Kompleksan broj

Za drugu upotrebu, pogledajte članak Broj (višeznačna odrednica).

Kompleksni broj može biti vizuelno predstavljeni kao par brojeva (a, b) koji formiraju vektor na dijagramu koji se naziva Argandov dijagram, čime se predstavlja kompleksna ravan. „Re“ je realna osa, „Im“ je imaginarna osa, i i je imaginarna jedinica koja zadovoljava i² = −1.

Uređeni par realnih brojeva, označen sa $(a,b)$, pri čemu su $a$ i $b$ realni brojevi ($a,b\in \mathbb {R}$), naziva se kompleksan broj. (Realan broj je „prost“, dok je uređeni par „složen“, ili kompleksan, jer ga sačinjavaju dva broja). Skup svih ovakvih parova, odnosno svih kompleksnih brojeva, označavamo sa $\mathbb {C}$ i on je suštinski Dekartov proizvod $\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Uređeni par $(a,b)$, kao kompleksan broj, zapisuje se još kao $a+bi$. Pritom se element $i$ naziva imaginarna jedinica, i ima svojstvo da je $i^{2}=-1$. Imaginarni broj se u fizici često obeležava i latiničnim slovom $j$.

U skupu kompleksnih brojeva moguće je vršiti operacije sabiranja, množenja i deljenja i one se definišu na sledeći način:

$(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\,$ (sabiramo prvi sa prvim, drugi sa drugim)

$(x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\,$ (do ovog rezultata je lako doći ako ih pomnožimo u obliku $(x_{1}+y_{1}i)\cdot (x_{2}+y_{2}i)$ i zapamtimo da je $i^{2}=-1$)

${\frac {(x_{1},y_{1})}{(x_{2},y_{2})}}=({\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},{\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}})$ (primenimo metodu kao kod množenja, s tim što izraz u imeniocu pomnožimo sa $x_{2}-y_{2}i$)

U kompleksnom broju $z=a+bi$ broj $a$ se naziva realni deo i piše se $a=Re(z)$, a broj $b$ je imaginarni deo i piše se $b=Im(z)$.

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Skup realnih brojeva može se posmatrati kao podskup skupa kompleksnih brojeva (kad je drugi član uređenog para, odnosno koeficijent uz $i$, jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje se koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni zbog rešavanja kvadratnih jednačina. Svaka kvadratna jednačina oblika $ax^{2}+bx+c=0$ ima dva rešenja u skupu kompleksnih brojeva, dok smo u skupu realnih brojeva nailazili na problem kad je u rešenju oblika $x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}})/2a$ izraz ispod korena bio negativan. Uvođenjem imaginarnog broja sa svojstvom da je $i^{2}=-1$, koren poprima oblik ${\sqrt {i^{2}|b^{2}-4ac|}}={\sqrt {i^{2}}}{\sqrt {|b^{2}-4ac|}}=i{\sqrt {b^{2}-4ac}}$ i rešenje dobijamo u skupu kompleksnih brojeva. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva $(a,b)$. Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

$(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,$, $(a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)$, ${\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})$.

Par $(0;1)$ se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom $i$. Iz poslednjih formula proizilazi da je $i^{2}=-1$. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

$-1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1$.

Definicija

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je Vilijam R. Hamilton, irski matematičar (1805– 1865) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja ${\sqrt {-1}}$ .

S druge strane, zapis oblika $z=x+yi$ pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

$z=x+yi$ i

$z=(x,y)$ potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva $\mathbb {C}$ je skup svih brojeva oblika $z=x+iy$, gde su $x,y\in \mathbb {R}$.

Posebno je $0=0+i0$.

$x=\mathrm {Re} (z)$ je realni deo kompleksnog broja $z$,

$y=\mathrm {Im} z$ je imaginarni deo kompleksnog broja $z$.

Algebarski oblik kompleksnog broja je

$z=x+iy$ za $x,y\in \mathbb {R}$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

$z=r(cos\theta +isin\theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R}$

pri čemu je

$r=\mid z\mid$ modul

$\theta =ARgz$ argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

$z=r^{i\theta }$ za $r\geq 0,\theta \in \mathbb {R}$

pri čemu je

$r=\mid z\mid$ modul

$\theta =ARgz$ argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni delovi.

$z_{1}=z_{2}\,\,\leftrightarrow \,\,(\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).$

Konjugovano kompleksni broj broja $z=x+iy$ je broj ${\bar {z}}=x-iy$.

Modul ili apsolutna vrednost kompleksnog broja $z$ je nenegativni realni broj $r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

$(z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$ za $\forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ komutativnost sabiranja

$z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ asocijativnost sabiranja

$\exists 0\in \mathbb {C} z+0=z$ za $\forall z\in \mathbb {C}$ neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj $0=(0,0)=0+0i$

$(\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0$ postojanje inverznog elementa.

Kompleksni broj $-z=(-x,-y)=-x-yi$

Osobine množenja kompleksnih brojeva

$(z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}$ za $\forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ komutativnost množenja

$z_{1}*(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3}$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ asocijativnost množenja

$\exists 1\in \mathbb {C} z*1=z$ za $\forall z\in \mathbb {C}$ neutralni element $1$ za množenje

$\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} z*(-z)=1$ postojanje recipročnog elementa

$z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna broja

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe.

Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$, u oznaci $a\circ b$, je realan broj određen kao

$a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})$

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima $a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )$ i$b=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )$ Lako je proveriti da je

$a\circ b=\mid a\mid \mid b\mid (cos\varphi +isin\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid cos{\widehat {AOB}}$

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

1. $a\circ a=\mid a\mid ^{2}$
2. $a\circ b=b\circ a$
3. ${\overline {a\circ b}}=a\circ b$
4. $(\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)$
5. $(az))bz)=\mid z\mid ^{2}(a\circ b)$
6. $a\circ b=0<=>OA\perp OB$ (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$)

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$ jednak je potenciji koordinatnog početka $O$ kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik $AB$, gde su $A$ i $B$ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ Q $b$.

Tačka $M$ je sredina duži AB određena kompleksnim brojem ${\frac {a+b}{2}}$, potencija tačke $O$ u odnosu na krug sa središtem u tački $M$ i poluprečnikom

$r={\frac {a-b}{2}}={\frac {\mid a-b\mid }{2}}$ jednaka je

$OM^{2}-r^{2}=\mid {\frac {a+b}{2}}\mid -\mid {\frac {a-b}{2}}\mid ={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}}}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b$

Neka su tačke $A$,$B$,$C$,$D$ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$, $b$, $c$, $d$. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

1. $AB\perp CD$
2. $(a+b)\circ (c+d)=0$
3. ${\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$
4. $Re({\frac {b-a}{d-c}})=0$

Središte kružnice opisane oko trougla $ABC$ nalazi se u koordinatnom početku kompleksne ravni. Ako su temena $A$, $B$, $C$ trougla $ABC$ određena kompleksnim brojevima $a$, $b$, $c$ respektivno, tada je ortocentar $H$ tog trougla određen kompleksnim brojem $h=a+b+c$.

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

$a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}$ nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva $a$ i $b$.

Neka su $A$ i $B$ tačke određene kompleksnim brojevima $a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )$ i $a=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )$ Lako je provjeriti da je

$\mid a\times b\mid =\mid a\mid \mid b\mid sin(\varphi -\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid sin{\widehat {AOB}}=2P_{AOB}$

Neka su $a$, $b$, $c$ kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

1. ${\overline {a\times b}}=-a\times b$
2. $a\times b=0<=>a=0\lor b=0\lor a=\lambda b$ gdje je $\lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$
3. $a\times b=-b\times a$
4. $\alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)$ ( $\forall \alpha \in \mathbb {R}$ )

Ako su $A(a)$ i $B(b)$ dve različite tačke različite od $O(0)$, tada je $a\times b=0$ onda i samo onda ako su $O$, $A$,$B$ kolinearne tačke.

Neka su $A(a$) i $B(b$) dve različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinatnog početka. Kompleksan proizvod brojeva $a$ i $b$ ima sledeći geometrijski smisao

$a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ pozitivno\ orijentisan\\-2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ negativno\ orijentisan\end{cases}}$ Neka su $A(a)$, $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni.

Tada je

$P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ pozitivno\ orijentisan\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ negativno\ orijentisan\end{cases}}$

Neka su $A(a)$, $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni.

Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna

1. Tačke $A$,$B$,$C$ su kolinearne
2. $(b-a)\times (c-a)=0$
3. $a\times b+b\times c+c\times a=0$

Neka su $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ i $D(d)$ četiri tačke od kojih ni jedna grupa od tri nisu kolinearne. Tada je $AB\parallel CD$ onda i samo onda ako je $(b-a)\times (d-c)=0$

Deljenje kompleksnih brojeva

$\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\textrm {za}}\quad z_{2}\neq 0$

U svakom skupu brojeva deljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uverimo se da za

$\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C}$

Neka je $z=x+yi\neq 0$ bilo koji. Onda je $x^{2}+y^{2}\neq 0$ pa je dobro definisan broj

$z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i$

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.$

imamo

$z'*z=z*z'=1$

$z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}$

Konjugovano kompleksni brojevi

Konjugovano kompleksni brojevi

Kompleksan broj ${\overline {z}}\ =x-yi=r^{-i\theta }$ nazivamo konjugovanim brojem $z=x+yi=r^{i\theta }$.

Brojevi $z$ i ${\overline {z}}$ čine par konjugovanih brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

$Rez={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}})$

$Imz={\frac {1}{2i}}(z-{\overline {z}})$

Lako se proverava da vredi

1. ${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$
2. ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$
3. ${\overline {z_{1}*z_{2}}}={\overline {z_{1}}}*{\overline {z_{2}}}$
4. ${\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{1}}}}$

Neka je $z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$z^{2}=z*z$

$z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta$

$z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta$

$z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrovog teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$z^{n}=r^{n}\ cisn\theta$ Q

$(cos\theta +isin\theta )^{n}=cosn\theta +isinn\theta (n\in Z)$

Stepenovanje kompleksnog broja

$z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )=r^{n}e^{in\theta }$ za $n\in N$.

$z^{m}z^{n}=z^{m+n}$

$(z_{1}z_{2})^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}$

$(z^{m})^{n}=z^{mn}$

Korenovanje kompleksnog broja

${\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}$ za $n\in N$

gde je

$u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{\frac {\theta +2k\pi }{n}})$ za $k=0,1...(n-1)$

$u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}$ za $k=0,1...(n-1)$

Kvadratni koren imaginarnog broja

${\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Ovaj rezultat možemo dobiti na sledeći način

$i=(a+bi)^{2}\!$

$i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!$

Dobijamo dve jednačine

${\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}$

čija su rešenja

$a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Izbor glavnog korena daje

$a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrove formule

$i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)$

${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}$

Apsolutna vrednost argumenta

Apsolutna vrednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja $z=x+yi$ je

$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

Kvadrat apsolutne vrednosti je

$\textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,$

$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$

Množenje i deljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$

$\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)$

imamo

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,$

Primer

$(2+i)(3+i)=5+5i.\,$

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

Deljenje

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$

Trigonometrijski oblik

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

$a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,$,

$\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}$, za $a>0\,$ i $\phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}$ za $a<0\,$; kada je $a=0$ onda je $\phi ={\frac {\pi }{2}}$, ako je $b>0$ i $\phi =-{\frac {\pi }{2}}$, ako je $b<0$. Broj $\rho \,$ se naziva moduo kompleksnog broja, a $\phi \,$ je argument kompleksnog broja.

Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku.

U množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. $r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2}))\,$.

slično je i za deljenje. ${\frac {r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})}{r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\phi _{1}-\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}-\phi _{2}))\,$.

Iz ovog pravila proizlazi Moavrova formula:

$(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,$ .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva $a,b,\rho ,\phi$ vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Kompleksna ravan

Dužina vektora $\rho$ je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: $|z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,$;

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa $i$, takvog da je $i^{2}=-1$.

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

$z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})$ i $z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})$

onda je

$z_{1}z_{2}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})=$

$r_{1}r_{2}(cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}+icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}+i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})=$

$r_{1}r_{2}((cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})+i(cos\varphi _{1}sin\varphi _{2}cos\varphi _{2}sin\varphi _{1}))=$

$r_{1}r_{2}(cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}+\varphi _{2}))$

Deljenje

Neka su zadati kompleksni brojevi

$z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})$ i $z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})$

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}*{\frac {(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}{(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}}$

${\frac {r_{1}}{r_{2}}}*{\frac {cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}-i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2}}{cos^{2}\varphi _{2}+sin^{2}\varphi _{2}}}$

${\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cis(\varphi _{1}-\varphi _{2})$

De Moavrova formula

Neka je

$z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$z^{2}=z*z$

$z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta$

$z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta$

$z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrove teoreme koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,$

Polarni oblik

Glavni članak: Polarni koordinatni sistem

Argument φ i moduo r lociraju tačku na Argandovom dijagramu; $r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ ili $re^{i\varphi }$ su polarni izrazi za tačku.

Apsolutna vrednost i argument

Jedan alternativni način definisanja tačke P u kompleksnoj ravni, osim korišćenja x- i y- koordinata, je upotreba rastojanja tačaka od O, tačke čije su koordinate (0, 0) (koordinatni početak), zajedno sa uglom između pozitivne realne ose i linijskog segmenta OP u smeru nauprot kretanja kazaljki na satu. Ova ideja proizvodi polarni oblik kompleksnih brojeva.

Apsolutna vrednost (ili moduo ili magnituda) kompleksnog broja z = x + yi je

$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

Ako je z realni broj (npr., y = 0), onda je r = | x |. Generalno, po Pitagorinoj teoremi, r je rastojanje od tačke P koja predstavlja kompleksni broj z do koordinatnog početka. Kvadrat apsolutne vrednosti je

$\textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,$

gde je ${\bar {z}}$ kompleksno konjugovani broj od $z$.

Argument z (koji se u mnogim primenama naziva „fazom“) je ugao poluprečnika OP sa pozitivnom realnom osom, i piše se kao $\arg(z)$. Kao i kod modula, argument se može odrediti iz pravougaonog oblika $x+yi$:

$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$

 – ako je z realno, φ = 0 ili π. Glavni koreni su prikazani crnom bojom.

Normalno, kao što je dato gore, glavna vrednost se razmatra na intervalu (−π,π]. Vrednosti u opsegu [0,2π) se dobijaju dodavanjem 2π ako je vrednost negativna. Vrednost φ se izražava u radijanima ugla. Ona može da bude povećana za celobrojni umnožak od 2π i da se još uvek odnosi na isti ugao. Stoga se arg funkcija ponekad smatra multivrednosnom. Polarni ugao kompleksnog broja 0 je neodređen, mada se arbitrarni izbor ugla 0 često pravi.

Vrednost φ je jednaka rezultatu atan2:

$\varphi ={\mbox{atan2}}\left(\operatorname {Im} (z),\operatorname {Re} (z)\right).$

Zajedno, r i φ daju jedan dodatni način prikazivanja kompleksnih brojeva, polarni oblik, pošto kombinacija modula i argumenta u potpunosti specificiraju poziciju tačke u ravni. Originalne pravougaone koordinate se mogu izvesti iz polarnih primenom formula zvanih trigonometrijska forma

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).\,$

Koristeći Ojlerovu formulu ovo se može zapisati kao

$z=re^{i\varphi }.\,$

Koristeći cis funkciju, taj izraz se ponekad skraćuje na

$z=r\operatorname {cis} \varphi .\,$

U ugaonoj notaciji, koji ase često koristi u elektronici za prikazivanje vektora sa amplitudom r i fazom φ, to se može zapisati kao

$z=r\angle \varphi .\,$

Množenje i deljenje u polarnom obliku

Množenje 2 + i (plavi trougao) i 3 + i (crveni trougao). Crveni trougao se rotira da se poklopi sa najvišom tačkom plavog i proširi se za √5, dužinu hipotenuze plavog trougla.

Formule za množenje, deljenje i stepenovanje su jednostavnije u polarnom obliku nego korespondirajuće formule u Kartezijanskim koordinatama. Za dva data kompleksna broja z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) i z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂), zbog dobro poznatih trigonometrijskih relacija

$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$

$\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)$

se može izvesti

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,$

Drugim rečima, apsolutne vrednosti se množe a argumenti se dodaju čime se dobija polarni oblik proizvoda. Na primer, množenje sa i je istovetno sa zaokretom za četvrtinu kruga u smeru suprotnom kretanju kazaljki na satu, čime se proizvodi i² = −1. Slika na desnoj strani ilustruje množenje

$(2+i)(3+i)=5+5i.\,$

Pošto su realni i imaginarni deo broja 5 + 5i jednaki, argument tog broja je 45 stepeni, ili π/4 (u radijanima). S druge strane, to je isto tako suma uglova u koordinatnom početku crvenog i plavog trougla, koji su arctan(1/3) i arctan(1/2). Stoga formula

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

važi. Pošto se arctan funkcija može veoma efikasno aproksimirati, formule poput ove —poznate kao formule slične Mašinovim — se koriste za aproksimacije visoke preciznosti vrednosti π.

Slično tome, deljenje je dato izrazima

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$

Matrični oblik

$(a+ib):={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}$

U matričnom obliku sabiranje, oduzimanje i množenje radimo tako što sabiramo, oduzimamo i množimo odgovarajuće matrice koje predstavljaju kompleksan broj.

Recipročnu vrednost u ovom zapisu računamo traženjem inverzne matrice. Deljenje definišemo kao množenje recipročnom vrednošću.

Literatura

• McKeague, Charles P. (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. str. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9. 
• Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). „Chapter P”. College Algebra and Trigonometry (6 izd.). Cengage Learning. str. 66. ISBN 978-0-618-82515-8. 
• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6. 
• Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6. 
• Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Section 5.5 Complex Arithmetic”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd izd.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Arhivirano iz originala 13. 03. 2020. g. Pristupljeno 06. 04. 2017. 
• Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd izd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9. 
• Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2. 
• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. 
• H.D. Ebbinghaus; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover izd.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. 
• The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, by Roger Penrose; Alfred A. Knopf. 2005. ISBN 978-0-679-45443-4. Chapters 4–7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
• Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra, by John Derbyshire; Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7. (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.
• Visual Complex Analysis, by Tristan Needham; Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1. (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.
• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I. (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 2 edition (12 September 2005). ISBN 978-0-387-90328-6. -

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Complex number”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Introduction to Complex Numbers from Khan Academy
• Imaginary Numbers on In Our Time at the BBC.
• Euler's Investigations on the Roots of Equations at Convergence. MAA Mathematical Sciences Digital Library.
• John and Betty's Journey Through Complex Numbers
• The Origin of Complex Numbers by John H. Mathews and Russell W. Howell
• Dimensions: a math film. Chapter 5 presents an introduction to complex arithmetic and stereographic projection. Chapter 6 discusses transformations of the complex plane, Julia sets, and the Mandelbrot set.