Ebbinghaus, H.-D.; Flum, J.; Thomas, W. (1994). Mathematical Logic (2nd izd.). New York City: Springer. ISBN 9780387942582. 
• Katz, Robert (1964). Axiomatic Analysis. Boston MA: D. C. Heath and Company. 
• Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic (4th izd.). London: Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-80830-2. 
• Rautenberg, Wolfgang (2010). A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd izd.). New York City: Springer. ISBN 9781441912206. doi:10.1007/978-1-4419-1221-3. 
• Schwichtenberg, Helmut (2003—2004). Mathematical Logic (PDF). Munich: Mathematisches Institut der Universität München. Pristupljeno 2016-02-24. 
• Shawn Hedman, A first course in logic: an introduction to model theory, proof theory, computability, and complexity, Oxford University Press, 2004, ISBN 0-19-852981-3. Covers logics in close relation with computability theory and complexity theory
• van Dalen, Dirk (2013). Logic and Structure. Universitext. Berlin: Springer. ISBN 978-1-4471-4557-8. doi:10.1007/978-1-4471-4558-5. 

Spoljašnje veze

• Khan Academy: Conceptual videos and worked examples
• Khan Academy: Origins of Algebra, free online micro lectures
• Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra
• Polyvalued logic and Quantity Relation Logic
• forall x: an introduction to formal logic, a free textbook by P. D. Magnus.
• A Problem Course in Mathematical Logic, a free textbook by Stefan Bilaniuk.