Кеплерови закони

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Кеплерови закони описују кретање планета око Сунца. Формулисана су три Кеплерова закона.

Први Кеплеров закон[уреди]

Сунце као фокус у елиптичкој орбити

Планете се крећу по елиптичким путањама у којем се у једном од фокуса налази центар масе, сунце.

Доказ[уреди]

Напише се Лагранжева функција за Сунчев систем (неку планету):,

где је m — маса планете, М — маса Сунца, γ — univerzalna gravitaciona konstanta, , r — растојање између Сунца и планете, -радијална брзина и — азимутална брзина

Сада се може уочити једна константа кретања користећи Лагранжове једначине:

Елипса са значајним тачкама

Kako je то је , односно је константа кретања или момент импулса планете у односу на Сунце. Сада напишимо Хамилтонову функцију система, која у случају конзервативних сила представља и укупну енергију система: или ; одавде је:

. Елиминише се променљива t сменом:

Уведе се смена:; , па једначина изнад прелази у:

<=>

Сменом: => => => =>

=

Други Кеплеров закон[уреди]

Илустрација за Кеплеров други закон

Радијус вектор Сунцепланета у једнаким временским интервалима описује једнаке површине.

Овај закон се математички може представити изразом:

Доказ следи из:

Трећи Кеплеров закон[уреди]

Квадрати периода обиласка планета око сунца (T) сразмерни су кубовима великих полуоса (a) њихових путања.

Математички, овај закон се може написати изразом:

Доказ[уреди]

Пође се од израза: и примети да је ; и:

;, а — велика полуоса елипсе; е — ексцентритет елипсе или растојање фокуса од центра елипсе; b — мала полуоса,

, ;

У овом случају: ; ;

Како је површина елипсе: =

<=>

<=>

Види још[уреди]

Спољашње везе[уреди]