Kantorov skup

U matematici, Kantorov skup je skup tačaka koje leže na jednoj liniji segmenta koji ima niz izvanrednih i dubokih svojstava. On je otkriven 1874. godine od strane Henri Džon Stepen Smita, a uveo ju je nemački matematičar Georg Kantor 1883. godine.

Kroz razmatranja ovog skupa, Kantor i drugi su pomogali da se postave temelji moderne tačka-skupa topologije. Iako je Kantor sam definisao skup na opšti, apstraktan način, najčešća moderna konstrukcija je Kantor trostrukog skupa, izgrađena uklanjanjem srednje trećine segmenta linije. Kantor je sam samo spomenuo trostruku izgradnju u prolazu, kao primer opštije ideje, savršenog skupa koji nije nigde gusta.

Izgradnja i formula trojnog skupa

Kantor trojni skup je stvorio brisanjem otvorene srednje trećine od svakog skupa segmenata linije puta. Jedan počinje brisanjem otvorene srednje trećine (1/3, 2/3) iz intervala [0, 1], ostavljajući dva segmenta linije: [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. Dalje, otvoreni srednji treći svakog od ovih preostalih deonica se briše, ostavljajući četiri linije segmenta: [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8 /9, 1]. Ovaj proces se nastavlja ad infinitum, gde je n-ti skup

$C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)$ i$C_{0}=[0,1].$

Kantor trojni skup sadrži sve tačke u intervalu [0, 1] koje se ne brišu u svakom koraku u ovom beskrajnom procesu.

Prvih šest koraka su ilustrovani ispod

Eksplicitna zatvorena formula za Kantorov skup je

$C=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcap _{k=0}^{3^{m-1}-1}\left(\left[0,{\frac {3k+1}{3^{m}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{m}}},1\right]\right)$

ili

$C=[0,1]\setminus \bigcup _{m=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{m-1}-1}\left({\frac {3k+1}{3^{m}}},{\frac {3k+2}{3^{m}}}\right).$

Dokaz formule iznad kao poseban slučaj dva porodice Kantorovog skupa vrši ideja samosličnosti transformacije i može se naći u detalje.

Ovaj proces koji uklanja srednju trećinu je jednostavan primer konačnog podrazrednog pravila.

To je možda najviše intuitivno razmišljanje o Kantorovom skupu kao skupu realnih brojeva između nula i jedan čijim trostrukim proširenjem u bazi tri ne sadrži cifru 1. Ovaj ternarni opis cifre ekspanzija je više od interesa za istraživača za istraživanje fraktala i topoloških osobina Kantorovog skupa.

Sastav

Pošto Kantorov skup se definiše kao skup tačaka bez izuzetaka, udeo (tj mera) jedinične intervala preostalih mogu naći ukupnu dužinu uklonjenih. Ovo je ukupna geometrijska progresija

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1.$

Tako da je procenat levo 1-1=0

Ova računica pokazuje da Kantorov skup ne može da sadrži bilo koji interval ne-nulte dužine. U stvari, može izgledati iznenađujuće da treba da nešto preostane - nakon svega, zbir dužine uklonjenih intervala jednak dužini originalnog intervala. Međutim, bliži pogled na proces otkriva da mora da postoji nešto ostalo, jer uklanjanje "srednjeg trećeg" svakog intervala uključeni uklanjanjem otvorenih skupova (kompleta koji ne uključuju svoje krajnje tačke). Dakle, uklanjanje segmenta linije (1/3, 2/3) iz originalnog intervala [0, 1] ostavlja iza tačke 1/3 i 2/3. Naknadni koraci ne uklanjaju ove (i druge) krajnje tačke, jer su intervali uklonjene uvek interni u intervalima preostalih. Dakle, Kantorov skup nije prazan, a zapravo sadrži nebrojiv beskonačan broj tačaka.

To može izgledati kao da su samo krajnje tačke otišle, ali to nije slučaj. Broj 1/4, na primer, je donja trećina, tako da nije uklonjen na prvom koraku, i u gornjoj trećini donjoj trećini, i u donjoj trećini toga i u gornjoj trećini od toga, i tako dalje ad infinitum-naizmenično gornje i donje trećine. Budući da nikada nije u jednom od srednjih trećina, se uklonilo, a ipak takođe nije jedan od krajnjih tačaka svake srednje trećine. Broj 3/10 je takođe u Kantorovom skupu i nije krajnja tačka.

U smislu kardinalnosti, većina članova Kantorovog skupa nisu krajnje tačke izbrisanih intervala. Pošto svaki korak uklanja konačan broj intervala i broj koraka je prebrojiv, skup krajnjih je prebrojiv a ceo skup je nebrojiv.

Osobine

Kardinalnost

Može se pokazati da postoji onoliko tačaka iza u ovom procesu kao što je bilo u početku, i da prema tome, Kantorov skup je nebrojiv. Da vidimo, mi smo pokazali da postoji funkcija f iz Kantorovog skupa C u zatvorenom intervalu [0,1] To je surjektivno (tj f mape iz C na [0,1]), tako da je kardinalnost na S ne manje nego [0,1]. Pošto C je podskup [0,1], njena kardinalnost takođe nije veća, tako da dve kardinalnosti moraju u stvari biti jednake,  Kantor-Bernstein-Šoderder teorema.

Izgraditi ovu funkciju, razmislite tačke u [0, 1] intervala u smislu osnove 3 (ili trostruke) notacije. Podsetimo se da neke tačke imaju više od jedne zastupljenosti u ovoj notaciji, kao na primer 1/3, koji se može napisati kao 0.13, ali i kao 0.022222. .. ₃, i 2/3, koja se može napisati kao 0.23, ali i kao 0.12222. .. ₃. (Ova alternativa ponavljanja predstavljanja jednog broja sa prestankom broja, javlja u svakom pozicionom sistemu.) Kada smo uklonili srednji treći, ovo sadrži brojeve sa brojevima ternarnih u obliku 0.1hhhhh ... ₃ gde hhhhh ... ₃ strogo između 00000. .. ₃ i 22222. .. ₃. Dakle brojevi preostalih nakon prvog koraka sastoje se od

• Brojevi obrazaca 0.0xxxxx...₃
• ¹/₃ = 0.1₃ = 0.022222...₃
• ²/₃ = 0.122222...₃ = 0.2₃
• Brojevi obrazaca0.2xxxxx...₃.

Ovo se može sažeti rekavši da ovi brojevi koji priznaju i trostruki predstavljaju tako da prva cifra posle decimalnog zareza nije 1 su one preostale nakon prvog koraka.

Drugi korak uklanjanja brojeva u obliku 0.01hhhh ... ₃ i 0.21hhhh... ₃, i (uz odgovarajuću zaštitu za krajnje tačke) može se zaključiti da su preostali brojevi oni sa ternarnog broja, gde nijedan od prve dve cifre nije 1. Nastavljajući na ovaj način, za broj ne treba isključiti korak N, mora da ima trostruku zastupljenost čija n-ta cifra nije 1. Za broj da bi bio u Kantorovom skupu, ona ne sme biti isključena u svaki korak, mora priznati cifra zastupljenost se sastoji isključivo od 0 i 2. Valja istaći da je broj kao 1, 1/3 = 0,13 i 7/9 = 0,21₃ su u Kantorovom skupu, jer oni imaju Ternarni broj koji se sastoji isključivo od 0 i 2: 1 = 0.2222. .. ₃, 1/3 = 0.022222. .. ₃ i 7/9 = 0.2022222. .. ₃. Dakle, dok je broj u S može imati ili je ukidati ili se ponavljati trostruku cifru, jedan od njenih predstava će se sastojati isključivo od 0 i 2.

Funkcija od C do [0,1] je definisana uzimanjem cifre koja se u potpunosti od 0 i 2 sastoji zamenjuje sve 2 od 1, i tumačenje sekvenci kao binarna zastupljenost pravog broja. U formuli,

$f{\bigg (}\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}.$

Za svaki broj "u" u  [0,1], njena binarna reprezentacija može prevesti u ternarno predstavljanje jednog broja h u C zamenom svih 1 sa 2. Ovim, f(x) =y, tako da je i u opsegu od f. Na primer, ako y= 3/5 = 0.100110011001. .. ₂, pišemo x= 0.200220022002. .. ₃ = 7/10. Stoga f surjektivno; Međutim, f nije injektivna - Zanimljivo je da su vrednosti za koje je f(x) podudarna su oni na suprotnim krajevima jedne od srednjih trećina uklonjene. Na primer, 7/9 = 0.2022222. .. ₃ i 8/9 = 0.2200000. .. ₃ do f (7/9) = 0.101111. .. ₂ = 0,112 = f (8/9).

Dakle, postoji onoliko tačaka u Kantorovom skupu kao što postoje u [0, 1], a skup Kantorov je nebrojiv (vidi Kantorova dijagonala argumenta). Međutim, skup krajnjih uklonjenih intervala je prebrojiv, tako da mora da bude nebrojivo mnogo brojeva u Kantorovom skupu koji nisu interval krajnje tačke. Kako je gore napomenuto, jedan primer takvog broja je ¼, koji se može napisati kao 0.02020202020. .. ₃ u ternarnoj notaciji.

Kantorov skup sadrži onoliko tačaka koliko intervala od kojih je uzet, ali sama ne sadrži interval nule dužine. Iracionalni brojevi imaju iste osobine, ali Kantorov skup ima dodatnu imovinu da bude zatvoren, tako da nije ni zbijen u svakom intervalu, za razliku od iracionalnih brojeva koji su guste u svakom intervalu.

Naslutio je da su svi algebarski iracionalni brojevi normalni. Pošto članovi Kantorovog skupa nisu normalni, ovo bi značilo da svi članovi Kantorovog skupa su ili racionalni ili transcendentalni.

Samosličnost

Kantorov skup je prototip fraktala. To je samosličnost, jer je jednak dva primerka sebi, ako je svaki primerak smanjio za faktor 3 i preveo. Tačnije, postoje dve funkcije, levo i desno samosličnih transformacija,$f_{L}(x)=x/3$ i$f_{R}(x)=(2+x)/3$, wkoji napuštaju Kantorov skup invarijantno do homeomorfizma $f_{L}(C)\cong f_{R}(C)\cong C.$

Ponovljena iteracija $f_{L}$ i $f_{R}$ može biti predstavljena beskonačnim binarnim stablom. To je, u svakom čvoru drveta, može se uzeti u obzir podstablo nalevo ili nadesno. Uzimajući skup$\{f_{L},f_{R}\}$ , zajedno sa funkcijom sastava formira monoid, diadični monoid.

U automorfizmu binarnom stablu su njene hiperboliče rotacije, i daju modularne grupe. Dakle, Kantorov skup je homogen prostor u smislu da za bilo koje dve tačke  $x$ i $y$ u Kantorovom skupu $C$, postoji homeomorfizam $h:C\to C$ sa  $h(x)=y$. Ovaj homeomorfizam može biti izražen eksplicitno, kao Mobijusova transformacija.

Hausdorfova dimenzija Kantorovog skupa je jednaka ln(2)/ln(3) ≈ 0.631.

Topološke i analitičke osobine

Iako se Kantorov skup obično odnosi na originalne, srednje trećine Kantor opisanih gore, topologa često govore o "A" Kantorovom skupu, što znači bilo koji topološki prostor koji je homeomorfna (topološki ekvivalentan).

Kao što gore suma argumenata pokazuje, Kantorov skup je nebrojiv ali ima meru lebega 0. Pošto je Kantorov skup komplement unije otvorenih skupova, ona sama je zatvoren podskup realnih brojeva, i stoga potpuno metrički prostor. Pošto je takođe potpuno vezana je Hajne-borelevsku teorema kaže da to mora biti kompaktna.

Za bilo koju tačku u Kantorovom skupu i bilo proizvoljno maloj okolini tačke, postoji neki drugi broj sa ternarnom brojem, od samo 0 i 2, kao i brojevi čiji ternarni brojevi sadrže 1. Dakle, svaka tačka u Kantorovom skupu je akumulacija tačke (takođe zove klaster tačka ili tačka granica) na Kantorovom skupu, ali nijedna nije enterijer tačka. Zatvoren skup u kojem je svaka tačka tačke skupljanja se takođe naziva savršenim skupom u topologiji, dok je zatvoren podskup intervala bez ikakvih unutrašnjih tačaka nigde zbijen u intervalu.

Svaka tačka Kantorovog skupa je takođe akumulacija tačaka komplementa Kantorovog skupa.

Za bilo koje dve tačke u Kantorovom skupu, biće neka trostruka cifra gde se razlikuje - jedan će imati 0 i drugi 2. deljenjem Kantora postavljanjem u "pola" u zavisnosti od vrednosti ove cifre, dobija se podeluKantor set u dva seta zatvorenih koje razdvajaju originalne dva boda. U relativnoj topologiji na Kantorovom skupu, tačke su odvojene otvoreno-zatvorenim skupom . Zbog toga je Kantorov skup potpuno prekinut. Kao kompaktna potpuna prekinuta veza Hausdorfovog prostora, Kantor skup predstavlja primer Stonovog prostora.

Kao topološki prostor, Kantorov skup je prirodni homeomorfni proizvod brojivih mnogih primeraka prostora $\{0,1\}$,  gde je svaki primerak nosi diskretna topologija. To je prostor svih sekvenci u dve cifre

$2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\vert x_{n}\in \{0,1\}{\mbox{ for }}n\in \mathbb {N} \}$,

koji se takođe može identifikovati sa setom 2-adičkih celih brojeva. Osnov za otvorene setove topologije proizvoda su cilindrčni skupovi;homeomorfne mape ovi na podsvemirskoj topologiji da Kantorov skup nasleđuje od prirodne topologije na stvaran broj linija. Ova karakterizacija Kantor prostora kao proizvod kompaktnih prostora daje drugi dokaz da Kantor prostor kompaktan, preko Tihonofove teoreme.

Iz gore karakterizacije Kantorov skup je homeomorfna da je P-adički celi brojevi, i ako jedna tačka je uklonjena iz njega, u p-adičkim brojevima.

Kantorov skup je podskup realnih brojeva, koji su metrički prostor u odnosu na običnu daljinu metrika; stoga Kantorov skup je sam metrički prostor, koristeći iste metričke. Alternativno, može se koristiti p-adičko metrički na $2^{\mathbb {N} }$: datih dve sekvence $(x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }$, rastojanje između njih je $d((x_{n}),(y_{n}))=1/k$, gde $k$ je najmanji indeks takav da $x_{k}\neq y_{k}$; ako nema takva indeks, tada dve sekvence su iste, i jedna definiše rastojanje do biti nula. Ova dva metrika generišu istu topologiju na Kantorovom skupu.

Videli smo iznad da je Kantorov skup potpuno prekinuta veza savršenog kompaktnog metričkog prostora. Zaista, u nekom smislu to je jedina: svaki neprazni potpuno prekine veza savršena kompaktna metrički prostor homeomorfna na Kantorov skup. Pogledajte Kantorov prostor za više informacija o prostorima homeomorfna do Kantorovog skupa.

Kantorov skup se ponekad smatra "univerzalnim" u kategoriji kompaktnih metričkih prostora, jer svaki kompaktan metrički prostor je kontinuirano slika na Kantorovom skupu; Međutim, ova konstrukcija nije jedinstvena tako da Kantorov skup nije univerzalan u preciznom kategorijalnom smislu. "Univerzalna" imovina ima značajne primene u funkcionalnim analizama, gde je nekada poznata kao predstavljanje teoreme za kompaktni metrički prostor.

Za svaki ceo broj q ≥ 2, topologija na grupi G=Z_q^ω (brojiva direktna suma) je diskretna. Iako je Pantragin dvostruki Γ je takođe Z_q^ω, topologija Γ je kompaktna.  Može se videti da je Γ potpuno prekinut i savršen - zato je homeomorfna naKantorovom skupu. Najlakše je napisati na homeomorfno eksplicitno u slučaju q=2. (Vidi Rudin 1962 s 40.)

Mera i verovatnoća

Kantorov skup se može posmatrati kao kompaktna grupa binarnih sekvenci, i kao takva, ona je obdarena prirodnom Haarovom merom. Kada normalizujemo tako da je mera seta 1, to je model beskrajnog niza bacanje novčića. Osim toga, može se pokazati da je uobičajeno mera lebega na intervalu je slika od Haar mere na Kantorovom skupu, dok je prirodna injekcija trojnog skupa je kanonski primer jedinstvene mere. Može se pokazati da je Haarova mera slika bilo koje verovatnoće, čineći Kantor skup univerzalnim verovatnoćama prostora na neki način.

U teoriji Lebegove mere, Kantor skup je primer skupa koji je nebrojiv i ima nultu meru.

Varijante

Smit-Volter-Kantorov skup

Umesto da neprestano uklanjamo srednju trećinu svakog komada kao u Kantorovom skupu, mi takođe možemo zadržati uklanjanje bilo kojeg drugog fiksnog procenta (osim 0% i 100%) iz sredine. U slučaju kada je srednji 8/10 intervala je uklonjen, dobijamo izuzetno pristupačan slučaj - Komplet se sastoji od svih brojeva  [0,1] koji se mogu napisati kao decimalni koji se sastoji isključivo od 0 i 9.

Uklanjanjem progresivno manjeg procenta preostalih komada na svakom koraku, mogu se izgraditi skupovi homeomorfni na Kantorov skup koji imaju pozitivnu meru lebega, dok je još uvek nigde gust. Pogledajte Smit-Volter-Kantorov skup za primer.

Kantorova prašina

Kantorova prašina je više-dimenzionalna verzija Kantorovog skupa. Može se formirati tako što konačan dekartov proizvod na Kantorovom skupu sa sobom, napravi Kantorov prostor. Kao i Kantorov skup, Kantorova prašina ima nula meru.

Kantorova prašina(2D)

Kantorova prašina (3D)

Drugačiji 2D analogija Kantorovog skupa je Sjerpinski tepih, gde je kvadrat podeljen u devet manjih kvadrata, ali je srednji uklonjen. Preostali kvadrati su zatim podeljeni u devet svaki i srednji je uklonjen, i tako dalje. 3D analogija je Mengerov Sunđer.

Istorijske napomene

Kolona kapital sa obrascem kao Kantorov skup. Gravirano Pariz, 1809-1828 

Kantor je sam definisao skup u opštem, apstraktnom načinu, i pomenuo trostruku izgradnju samo u prolazu, kao primer opštije ideje, da savršenog skupa koji nije nigde gust. Originalni rad daje nekoliko različitih konstrukcija na apstraktnom konceptu . 

Ovaj set bi bio smatran apstraktno u trenutku kada ga je Kantor osmislio . Kantor je samog sebe doveo do toga praktičnim pitanjima vezanim za skup tačaka u kojima bi trigonometrijska serija ne uspevala da se spoji . Ovo otkriće je učinilo mnogo da ga postavi na kursu za razvoj apstraktne, opšte teorije beskrajnih skupova . 

Kolona kapitala iz starog egipatskog sajta ostrva File nosi obrazac koji podseća na Kantorov skup. Kantor je možda video sliku, pošto je njegov rođak bio egiptolog.

Vidi još

• Kantorove funkcije
• Kantorov kub
• Antonijeva narukvica
• Kohova pahulja
• Knaster-Kuratovski obožavatelj
• Spisak fraktala Hausdorfove dimenzije

Spoljašnje veze

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Finite-difference calculus" Encyclopedia of Mathematics, Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Cantor Sets and Cantor Set and Function at cut-the-knot
• Cantor Set (PRIME)
• Cantor Dust Demo Program Arhivirano na sajtu Wayback Machine (20. septembar 2015)