Lijeva grupa

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

U matematici, Lijeva grupa je grupa koja je istovremeno i glatka mnogostrukost, pri čemu su operacije grupe glatke funkcije elemenata grupe. Lijeve grupe su važne u matematičkoj analizi, fizici i geometriji jer se pomoću njih opisuju simetrije raznih struktura.

Lijeve grupe se danas koriste u svim oblastima savremene matematike, kao i u velikom delu teorijske fizike. One omogućavaju izučavanje „neprekidnih simetrija“, dakle simetrija koje na drugim matematičkim objektima dejstvuju neprekidno. Teoriju ovih grupa zasnovao je 1870. norveški matematičar Sofus Li kako bi formalizovao ideju „infinitezimalne transformacije“, koju je želeo da primeni na diferencijalne jednačine i njihove simetrije. Od 1920-ih godina Lijeve grupe su postale delom matičnog toka matematike, a njihovim izučavanjem najneposrednije se bavi teorija reprezentacija.

Jednostavni primeri[uredi]

Realne inverzibilne 2 × 2 matrice

čine grupu u odnosu na množenje matrica, poznatu kao puna linearna grupa GL2R. Ako skup ovih matrica na očigledan način posmatramo uložene kao podskup od R4, one čine otvoren podskup, koji od R4 nasleđuje topologiju i diferencijalnu strukturu glatke 4-mnogostrukosti. Pritom su množenje matrica i operacija nalaženja inverzne matrice racionalne, pa dakle i glatke funkcije argumenata, te je GL2R Lijeva grupa. Grupa GL2R nije povezana; komponenta povezanosti jedinične matrice jeste grupa GL2+R matrica pozitivne determinante, koja je i sama Lijeva grupa.

2 × 2 matrice rotacija čine podgrupu od GL2R, koju označavamo sa SO2R. Ovo je jednodimenziona, kompaktna mnogostrukost difeomorfna sa krugom S1, jer svakom uglu φ od 0 do 2π odgovara (glatko) matrica rotacije

SO2R je Lijeva grupa jer su operacije množenja i inverza glatke (u većoj grupi GL2R, pa dakle i ovde). U slučaju grupe SO2R to možemo videti i direktno tako što se operacija grupe podudara sa uobičajenom operacijom sabiranja na S1 ≅ R / 2πZ – proizvod matrica rotacije koje odgovaraju uglovima φ i ψ je matrica rotacije koja odgovara uglu φ + ψ.

Definicije[uredi]

Lijeva grupa (u osnovnom značenju: realna Lijeva grupa) jeste grupa na kojoj je zadata i diferencijabilna struktura koja je čini konačno-dimenzionalnom realnom glatkom mnogostrukošću, pri čemu su grupne operacije množenja i inverznog elementa glatka preslikavanja.

Postoji nekoliko srodnih pojmova. Kompleksna Lijeva grupa, poput SL2C se definiše na isti način koristeći kompleksne mnogostrukosti, i slično za p-adske Lijeve grupe nad poljem p-adskih brojeva. Beskonačno-dimenziona Lijeva grupa jeste grupa sa kompatibilnom diferencijabilnom strukturom beskonačno-dimenzione glatke mnogostrukosti. Grupe matrica, poput ortogonalne i simplektičke grupe, i algebarske grupe daju najčešće primere Lijevih grupa.

Analogne strukture mnogih Lijevih grupa se mogu definisati i nad konačnim poljima, u kom slučaju govorimo o grupama Lijevog tipa, koje daju veliki broj tipova konačnih prostih grupa.

Glison, Montgomeri i Zipin su 1950-ih godina pokazali da za svaku (topološku) mnogostrukost G sa neprekidnim operacijama grupe postoji tačno jedna analitička struktura na G koja je pretvara u Lijevu grupu (vidi Hilbertov peti problem).

Jezikom teorije kategorija, Lijeva grupa je grupni objekat u kategoriji glatkih mnogostrukosti.

Primeri Lijevih grupa[uredi]