Sedamnaestougao

Pravilni sedamnaestougao

U geometriji, sedamnaestougao je mnogougao sa sedamnaest temena i sedamnaest stranica.

Pravilni sedamnaestougao

Pravilni sedamnaestougao je sedamnaestougao kod koga su sve stranice jednake dužine i svi unutrašnji uglovi jednaki.
Svaki unutrašnji ugao pravilnog sedamnaestougla ima približno 158° (stepeni) 49 ' (minuta), a zbir svih unutrašnjih uglova bilo kog sedamnaestougla iznosi 2700°.

Ako mu je osnovna stranica dužine $a\,\!$, površina pravilnog sedamnaestougla se određuje formulom
$P={\frac {17a^{2}}{4}}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{17}}\approx 22.7355a^{2}$.
Površina se može izračunati i sa
$P={\frac {17}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{17}}=17r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{17}}$
gde je $R$ - poluprečnik opisanog kruga, a $r$ - poluprečnik upisanog kruga.
Obim pravilnog sedamnaestougla kome je stranica dužine $a\,\!$ biće jednak $17a\,\!$.

Konstrukcija

Pravilni sedamnaestougao je konstruktibilan mnogougao što je dokazao Gaus 1796. godine. Prema jednoj anegdoti, toliko je bio oduševljen otkrićem da je tražio da mu se na nadgrobnoj ploči ukleše pravilni sedamnaestougao, ali je kamenorezac to odbio rekavši da je sama konstrukcija komplikovana, a da se sedamnaestougao neće razlikovati od kruga.

Iz konstruktibilnosti sedamnaestougla sledi da se trigonometrijske funkcije argumenta 2π/17 mogu izraziti pomoću osnovnih aritmetičkih operacija i korenovanja. U Gausovoj knjizi Disquisitiones Arithmeticae (Aritmetička istraživanja, 1801) može se naći sledeća jednakost, koja je ovde zapisana korišćenjem savremene notacije:

$\operatorname {cos} {2\pi \over 17}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right).$

Prvu konstrukciju sedamnaestougla koja se sastoji od 64 koraka objavio je Johanes Erhinger nekoliko godina posle Gausovog otkrića. Na sledećoj slici se može videti animirani prikaz Erhingerove konstrukcije.

Animirani prikaz konstrukcije sedamnaestougla pomoću šestara i lenjira

Vidi još

• Mnogougao

Spoljašnje veze

• Sedamnaestougao na Mathworld
• Konstrukcija sedamnaestougla
• Konstrukcija sedamnaestougla