Алгебарски прстен

У математици, прстен је алгебарска структура у којој су дефинисани сабирање и множење, и имају својства описана ниже. Прстен је генерализација скупа целих бројева. Други примери прстена су полиноми и цели бројеви по модулу $n$. Грана апстрактне алгебре која проучава прстенове се назива теоријом прстена.

Лагранжов полиномијални прстен са понављањем

Формална дефиниција

прстен је скуп $R$ на коме важе две бинарне операције $+:R\times R\rightarrow R$ и $\cdot :R\times R\rightarrow R$, које се називају сабирање и множење, такве да:

• $(R,+)$ је Абелова група са неутралом $0$:
  • $(a+b)+c=a+(b+c)$
  • $0+a=a+0=a$
  • $a+b=b+a$
  • За свако $a\in R$, постоји елемент који се означава као $-a$, такав да $a+(-a)=(-a)+a=0$
• $(R,\cdot )$ је моноид са неутралом $1$:
  • $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
  • $1\cdot a=a\cdot 1=a$
• Множење је дистрибутивно над сабирањем:
  • $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
  • $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

Као и код група симбол · се обично изоставља. Такође, користи се стандардан редослед операција, па је на пример, $a+bc$ скраћеница за $a+b\cdot c$.

Мада је сабирање у прстену комутативно, па је $a+b=b+a$, множење у прстену не мора да буде комутативно — $a\cdot b$ не мора да буде једнако $b\cdot a$. Прстенови који су такође комутативни и у односу на множење (као што је прстен целих бројева) се називају комутативним прстеновима. Нису сви прстенови комутативни. На пример, $M_{n}(K)$, прстен $n\times n$ матрица над пољем $K$, је некомутативни прстен ($n>1$).

Прстенови не морају да буду ни мултипликативно инверзни. Елемент $a$ у прстену се назива јединицом ако је инвертибилан у односу на множење: ако постоји елемент $b$ у прстену, такав да је $a\cdot b=b\cdot a=1$, тада је $b$ јединствено одређено преко $a$ и пишемо $a^{-1}=b$. Скуп свих јединица у $R$ формира групу у односу на множење прстена; ова група се означава као $U(R)$ или $R*$.

Алтернативне дефиниције

Постоји и неколико алтернативних дефиниција прстена:

• Неки аутори захтевају додатни услов да је $0\neq 1$. Ово искључује само један прстен: такозвани тривијални прстен или нула прстен, који има само један елемент.
• Значајнија разлика је та, да неки аутори не захтевају да прстен има мултипликативни неутрал. Ови аутори називају прстенове који имају мултипликативне неутрале унитарним прстеновима. Аутори који захтевају мултипликативни неутрал називају алгебарске објекте који испуњавају све услове за прстен, изузев овог, псеудо-прстеновима. Сваки не-унитарни прстен $R$ се може уклопии на канонски начин, као подпрстен у унитарни прстен, наиме $R\oplus \mathbb {Z}$ са $(0,1)$ као јединичним елементом и множењем дефинисаним на очекивани начин.
• Слично, понекад се не захтева да множење прстена буде асоцијативно, а прстенови код којих јесте асоцијативно се тада називају асоцијативним прстеновима. Види неасоцијативни прстен за расправу о општијој ситуацији.

Као што је горе назначено, множење прстена не мора да буде комутативно. У неким областима, као што су комутативна алгебра и алгебарска геометрија се углавном разматрају комутативни прстенови, па аутори често користе термин прстен за комутативни прстен, а израз не обавезно комутативни прстен за прстен.

Примери

• Тривијални прстен $\{0\}$ има само један елемент који служи и као адитивни и као мултипликативни неутрал.
• Прстен целих бројева са операцијама сабирања и множења. Ово је комутативни прстен.
  • Рационални, реални и комплексни бројеви граде прстенове (они чак граде поља). И ови прстенови су комутативни.
• Свако поље је по дефиницији комутативни прстен.
• Гаусови цели бројеви формирају прстен, као и Ајзенштајнови цели бројеви.
• Полиномијални прстен $R[X]$ полинома над прстеном $R$ је такође прстен.
• Пример некомутативног прстена: За сваки прстен $R$ и сваки природан број $n$, скуп свих квадратних $n\times n$ матрица са члановима из $R$, гради прстен у односу на сабирање матрица и множење матрица. За $n=1$, ова матрица је просто (изоморфна са) $R$. За $n>2$, овај прстен је пример некомутативног прстена (осим ако је $R$ тривијалан прстен).
• Пример коначног прстена: Ако је $n$ позитиван цео број, тада скуп $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ целих бројева по модулу $n$ формира прстен са $n$ елемената (види модуларна аритметика).
• ако је $S$ скуп, тада партитивни скуп од $S$ постаје прстен ако дефинишемо сабирање као симетричку разлику скупова, а множење као пресек. Ово је пример Буловог прстена.
• Скуп свих непрекидних реалних функција дефинисаних на интервалу $[a,b]$ формира прстен (чак асоцијативну алгебру). Операције су сабиање и множење функција.
• Ако је $G$ Абелова група, тада ендоморфизми од $G$ граде прстен, прстен ендоморфизама ${\textrm {End}}(G)$ од $G$. Операције су сабирање и композиција ендоморфизама.
• Контра-пример: Скуп природних бројева $\mathbb {N}$ није прстен, јер $(\mathbb {N} ,+)$ није чак ни група. На пример, не постоји природан број који се може додати броју 3 да би се као резултат добило 0. На природан начин се од овог скупа може направити прстен, додавањем негативних бројева (ово је прстен целих бројева). Природни бројеви граде алгебарску структуру која се назива полупрстен (која има сва својства прстена, изузев адитивног инверза).
• Парни бројеви $2\mathbb {Z}$ (укључујући негативне парне бројеве) су пример псеудо-прстена, у смислу да имају сва својства прстена осим мултипликативног неутрала.

Основне теореме

Из аксиома се одмах може извести да за све елементе прстена $a$ и $b$ имамо

• $0a=a0=0$
• $(-1)a=a(-1)=-a$
• $(-a)b=b(-a)=-(ab)$
• $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ ако су $a$ и $b$ инвертибилни.

Друге основне теореме

• Неутрал $1$ је јединствен.
• Ако прстен има мултипликативни инверз, онда је он јединствен.
• Ако прстен има најмање два елемента, онда је $0\neq 1$
• Ако је $n$ цео број, и $a$ је елемент прстена дефинишемо $na$ посматрањем $a$ као елемента адитивне групе прстена (то јест, $0$ ако је $n$ једнако $0$, сума $n$ пута $a$ ако је $n$ позитивно, и супротно $(-n)a$ ако је $n$ негативно). Обично пишемо $n$ за елемент прстена $n1$. Тада:
  • Две дефиниције $na$ се поклапају, то јест, прво, са $n$ посматраним као целим бројем као горе; друго, са $n$ као елементом прстена $n1$ и множењем у изразу $na$ узима место у прстену. Стога цео број $n$ може да се идентификује са елементом прстена $n$. (Осим што више од једног целог броја може да одговара једном елементу на овај начин.)
  • Елемент прстена $n$ комутира са свим осталим елементима прстена.
  • Ако су $m$ и $n$ цели бројеви, $a$ и $b$ елементи прстена, тада $(m\cdot a)(n\cdot b)=(mn)\cdot (ab)$
  • Ако је $n$ цео број, $a$ елемент прстена, тада $n\cdot (-a)=-(n\cdot a)$
  • Биномна теорема

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k},$

важи кад год $x$ и $y$ комутирају. Ово важи у сваком комутативном прстену.

• Ако је прстен циклична група у односу на сабирање, тада је комутативан.

Конструисање нових прстена од датих прстена

• За сваки прстен $R$ можемо да дефинишемо супротан прстен $R^{op}$ обртањем множења у $R$. Ако је дато множење $\cdot$ у $R$ множење $*$ у $R^{op}$ је дефинисано као $b*a:=a\cdot b$. Идентитета из $R$ у $R^{op}$ је изоморфизам акко је $R$ комутативно. Међутим, чак и ако $R$ није комутативно, могуће је да ипак $R$ и $R^{op}$ буду изоморфни. На пример, ако је $R$ прстен $n\times n$ матрица реалних бројева, тада је транспонујуће пресликавање из $R$ у $R^{op}$изоморфизам.
• Ако је подскуп $S$ прстена $R$ затворен за множење, сабирање и одузимање и садржи адитивни и мултипликативни неутрал, тада је $D$ подпрстен $R$.
• Центар прстена $R$ је скуп елемената $R$ који комутирају са сваким елементом $R$; то јест, $c$ лежи у центру ако $cr=rc$ за свако $r\in R$. Центар је подпрстен $R$. Каже се да је подпрстен $S$ од $R$ централни ако је подпрстен центра од $R$.
• Ако је дат прстен $R$ и двострани идеал $I$ од $R$, количнички прстен $R/I$ је скуп свих косета $I$ заједно са операцијама

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ и

$(a+I)(b+I)=(ab)+I$

Категоријски опис

Као што се моноиди и групе могу посматрати као категорије са једним објектом, прстенови се могу посматрати као адитивне категорије са једним објектом. Овде су морфизми елементи прстена, композиција морфизама је множење прстена, а адитивна структура на морфизмима је сабирање прстена. Супротан прстен је тада категоријски дуал.

Види још

• Теорија прстена
• Неасоцијативни прстен
• Комутативни прстен
• Диференцијални прстен
• Поље

Литература

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-002655-1. .
• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice-Hall. 
• Atiyah, Michael; Macdonald, Ian G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison–Wesley. 
• Bourbaki, N. (1998). Algebra I, Chapters 1-3. Springer. 
• Cohn, Paul Moritz (2003), Basic algebra: groups, rings, and fields, Springer, ISBN 978-1-85233-587-8 .
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer. 
• Gallian, Joseph A. (2006). Contemporary Abstract Algebra, Sixth Edition. Houghton Mifflin. ISBN 9780618514717. 
• Gardner, J.W.; Wiegandt, R. (2003). Radical Theory of Rings. Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 0824750330. 
• Herstein, I. N. (1994) [reprint of the 1968 original]. Noncommutative rings. Carus Mathematical Monographs. 15. With an afterword by Lance W. Small. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-015-X. 
• Hungerford, Thomas W. (1997). Abstract Algebra: an Introduction, Second Edition. Brooks/Cole. ISBN 9780030105593. 
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 1 (2nd изд.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. 
• Jacobson, Nathan (1964). „Structure of rings”. American Mathematical Society Colloquium Publications (Revised изд.). 37. 
• Jacobson, Nathan (1943). „The Theory of Rings”. American Mathematical Society Mathematical Surveys. I. 
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised изд.), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42454-5, MR 0345945 .
• Lam, Tsit Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2nd изд.). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Lam, Tsit Yuen (2003). Exercises in classical ring theory. Problem Books in Mathematics (2nd изд.). Springer. ISBN 0-387-00500-5. 
• Lam, Tsit Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics. 189. Springer. ISBN 0-387-98428-3. 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third изд.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001 .
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6. 
• Milne, J. „A primer of commutative algebra”. 
• Rotman, Joseph (1998), Galois Theory (2nd изд.), Springer, ISBN 0-387-98541-7 .
• van der Waerden, Bartel Leendert (1930), Moderne Algebra. Teil I, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 33, Springer, ISBN 978-3-540-56799-8, MR 0009016 .
• Warner, Seth (1965). Modern Algebra. Dover. ISBN 9780486663418. 
• Wilder, Raymond Louis (1965). Introduction to Foundations of Mathematics. Wiley. 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958). Commutative Algebra. 1. Van Nostrand. 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7 .
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2 .
• Ballieu, R. (1947). „Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif”. Ann. Soc. Sci. Bruxelles. I (61): 222—227. 
• Berrick, A. J.; Keating, M. E. (2000). An Introduction to Rings and Modules with K-Theory in View. Cambridge University Press. 
• Cohn, Paul Moritz (1995), Skew Fields: Theory of General Division Rings, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 57, Cambridge University Press, ISBN 9780521432177 .
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 .
• Gilmer, R.; Mott, J. (1973). „Associative Rings of Order”. Proc. Japan Acad. 49: 795—799. doi:10.3792/pja/1195519146 . 
• Harris, J. W.; Stocker, H. (1998). Handbook of Mathematics and Computational Science. Springer. 
• Jacobson, Nathan (1945), „Structure theory of algebraic algebras of bounded degree”, Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, 46 (4): 695—707, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969205, doi:10.2307/1969205 .
• Knuth, D. E. (1998). The Art of Computer Programming. Vol. 2: Seminumerical Algorithms (3rd изд.). Addison–Wesley. 
• Korn, G. A.; Korn, T. M. (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Dover. 
• Milne, J. „Class field theory”. 
• Nagata, Masayoshi (1962) [1975 reprint], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, Interscience Publishers, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856 .
• Pierce, Richard S. (1982). Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics. 88. Springer. ISBN 0-387-90693-2. 
• Poonen, Bjorn, Why all rings should have a 1 (PDF) 
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Springer .
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory, Lecture Notes in Mathematics, 585, Springer, ISBN 9783540373704 .
• Weibel, Charles. „The K-book: An introduction to algebraic K-theory”. 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975). Commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics. 28-29. Springer. ISBN 0-387-90089-6. 
• Fraenkel, A. (1914). „Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen”. J. Reine Angew. Math. 145: 139—176. 
• Hilbert, David (1897). „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 4. 
• Noether, Emmy (1921). „Idealtheorie in Ringbereichen”. Math. Annalen. 83 (1–2): 24—66. doi:10.1007/bf01464225. 
• History of ring theory at the MacTutor Archive
• Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane (1996) A Survey of Modern Algebra, 5th ed. New York: Macmillan.
• Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. (2004) Handbook of Mathematics, 4th ed. New York: Springer-Verlag ISBN 3-540-43491-7.
• Faith, Carl (1999) Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra. Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society ISBN 0-8218-0993-8.
• Itô, K. editor (1986) "Rings." §368 in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press.
• Israel Kleiner (1996) "The Genesis of the Abstract Ring Concept", American Mathematical Monthly 103: 417–424 doi:10.2307/2974935
• Kleiner, I. (1998) "From numbers to rings: the early history of ring theory", Elemente der Mathematik 53: 18–35.
• B. L. van der Waerden (1985) A History of Algebra, Springer-Verlag,