Кеплерови закони

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Слика приказује 3 Кеплерова закона са две планетарне путање:
(1) Путање планета су елипсе, са жариштима ƒ1 i ƒ2 за прву планету и ƒ1 и ƒ3 за другу планету. Сунце је смештено у жаришту ƒ1.
(2) Два засенчена подручја A1 и A2 имају једнаке површине и време за планету 1 да прекрије подручје A1 је једнако оном да прекрије подручје A2.
(3) Укупна опходна времена планете 1 и планете 2 имају однос t13/2 : t23/2.

Кеплерови закони описују кретање планета око Сунца. Формулисана су три Кеплерова закона.

Кретање сателита око матичне планете и сваки други сличан систем такође се описују Кеплеровим законима. Назив су добили по немачком астроному Јохану Кеплеру.

Први Кеплеров закон[уреди]

Сунце као фокус у елиптичкој орбити

Планете се крећу по елиптичким путањама у којем се у једном од фокуса налази центар масе, сунце.

Доказ[уреди]

Напише се Лагранжева функција за Сунчев систем (неку планету):,

где је m — маса планете, М — маса Сунца, γ — univerzalna gravitaciona konstanta, , r — растојање између Сунца и планете, -радијална брзина и — азимутална брзина

Сада се може уочити једна константа кретања користећи Лагранжове једначине:

Елипса са значајним тачкама

Kako je то је , односно је константа кретања или момент импулса планете у односу на Сунце. Сада напишимо Хамилтонову функцију система, која у случају конзервативних сила представља и укупну енергију система: или ; одавде је:

. Елиминише се променљива t сменом:

Уведе се смена:; , па једначина изнад прелази у:

<=>

Сменом: => => => =>

=

Други Кеплеров закон[уреди]

Илустрација за Кеплеров други закон

Радијус вектор Сунцепланета у једнаким временским интервалима описује једнаке површине.

Овај закон се математички може представити изразом:

Доказ следи из:

Трећи Кеплеров закон[уреди]

Квадрати периода обиласка планета око сунца (T) сразмерни су кубовима великих полуоса (a) њихових путања.

Математички, овај закон се може написати изразом:

Доказ[уреди]

Пође се од израза: и примети да је ; и:

;, а — велика полуоса елипсе; е — ексцентритет елипсе или растојање фокуса од центра елипсе; b — мала полуоса,

, ;

У овом случају: ; ;

Како је површина елипсе: =

<=>

<=>

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Bryant, Jeff; Pavlyk, Oleksandr. "Kepler's Second Law", Wolfram Demonstrations Project. Приступљено December 27, 2009.

Литература[уреди]

  • Kepler's life is summarized on pages 523–627 and Book Five of his magnum opus, Harmonice Mundi (harmonies of the world), is reprinted on pages 635–732 of On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy (works by Copernicus, Kepler, Galileo, Newton, and Einstein). Stephen Hawking, ed. 2002. ISBN 978-0-7624-1348-5.
  • A derivation of Kepler's third law of planetary motion is a standard topic in engineering mechanics classes. See, for example, pages 161–164 of Meriam, J. L. (1971) [1966]. „Dynamics, 2nd ed”. New York: John Wiley. ISBN 978-0-471-59601-1. .
  • Murray and Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge University Press. 1999. ISBN 978-0-521-57597-3.
  • V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Chapter 2. Springer. 1989. ISBN 978-0-387-96890-2.

Спољашње везе[уреди]