Математичка логика

Из Википедије, слободне енциклопедије

Математичка логика је подобласт математике и логике. Састоји се од математичког проучавања логике и премена овог проучавања на друге области математике. Математичка логика има блиске везе са рачунарством и филозофском логиком. Међу основним темама које се провлаче кроз математичку логику су изражајна моћ формалних логика и дедуктивна моћ доказивачких система.

Од свог настанка, математичка логика је допринела и њен развој је био мотивисан проучавањем основа математике. Ово проучавање је почело крајем 19. века развојем аксиоматских оквира за геометрију, аритметику и анализу. Почетком 20. века ју је обликовао Давид Хилберт у свом програму за доказивање конзистентости основних теорија. Резултати Курта Гедела, Герхарда Генцена, и других су дали делимично решење програма и разјаснили битна питања код доказивања конзистентности. Рад у теорији скупова је показао да скоро цела математика може да се формализује терминима скупова, мада неке теореме не могу да се докажу у уобичајеним системима аксиома за теорију скупова. Савремени рад у области основа математике се често концентрише на одређивање који делови математике могу да се формализују у одређеном формалном систему, уместо да покушава да пронађе теорије из којих може да се развије цела математика.

Математичка логика се често дели у следеће подобласти: теорија скупова, теорија модела, теорија рекурзије, теорија доказа и конструктивна математика.

Историја[уреди]

Математичка логика је почела да се одваја као засебно поље средином 19. века (Ferreirós 2001, pp. 443). До тада, логика је проучавана са реториком, кроз силогизме, и са филозофијом. Софистициране логичке теорије су развијане у многим културама; на западу су најпознатије Аристотелова теорија силогизама и Еуклидове аксиоме планарне геометрије. У 18. веку су начињени покушаји да се операције формалне логике третирају на симболички или алгебарски начин. Овиме су се бавили математичари попут Лајбница и Ламберта, али је њихов труд остао изолован и мало познат.

19. век[уреди]

Средином 19. века Бул а затим и Де Морган су представили системстску математичку обраду логике. Њихов рад, заснован на алгебарском раду математичара попут Џорџа Пикока енгл. George Peacock, је реформисао и проширио традиционалну аристотеловску доктрину логике и развио одговарајуће инструменте за проучавање основнихпојмова математике (Katz 1998, pp. 686).

Чарлс Пирс је ослањајући се на Булове резултате развио логички систем за релације и квантификаторе, који је објавио у неколико радова од 1870. до 1885.

Готлоб Фреге је представио независан развој логике са квантификаторима у свом раду Begriffsschrift, објављеном 1879. Међутим, Фрегеов рад је остао релативно непознат док га Расел касније није промовисао. Дводимензиона нотација коју је фреге развио никада није шире прихваћена, и не користи се у савременим текстовима.

Од 1890. до 1905, Ернст Шредер је објавио Vorlesungen über die Algebra der Logik у три тома. Ово дело је сумирало и проширило рад Була, Де Моргана и Пирса, и представљало је значајан извор за разумевање симболичке логике крајем 19. века.

Основне теорије[уреди]

Развој формалне логике, заједно са забринутошћу да математика није изграђена на одговарајућим основама је довео до развоја аксиоматских система за фундаменталне области математике као што су аритметика, анализа и геометрија.

У логици, израз аритметика се односи на теорију природних бројева. Ђузепе Пеано (Peano, Giuseppe (1888), Arithmetices principia, nova methodo exposita) је објавио скуп аксиома за аритметику, користећи варијацију логичког система Була и Шредера, уз додатак квантификатора. Пеано тада није био свестан Фрегеовог рада. Отприлике у исто време, Рихард Дедекинд је показао да су природни бројеви јединствено карактеризовани својим индукционим својствима. Дедекинд (Dedekind, Richard (1888), Was sind und was sollen die Zahlen?) је предложио другачију карактеризацију, којој је недостајао формални логички карактер Пеанових аксиома. Међутим, Дедекинд је својим радом доказао теореме недоступне из Пеановог система, укључујући јединственост скупа природних бројева (до на изоморфизам) и рекурзивне дефиниције сабирања и множења из функције наследника и математичке индукције.

Средином 19. века, су постале видљиве мане у Еуклидовим аксиомама за геометрију (Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 0-321-01618-1, pp. 774). Осим независности постулата паралелности, који је успоставио Николај Лобачевски 1826. (Lobachevsky, Nikolai (1840), Geometrishe Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien), математичари су открили да одређене теореме које је Еуклид узимао здраво за готово у ствари нису доказиве из његових аксиома. Међу њима је теорема да права садржи најмање две тачке, или да кругови истог полупречника чији су центри удаљени за тај полупречник морају да се пресецају. Хилберт (1899) је развио комплетан скуп аксиома за геометрију, базиран на претходном раду Паша (1882). Успех у аксиоматизацији геометрије је мотивисао Хилберта да се да у потрагу за комплетним аксиоматизацијама других области математике, као што су реална права и природни бројеви. Ово је постало једна од највећих области истраживања у првој половини 20. века.

У 19. веку је дошло до великих напредака у теорији реалне анализе, укључујући теорију конвергенције функција и Фуријеове редове. Математичари попут Карла Вајерштраса су почели да конструишу функције необичне за интуицију, попут нигде-диференцијабилне непрекидне функције. Претходна схватања функције као правила за рачунање или глатког графика, више нису била прихватљива. Вајерштрас је почео да се залаже за аритметизацију анализе, која је тежила да аксиоматизује анализу коришћењем својстава природних бројева. Болцано и Коши су између 1817. и 1823. развили модерну "ε-δ" дефиницију лимеса и непрекидних функција (Felscher, Walter (2000), “Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta”, The American Mathematical Monthly 107 (9): 844–862). 1858, Дедекинд је предложио дефиницију реалних бројева у терминима Дедекиндових сечења рационалних бројева (Dedekind, Richard (1872), Stetigkeit und irrationale Zahlen), што је дефиниција која се још увек користи у савременим текстовима.

Георг Кантор је развио фундаменталне концепте бесконачне теорије скупова. Његови рани резултати су развили теорију кардиналности и доказали да реални и природни бројеви имају различиту кардиналност (Cantor 1874). Током наредних двадесет година, Кантор је развио теорију трансфинитних бројева у низу публикација. 1891, је објавио нови доказ непребројивости реалних бројева, који је увео Канторов дијагонални поступак, и користио овај метод да докаже Канторову теорему да ниједан скуп не може да буде исте кардиналности као и његов партитивни скуп. Кантор је веровао да за сваки скуп постоји добро уређење, али није могао ово да докаже, па је то оставио као отворено питање (Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 0-321-01618-1, pp. 807).

20. век[уреди]

У почетним деценијама 20. века, главне области проучавања су биле теорија скупова и формална логика. Откриће парадокса у неформалној теорији скупова је учинило да се неки запитају да ли је и сама математика неконзистентна, и да се дају у потрагу за доказима конзистентности.

1900, Хилберт је дао свој чувени списак 23 проблема за наредни век. Прва два проблема су се тицала разрешења хипотезе континуума и доказивања конзистентности елементарне аритметике, редом; десети је био проналажење метода који би одредио да ли мултиваријантне полиномијалне једначине над целим бројевима имају решење. Даљи рад на решавању ових проблема је обликовао смер развоја математичке логике, као што је учинио и напор да се реши Хилбертов Entscheidungsproblem, постављен 1928. Овај проблем је тражио процедуру која би за дати формализовани математички исказ одлучила да ли је истинит или неистинит.

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Математичка логика